ارقام مركبة

انقر أو اضغط على دوائر المثال أدناه لاستدعاء TINACloud وحدد وضع DC التفاعلي لتحليلها عبر الإنترنت.
احصل على وصول منخفض التكلفة إلى TINACloud لتعديل الأمثلة أو إنشاء الدوائر الخاصة بك

الأساليب الحالية في MESH و LOOP

مبادئ التحول الحالي

في هذا الفصل والفصول التالية ، سنقدم موضوعًا مهمًا جدًا: التيار المتردد أو التيار المتردد. اسم التيار المتناوب ليس دقيقًا للغاية ويغطي عادة الدوائر ذات الفولتية الجيبية والتيارات ؛ ومع ذلك ، يمكن أن التيار المتردد يعني أيضا أي الموجي التعسفي الحالي. أهمية جهد التيار المتردد هو أن هذا النوع من الجهد يستخدم لمصدر الطاقة الكهربائية الرئيسي في المنازل والصناعة في جميع أنحاء العالم. وهو أيضًا الأساس للعديد من التطبيقات الإلكترونية والاتصالات السلكية واللاسلكية والتطبيقات الصناعية.

للتعامل مع الأشكال الموجية الجيبية والدوائر المرتبطة بها ، سوف نستخدم طريقة بسيطة وأنيقة تسمى طريقة الطور. تعتمد المراحل على خصائص الأعداد المركبة ، والتي تعتبر مثالية لتمثيل الكميات الجيبية. في هذا الفصل ، سوف نلخص الحقائق الرئيسية حول الأعداد المركبة وعملياتها. سنبين أيضًا كيف يجعل مترجم TINA's من السهل إجراء العمليات الحسابية بأرقام معقدة.

تتكون الأرقام المركبة من جزأين ، جزء حقيقي (x), وهو رقم حقيقي ، وما يسمى الجزء الخيالي (ص) ، وهو رقم حقيقي مضروب في , الوحدة الوهمية. عدد معقد z، لذلك ، يمكن وصفها بأنها:

z = س + jy

أين .

أمثلة على الأعداد المركبة:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

تم إدخال الأعداد المركبة في الأصل في القرن السابع عشر لتمثيل جذور كثيرات الحدود التي لا يمكن تمثيلها بالأرقام الحقيقية وحدها. على سبيل المثال ، جذور المعادلة س²+ 2x + 2 = 0 لا يمكن وصفها إلا على أنها و ، أو استخدام التدوين , z₁= 1 + j و z₂= 1- j. باستخدام الترميز الجديد للتحقق من خصائص التعبيرات ، تمكن علماء الرياضيات من إثبات النظريات وحل المشكلات التي كانت حتى ذلك الحين صعبة إذا لم يكن من المستحيل حلها. أدى هذا إلى وضع الجبر المعقد والوظائف المعقدة ، والتي تستخدم الآن على نطاق واسع في الرياضيات والهندسة.

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة

شكل مستطيل

نظرًا لأن العدد المركب يمكن فصله دائمًا إلى أجزائه الحقيقية والمعقدة ، يمكننا تمثيل الرقم المركب كنقطة على مستوى ثنائي الأبعاد. الجزء الحقيقي من العدد المركب هو إسقاط النقطة على المحور الحقيقي ، والجزء الخيالي من الرقم هو الإسقاط على المحور التخيلي. عندما يتم تمثيل العدد المركب كمجموع الأجزاء الحقيقية والخيالية ، نقول أنه موجود مستطيلي or شكل جبري.

يوضح الشكل التالي العدد المركب z = 2 + 4j

القطبية والشكل الأسي

كما ترون من الشكل أعلاه ، يمكن أيضًا تمثيل النقطة A بطول السهم ، r (وتسمى أيضًا القيمة المطلقة أو المقدار أو السعة) وزاوية (أو طور) ، φ بالنسبة لاتجاه عقارب الساعة إلى المحور الأفقي الموجب. هذا ال قطبي شكل رقم مركب. يشار إليه على أنه r ∠ φ.

