قوانين الكيرتشوف

انقر أو اضغط على دوائر المثال أدناه لاستدعاء TINACloud وحدد وضع DC التفاعلي لتحليلها عبر الإنترنت.
احصل على وصول منخفض التكلفة إلى TINACloud لتعديل الأمثلة أو إنشاء الدوائر الخاصة بك

نظرية الارتداد

الطريقة المحتملة للعقدة

العديد من الدوائر معقدة للغاية بحيث لا يمكن حلها باستخدام قواعد السلاسل أو الدوائر المتوازية أو تقنيات التحويل إلى دوائر أبسط تم وصفها في الفصول السابقة. لهذه الدوائر نحتاج إلى طرق حل أكثر عمومية. يتم إعطاء الطريقة الأكثر شيوعًا من خلال قوانين Kirchhoff ، والتي تسمح بحساب جميع الفولتية وتيارات الدوائر من خلال حل نظام من المعادلات الخطية.

هناك اثنان قوانين كيرشوف ، قانون الجهد والتيار القانون. يمكن استخدام هذين القانونين لتحديد جميع الفولتية وتيارات الدوائر.

ينص قانون جهد كيرشوف (KVL) على أن المجموع الجبري للجهد يرتفع وأن قطرات الجهد حول الحلقة يجب أن تكون صفراً.

تعني الحلقة في التعريف أعلاه مسارًا مغلقًا في الدائرة ؛ بمعنى ، مسار يترك عقدة في اتجاه واحد ويعود إلى نفس العقدة من اتجاه آخر.

في أمثلةنا ، سنستخدم اتجاه عقارب الساعة للحلقات ؛ ومع ذلك ، سيتم الحصول على نفس النتائج إذا تم استخدام عكس اتجاه عقارب الساعة.

من أجل تطبيق KVL بدون خطأ ، يجب علينا تحديد ما يسمى الاتجاه المرجعي. يشير الاتجاه المرجعي للجهود غير المعروفة من علامة + إلى - للجهود المفترضة. تخيل استخدام الفولتميتر. ستضع مسبار الفولتميتر الإيجابي (عادة أحمر) في مرجع المكون + الطرفية. إذا كان الجهد الحقيقي موجبًا ، فهو في نفس الاتجاه الذي افترضناه ، وسيظهر كل من حلنا وجهاز الفولتميتر قيمة موجبة.

عند اشتقاق المجموع الجبري للجهود ، يجب علينا تعيين علامة زائد لتلك الفولتية حيث يتفق الاتجاه المرجعي مع اتجاه الحلقة ، والعلامات السلبية في الحالة المعاكسة.

طريقة أخرى لتحديد قانون جهد Kirchhoff هي: الجهد المطبق لدائرة تسلسلية يساوي مجموع قطرات الجهد عبر عناصر السلسلة.

يوضح المثال القصير التالي استخدام قانون الجهد Kirchhoff.

أوجد الجهد عبر المقاوم R_2, بالنظر إلى أن مصدر الجهد ، V_S = 100 فولت وأن الجهد عبر المقاوم R₁هو الخامس₁ = 40 V.

يمكن إنشاء الشكل أدناه باستخدام TINA Pro الإصدار 6 والإصدارات الأحدث ، حيث تتوفر أدوات الرسم في المحرر التخطيطي.

الحل باستخدام قانون جهد كيرشوف: -V_S + الخامس₁ + الخامس₂= 0 ، أو V._S = الخامس₁ + الخامس₂

بالتالي: V₂ = الخامس_S - ف₁ = 100-40 = 60V

لاحظ أننا عادة لا نعرف الفولتية للمقاومات (ما لم نقيسها) ، ونحن بحاجة إلى استخدام كل من قوانين Kirchhoff للحل.

ينص قانون كيرشوف الحالي (KCL) على أن المجموع الجبري لجميع التيارات التي تدخل وتخرج من أي عقدة في الدائرة هو صفر.

في ما يلي ، نعطي علامة + للتيارات التي تترك عقدة وعلامة - للتيارات التي تدخل العقدة.

في ما يلي مثال أساسي يوضح قانون كيرشوف الحالي.

العثور على الحالي أنا₂ إذا كان المصدر الحالي I_S = 12 A ، و انا₁ = 8 A.

باستخدام قانون Kirchhoff الحالي في العقدة الدائرية: -I_S + I₁ + I₂ = 0 ، وبالتالي: I₂= I_S - أنا₁ = 12 - 8 = 4 A ، كما يمكنك التحقق باستخدام TINA (الشكل التالي).

في المثال التالي ، سنستخدم كلاً من قوانين Kirchhoff بالإضافة إلى قانون أوم لحساب التيار والجهد عبر المقاومات.