الخطوة التالية مهمة جدا. يمكن أيضًا كتابة رقم معقد في شكل قطبي الأسي شكل:

هذا التعبير البسيط مميز لأنه يحتوي على رقم وهمي في الأس بدلاً من العدد الحقيقي المعتاد. يتصرف هذا الأسي المعقد بشكل مختلف تمامًا عن الوظيفة الأسية بحجة حقيقية. بينما ه^x ينمو بسرعة في الحجم لزيادة x> 0 ويقلل لـ x <0 ، الدالة له نفس المقدار (z = 1) لأي φ. علاوة على ذلك ، تقع قيمها المعقدة على دائرة الوحدة.

توفر صيغة أويلر رابطًا موحدًا بين الأشكال المستطيلة والقطبية والأسية للأعداد المركبة:

z = س + jص = إعادة ^jφ = ص (كوس φ + j بدون φ )

أين

و φ = تان^-1(ص / س).

على سبيل المثال لدينا أعلاه ، z = 2 + 4j:

φ = تان^-1(4 / 2) = 63.4 °

وبالتالي .

أو العكس:

ستحتاج إلى أن تكون بارعًا في استخدام كلا النموذجين ، اعتمادًا على التطبيق. على سبيل المثال ، من الواضح أن الجمع أو الطرح يكون أسهل عندما تكون الأرقام في شكل مستطيل ، بينما يكون الضرب والقسمة أسهل عندما تكون الأرقام في شكل أسي.

عمليات بأعداد معقدة

العمليات التي يمكن إجراؤها بأرقام معقدة مماثلة لتلك التي للأرقام الحقيقية. القواعد وبعض التعاريف الجديدة ملخصة أدناه.

العمليات مع ي

العمليات مع j ببساطة اتبع من تعريف الوحدة الوهمية ،

لتكون قادرًا على العمل بسرعة وبدقة ، يجب عليك حفظ هذه القواعد:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

برهان:

j² = -1 يتبع ببساطة من تعريف ، منذ

ل 1 /j، نضرب 1 /jby j / j = 1 واحصل على j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

المكورات معقدة

مشتق المعقدة من عدد معقد مشتق بسهولة وهو مهم جدا. للحصول على الاقتران المعقد لعدد مركب في شكل مستطيل ، ما عليك سوى تغيير علامة الجزء التخيلي. للقيام بذلك لرقم في شكل الأسي ، قم بتغيير علامة زاوية الرقم المركب مع الحفاظ على قيمتها المطلقة هي نفسها.

المرافقة المعقدة لعدد معقد z وغالبا ما يشار إليها z^*.

نظرا لعدد معقدة z= و+ jب ، المتقارن المعقدة هو z^*= أ jb.

If z ويرد في شكل الأسي ، المتقارن المعقدة

باستخدام التعريفات الموضحة أعلاه ، من السهل أن نرى أن الرقم المركب مضروبًا بالمترافق المركب يعطي مربع القيمة المطلقة للرقم المركب:

خ خ^* = ص²= أ^{2 +}b²

أيضًا ، من خلال إضافة أو طرح أي رقم معقد ومتقارن له ، نحصل على العلاقات التالية:

z + z ^* = 2a

وبالتالي

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

وبالمثل:

z - z ^* =j2b

وبالتالي

ايم (z) = ب = ( z -z ^* ) / 2j

برهان:

أو ضرب الأجزاء الحقيقية والخيالية واستخدام j²= -1

خ خ^* = (أ + jب) (أ - jب) = أ²+a jب - أ jب - jbjب = أ²j2 =^{2 +}b²

z + z^* = و+ jب + أ - jب = 2a

ض - ض^*= و+ jب - أ + jب =j2b

أمثلة عددية:

في شكل مستطيل:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

خ خ ^* = 9 + 16 = 25

في شكل قطبي

z = 5 ∠ 53.13 درجة

z ^* = 5 ∠- 53.13 درجة

في شكل الأسي:

جمع وطرح

جمع وطرح الأعداد المركبة أمر مباشر - نحن بحاجة فقط إلى إضافة الأجزاء الحقيقية والخيالية بشكل منفصل. على سبيل المثال ، إذا

z₁ = 3 - 4j و z₂= 2 + 3j

then

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 ٠٠٩٦٥٩٨٨٨٦٤٦2j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

من الواضح أننا يجب أن نستخدم الشكل المستطيل لهذه العمليات. إذا تم إعطاء الأرقام في شكل أسي أو قطبي ، فيجب علينا تحويلها أولاً إلى شكل مستطيل باستخدام صيغة أويلر ، كما هو موضح سابقًا.

تضاعف

هناك طريقتان لضرب الأعداد المركبة -

ضرب الأعداد المركبة الواردة في شكل مستطيل

لتنفيذ العملية ، ببساطة اضرب الأجزاء الحقيقية والخيالية لرقم واحد بدوره في الأجزاء الحقيقية والخيالية للرقم الآخر واستخدم الهوية j²= -1.

z₁z₂ = (أ)₁ + jb₁) (ا₂ + jb₂) =₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - ب₁b₂ = أ₁ a₂- ب₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

عندما يتم إعطاء الأرقام المعقدة عدديًا ، فليس من الضروري استخدام الصيغة أعلاه. على سبيل المثال ، اسمحوا

z₁ = 3 - 4j و z₂= 2 + 3j

مع الضرب المباشر للمكونات:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

أو باستخدام الصيغة: z₁z₂ = أ₁ a₂- ب₁b₂+ j(b₁a₂+ ب₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

نعتقد أنك من المحتمل أن ترتكب خطأ إذا استخدمت الصيغة أكثر من ضربتك للمكونات مباشرةً.

{حل بواسطة مترجم TINA}
z1: = 3-4 * ي
z2: = 2 + 3 * ي
z1 * z2 = [18 + 1 * ي]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

z1=معقد('3-4j')
z2=معقد('2+3j')
طباعة ("z1*z2="،z1*z2)

ضرب الأعداد المركبة في شكل قطبي أو أسي

لتنفيذ هذه العملية ، اضرب القيم المطلقة وأضف زوايا الرقمين المعقدين. السماح:

ثم باستخدام قاعدة ضرب الدوال الأسية:

أو في شكل قطبي

z₁ z₂ = ص₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

ملاحظة: لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عند حسابنا خ خ ^*في الاعلى. نظرًا لأن زاوية الاتحاد لها علامة عكسية للزاوية الأصلية ، فإن العدد المركب مضروبًا في اقترانه الخاص هو دائمًا رقم حقيقي ؛ وهي مربع قيمته المطلقة: خ خ ^*= ص²

على سبيل المثال ، دع:

z₁ = 5 30 درجة و z₂ = 4 ∠ -60 درجة

then

z₁z₂ = 20 ∠ -30 درجة

أو في شكل الأسي

من الواضح أن الضرب أبسط عندما تكون الأرقام في شكل قطبي أو أسي.

ومع ذلك ، إذا تم إعطاء الأعداد المركبة في شكل مستطيل ، يجب أن تفكر في إجراء الضرب مباشرة كما هو موضح أعلاه ، حيث توجد خطوات إضافية إذا قمت بتحويل الأرقام إلى شكل قطبي قبل ضربها. عامل آخر يجب مراعاته هو ما إذا كنت تريد أن تكون الإجابات في شكل مستطيل أو في شكل قطبي / أسي. على سبيل المثال ، إذا كان الرقمان في شكل مستطيل ولكنك تريد منتجهما في شكل قطبي ، فمن المنطقي تحويلهما على الفور ثم ضربهما.

تقسيم

هناك طريقتان لقسمة الأعداد المركبة -

تقسيم الأعداد المركبة في شكل مستطيل

لتنفيذ العملية ، اضرب البسط والمقام في اتحاد المقام. يصبح المقام رقمًا حقيقيًا ويتم تقليل القسمة إلى مضاعفة رقمين معقدين وقسمة على رقم حقيقي ، وهو مربع القيمة المطلقة للمقام.