في الشكل أدناه ، ستلاحظ سهم الجهد فوق المقاومات. هذا هو عنصر جديد متاح في الإصدار 6 من TINA ويعمل مثل الفولتميتر. إذا قمت بتوصيله عبر مكون ، يحدد السهم الاتجاه المرجعي (للمقارنة مع مقياس الفولتميتر ، تخيل وضع المسبار الأحمر في ذيل السهم والمسبار الأسود عند الطرف). عند تشغيل تحليل DC ، سيتم عرض الجهد الفعلي على المكون على السهم.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

لبدء استخدام قانون Kirchhoff الحالي ، نرى أن التيارات من خلال جميع المكونات هي نفسها ، لذلك دعونا نشير إلى هذا التيار بواسطة I.

وفقًا لقانون جهد كيرشوف: V_S = الخامس₁+V₂+V₃

الآن باستخدام قانون أوم: V_S= I * R₁+ أنا * ص₂+ أنا * ص₃

ومن هنا تيار الدائرة:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

وأخيراً جهد المقاومات:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V ؛ V₂ = أنا * ص₂ = 2 * 20 = 40 V ؛ V₃ = أنا * ص₃ = 2 * 30 = 60 V

سيتم رؤية نفس النتائج على أسهم الجهد عن طريق تشغيل تحليل DC التفاعلي لـ TINA.

في هذه الدائرة التالية الأكثر تعقيدًا ، نستخدم أيضًا كل من قوانين Kirchhoff وقانون أوم ، ولكننا نجد أننا نحل معظم نظام خطي من المعادلات.

العدد الإجمالي للتطبيقات المستقلة لقوانين Kirchhoff في الدائرة هو عدد فروع الدائرة ، في حين أن العدد الإجمالي للمجهول (التيار والجهد لكل فرع) هو ضعف ذلك. ومع ذلك ، باستخدام أيضا قانون أوم في كل المقاوم و المعادلات البسيطة التي تحدد الفولتية والتيارات المطبقة ، نحصل على نظام معادلة حيث عدد المجهول هو نفس عدد المعادلات.

أوجد تيارات الفرع I1 و I2 و I3 في الدائرة أدناه.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

مجموعة المعادلات التالية:

المعادلة العقدية للعقدة الدائرية:

- I₁- I₂- أنا₃ = 0

أو ضرب بواسطة -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

معادلات الحلقة (باستخدام اتجاه عقارب الساعة) للحلقة L1 ، التي تحتوي على V₁، R₁ و ر₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

وللحلقة L2 ، التي تحتوي على V₂، R₂ و ر₃

I₃*R₃ - أنا₂*R₂ +V₂ = 0

استبدال قيم المكونات:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * أنا₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

اكسبريس₁ باستخدام المعادلة العقدية:₁ = أنا₂ - أنا₃

ثم استبدلها بالمعادلة الثانية:

-V₁- (أنا₂ + I₃) * R₁ -أنا₃*R₃ = 0 or –8- (أنا₂ + I₃) * 40 - أنا₃* 40 = 0

اكسبريس₂ واستبدالها في المعادلة الثالثة ، والتي يمكنك من خلالها حساب I₃:

I₂ = - (V.₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂*(الخامس₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

و: I₃ = - (V.₂ + الخامس₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

من ثم I₃ = - 0.25 أ ؛ I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A و I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 أ

أو: I₁ = -50 مللي أمبير ؛ I₂ = 300 مللي أمبير ؛ I₃ = -250 مللي أمبير.

الآن دعونا نحل نفس المعادلات مع مترجم TINA:

{حل بواسطة مترجم TINA}
أنظمة SY I1 ، I2 ، I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
الغاية؛
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#الحل بواسطة بايثون
استيراد numpy كـ np، وsympy كـ s
#لدينا نظام خطي ل
#المعادلات التي نريد حلها:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
سول = s.solve([
I1+I2+I3،
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
طباعة (سول)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

ب= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=س[0]
#I2=س[1]
#I3=س[2]
# I1
طباعة("I1= %.3f"%x[0])
# I2
طباعة("I2= %.3f"%x[1])
# I3
طباعة("I3= %.3f"%x[2])

وأخيرا دعونا التحقق من النتائج باستخدام TINA:

بعد ذلك ، دعنا نحلل الدائرة التالية الأكثر تعقيدًا ونحدد تياراتها وفروعها.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

دعونا نشير إلى الفولتية والتيارات غير المعروفة عن طريق إضافة سهام الجهد والتيار إلى المكونات ، وأيضًا إظهار الحلقات (L1 ، L2 ، L3) والعقد (N1 ، N2) حيث سنستخدم معادلات Kirchhoff.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

هنا مجموعة من معادلات Kirchhoff للحلقات (باستخدام اتجاه عقارب الساعة) والعقد.