على سبيل المثال ، دع:

z₁ = 3 - 4j و z₂= 2 + 3j

دعونا نتحقق من هذه النتيجة مع مترجم TINA:

{حل بواسطة مترجم TINA}
z1: = 3-4 * ي
z2: = 2 + 3 * ي
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * ي]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

z1=معقد('3-4j')
z2=معقد('2+3j')
طباعة ("z1/z2 ="، z1/z2)

تقسيم الأعداد المركبة في شكل قطبي أو أسي

لتنفيذ العملية ، قسّم القيم المطلقة (الأحجام) وطرح زاوية المقام من زاوية البسط. السماح:

ثم استخدام قاعدة تقسيم الدوال الأسية

أو في شكل قطبي

z ₁ / z₂= ص₁ / ص₂ ∠ φ ₁- φ ₂

على سبيل المثال ، دع:

z ₁ = 5 ∠ 30 درجة و z ₂ = 2 ∠ -60 درجة

then

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 درجة

أو في أشكال الأسية والمستطيلة

دعونا نتحقق من هذه النتيجة مع مترجم TINA:

{حل بواسطة مترجم TINA}
z1: = 5 * إكسب (ي * degtorad (30))
z2: = 2 * إكسب (ي * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * ي]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radians(-60))))
طباعة ("z1/z2 ="، z1/z2)

من الواضح أن القسمة أبسط عندما تكون الأرقام في شكل قطبي أو أسي.

ومع ذلك ، إذا تم إعطاء الأعداد المركبة في شكل مستطيل ، يجب أن تفكر في إجراء القسمة مباشرة باستخدام طريقة الاتحادات المعقدة كما هو موضح أعلاه ، حيث توجد خطوات إضافية إذا قمت بتحويل الأرقام إلى شكل قطبي قبل تقسيمها. عامل آخر يجب مراعاته هو ما إذا كنت تريد أن تكون الإجابات في شكل مستطيل أو في شكل قطبي / أسي. على سبيل المثال ، إذا كان الرقمان في شكل مستطيل ، لكنك تريد حاصلهما في شكل قطبي ، فمن المنطقي تحويلهما على الفور ثم تقسيمهما.

الآن ، دعونا نوضح استخدام الأرقام المعقدة من خلال المزيد من المشكلات العددية. كالعادة ، سوف نتحقق من حلولنا باستخدام مترجم TINA. يعمل المترجم مع راديان ، ولكن لديه وظائف قياسية لتحويل راديان إلى درجات أو العكس.

مثال 1 أوجد التمثيل القطبي:

z = 12 - j 48

أو 49.48 ∠ - 75.96 درجة

{حل بواسطة مترجم TINA}
ض: = 12-ي * 48.
القيمة المطلقة (ض) = [49.4773]
القوس (ض) = [- 1.3258]
radtodeg (قوس (ض)) = [- 75.9638]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

ض=12-معقد(48ي)
طباعة ("abs(z)="،abs(z))
طباعة ("قوس (ض) ="، c.phase (ض))
طباعة ("درجات (قوس (ض)) ="، m.degrees (c.phase (ض)))

مثال 2 أوجد التمثيل المستطيل:

z = 25 ه ^j¹²⁵ ^°

{حل بواسطة مترجم TINA}
ض: = 25 * إكسب (ي * (degtorad (125)))؛
ض = [- 14.3394 + 20.4788 * ي]
إعادة (ض) = [- 14.3394]
ايم (ض) = [20.4788]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

z=25*c.exp(complex(0,m.radians(125)))
طباعة ("ض ="، ض)
طباعة ("حقيقي (ض) ="، z.real)
طباعة ("imag (z) ="، z.imag)

مثال 3 أوجد التمثيل القطبي للأرقام المعقدة التالية:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

القيم المطلقة للأرقام الأربعة هي نفسها لأن القيمة المطلقة مستقلة عن العلامات. فقط الزوايا مختلفة.

{حل بواسطة مترجم TINA}
z1: = 12 + ي * 48.
القيمة المطلقة (z1) = [49.4773]
القوس (z1) = [1.3258]
radtodeg (قوس (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-ي * 48.
القيمة المطلقة (z2) = [49.4773]
القوس (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (قوس (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + ي * 48.
القيمة المطلقة (z3) = [49.4773]
القوس (z3) = [1.8158]
radtodeg (قوس (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-ي * 48:
القيمة المطلقة (z4) = [49.4773]
القوس (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (قوس (z4)) = [- 104.0362]

#الحل بواسطة بايثون:
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c

z1=معقد('12+48j')
طباعة ("abs (z1) ="، abs (z1))
طباعة ("قوس (z1) ="، c.phase (z1))
طباعة ("درجات (قوس (z1)) ="، m.degrees (c.phase (z1)))

z2=معقد('12-48j')
طباعة ("abs (z2) ="، abs (z2))
طباعة ("قوس (z2) ="، c.phase (z2))
طباعة ("درجات (قوس (z2)) ="، m.degrees (c.phase (z2)))

z3=معقد('-12+48j')
طباعة ("abs (z3) ="، abs (z3))
طباعة ("قوس (z3) ="، c.phase (z3))
طباعة ("درجات (قوس (z3)) ="، m.degrees (c.phase (z3)))

z4=معقد('-12-48j')
طباعة ("abs (z4) ="، abs (z4))
طباعة ("قوس (z4) ="، c.phase (z4))
طباعة ("درجات (قوس (z4)) ="، m.degrees (c.phase (z4)))

تحدد وظيفة قوس () TINA زاوية أي رقم معقد ، وتضعه تلقائيًا بشكل صحيح في أحد الأرباع الأربعة.

كن حذرا ، ومع ذلك ، باستخدام تان^-1 وظيفة لإيجاد الزاوية ، حيث إنها تقتصر على الزوايا الراجعة فقط في الربعين الأول والرابع (-90 درجةφ<90 درجة).

منذ z₁يقع في الربع الأول من نظام الإحداثيات ، والحساب هو:

α₁ = تان^-1(48 / 12) = تان^-1(4) = 75.96 °

منذ z₄يقع في الربع الثالث من نظام الإحداثيات ، تان^-1لا ترجع الزاوية بشكل صحيح. حساب الزاوية هو:

α₄ = 180 درجة + 75.96 درجة = 255.96 درجة أو -360 درجة + 255.96 درجة = - 104.04 درجة ، وهو نفس ما تم حسابه بواسطة TINA.

z₂يقع في الربع الرابع من نظام الإحداثيات وحساب الزاوية هو:

α₂ = تان^-1(-48 / 12) = تان^-1(-4) = -75.96 °

z_3,ومع ذلك ، في الربع 2nd من نظام الإحداثيات ، لذلك تان^-1لا ترجع الزاوية بشكل صحيح. حساب الزاوية هو:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

مثال 4 لدينا رقمان معقدان: z₁= 4 - j و6 z₂ = 5 ه^j⁴⁵ ^° .

z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

أولاً نحل المشكلة باستخدام مترجم TINA

{حل بواسطة مترجم TINA}
z1: = 4-ي * 6.
z2: = 5 * إكسب (ي * degtorad (45))؛
z3: = z1 + z2.
z3 = [7.5355-2.4645 * ي]
z4: = z1-z2.
z4 = [464.4661m-9.5355 * ي]
z5: = z1 * z2.
z5 = [35.3553-7.0711 * ي]
z6: = z1 / z2.
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * ي]

لاحظ كيف تقوم TINA بمعالجة الرقمين المعقدين في أشكال مختلفة دون عناء.

الحل أكثر تعقيدا بدون مترجم. حتى نتمكن من مقارنة طرق الضرب والقسمة المختلفة ، سنحدد أولاً الشكل القطبي لـ z₁ وشكل مستطيل من z₂.