-I_L+ I_R1- أنا_s= 0(من أجل N1)

- أنا_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (من أجل N2)

-V_s1- ف_R3+ الخامس_Is+ الخامس_L = 0 (من أجل L1)

-V_Is+ الخامس_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (من أجل L2)

-V_R2- ف_s2+ الخامس_s3 = 0 (من أجل L3)

تطبيق قانون أوم:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - أنا_L*R₃

هذا 9 مجاهرات و 9 معادلات. أسهل طريقة لحل هذه المشكلة هي استخدام TINA's

مترجم. ومع ذلك ، إذا تم الضغط علينا لاستخدام حسابات اليد ، فإننا نلاحظ أن هذه المجموعة من المعادلات يمكن اختزالها بسهولة إلى نظام من 5 مجاهرات عن طريق استبدال المعادلات الأربعة الأخيرة في معادلات حلقة L4 ، L1 ، L2. أيضا ، بإضافة المعادلات (L3) و (L2) ، يمكننا القضاء على V_Is، تقليل المشكلة إلى نظام معادلات 4 لـ 4 unknown (I_L,I_R1 I_R2،I_s3). عندما وجدنا هذه التيارات ، يمكننا تحديد V بسهولة_{لام ،} V_R1والخامس_R2، و V_R3 باستخدام المعادلات الأربعة الأخيرة (قانون أوم).

استبدال V_L,V_R1،V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- أنا_s= 0(من أجل N1)

- أنا_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (من أجل N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ الخامس_Is+ I_L*R_L = 0 (من أجل L1)

-V_Is+ الخامس_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (لل L2)

- أنا_R2*R₂- ف_s2+ الخامس_s3 = 0 (من أجل L3)

مضيفا (L1) و (L2) نحصل عليه

-I_L+ I_R1- أنا_s= 0(من أجل N1)

- أنا_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (من أجل N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + الخامس_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- أنا_R2*R₂- ف_s2+ الخامس_s3 = 0 (من أجل L3)

بعد استبدال قيم المكون ، يأتي حل هذه المعادلات بسهولة.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (من أجل N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (من أجل N2)

-120 - + أنا_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (لام₁) + (لام₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (ل₃)

من لام₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

من ن₂ I_S3 - أنا_R1 = - 5.25 (II)

من لام₁+L₂ 110 أنا_L + 30 I_R1 = -150 (III)

ومن أجل N₁ I_R1 - أنا_L = 2 (IV)

اضرب (IV) بواسطة –30 وأضف إلى (III) 140 أنا_L = -210 من هنا I_L = - 1.5 أ

بديلا أنا_L إلى (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

و انا_R1 إلى (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

والفولتية: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V ؛ V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V ؛

V_R3 = - أنا_L*R₃= 135 V ؛ V_L = I_L*R_L = - 30 فولت ؛ V_Is = الخامس_S1+V_R3-V_L = 285 V

{حل المعادلات الأصلية بواسطة مترجم TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-هل + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + فيس-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
الغاية؛
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
فيس = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#الحل بواسطة بايثون
#الفأس=ب
استيراد numpy كـ np، وsympy كـ s
# الحل الرمزي باستخدام numpy.solve
#المعادلات:
#IL=-هو+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#فيس=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#حل ل:
#ايل،IR1،IR2،
#Is3، فيس، VL،
#VR1، VR3، VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
سول = s.solve([
-هو+IR1-IL،
IR2+Is3-IR1،
Vs1 + VR3-فيس-VL،
VR1+VR2+Vs2-فيس،
VR2+Vs2-Vs3،
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
طباعة (سول)

#طريقة أخرى للحل باستخدام numpy.linalg
أ=np.صفيف(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0،-1,1,1,0,0,0,0,0،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX]،
[0,0,0,0،1،1,0,1,0،XNUMX،-XNUMX،-XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX]،
[0,0,0,0،-1,0,1,0,1،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX]،
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]،
[0،R1,0,0,0,0،1,0,0،XNUMX،XNUMX،XNUMX،-XNUMX،XNUMX،XNUMX]،
[0,0،R2,0,0,0,0,0،1،XNUMX،XNUMX،XNUMX،-XNUMX،XNUMX،XNUMX]،
[-R3,0,0,0,0,0,0،1,0،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،-XNUMX،XNUMX]،
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
طباعة("IL= %.3f"%x[0])
طباعة("IR1= %.3f"%x[1])
طباعة("IR2= %.3f"%x[2])
طباعة("Is3= %.3f"%x[3])
طباعة("Vis= %.3f"%x[4])
طباعة("VL= %.3f"%x[5])
طباعة("VR1= %.3f"%x[6])
طباعة("VR2= %.3f"%x[8])
طباعة("VR3= %.3f"%x[7])

حل مجموعة المعادلات المخفضة باستخدام المترجم:

{حل مجموعة المعادلات المختصرة بواسطة مترجم TINA}
Sys Il ، Ir1 ، Ir2 ، Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
الغاية؛
ايل = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

يمكننا أيضًا إدخال تعبيرات للجهد وجعل مترجم TINA يحسبها:

إيل: = - 1.5.
Ir1: = 0.5.
Ir2: = 5.25.
Is3: = - 4.75.
فل: = ايل * RL.
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2.
Vr3: = - ايل * R3.
فيس: = Vs1-فل + Vr3.
فل = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
فيس = [285]