قوانين الكيرتشوف في دوائر التيار المتردد

انقر أو اضغط على دوائر المثال أدناه لاستدعاء TINACloud وحدد وضع DC التفاعلي لتحليلها عبر الإنترنت.
احصل على وصول منخفض التكلفة إلى TINACloud لتعديل الأمثلة أو إنشاء الدوائر الخاصة بك

ثينين ونورتون دوائر متساوية

العقدة الحالية و الطريقة الحالية في دوائر التيار المتردد

كما رأينا بالفعل ، يمكن حل الدوائر ذات الإثارة الجيبية باستخدام المعاوقات المعقدة للعناصر و ذروة معقدة or مجمع قيم جذر متوسط التربيع للتيارات والفولتية. باستخدام نسخة القيم المعقدة لقوانين كيرشوف ، يمكن استخدام تقنيات التحليل العقدي والشبكي لحل دوائر التيار المتردد بطريقة مشابهة لدارات التيار المستمر. في هذا الفصل سوف نعرض ذلك من خلال أمثلة لقوانين كيرشوف.

مثال 1

أوجد السعة وزاوية الطور للتيار i_vs(T) if
v_S(ر) = الخامس_SM كوس 2pقدم. أنا (ر) = أنا_SM كوس 2pقدم. V_SM = 10 V ؛ أنا_SM = 1 A ؛ f = 10 kHz ؛

R = 5 أوم ؛ L = 0.2 mH ؛ C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

إجمالاً ، لدينا 10 جهود وتيارات مجهولة ، وهي: i، i_C1و_Rو_Lو_C2في_C1في_Rفي_Lفي_C2 و v_IS. (إذا استخدمنا قيم الذروة المعقدة أو قيم جذر متوسط التربيع للجهد والتيارات ، فلدينا 20 معادلة حقيقية!)

المعادلات:

حلقة أو شبكة المعادلات: ل M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_{الأيزم مذهب مميز} = 0

قوانين أوم V_RM = ص *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

المعادلة العقدية ل N₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

لعناصر السلسلة I = I_C1M

حل نظام المعادلات يمكنك العثور على التيار غير المعروف:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

حل مثل هذا النظام الكبير من المعادلات المعقدة معقد للغاية ، لذلك لم نعرضه بالتفصيل. تؤدي كل معادلة معقدة إلى معادلتين حقيقيتين ، لذلك نعرض الحل فقط من خلال القيم المحسوبة باستخدام مترجم TINA.

الحل باستخدام مترجم TINA:

{حل بواسطة مترجم TINA}
أوم: = 20000 * بي.
مباراة: = 10.
هو: = 1.
أنظمة Sys Ic1 ، Ir ، IL ، Ic2 ، Vc1 ، Vr ، VL ، Vc2 ، Vis ، Ivs
مقابل = Vc1 + فر {M1}
فر = فل {M2}
فر = Vc2 {M3}
Vc2=فيس {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-هل {N1}
{قواعد أوم}
Ic1 = ي * ام * * C1 Vc1
الواقع الافتراضي = R * عير
VL = ي * ام * L * IL
Ic2 = ي * ام * * C2 Vc2
الحبس الاحتياطي = Ic1
الغاية؛
الحبس الاحتياطي = [3.1531E1 + 1.7812E0 * ي]
القيمة المطلقة (الحبس الاحتياطي) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * القوس (الحبس الاحتياطي) / بي
fiIvs = [79.9613]

#الحل بواسطة بايثون
استيراد Sympy كـ s
استيراد cmath كـ c
cp= لامدا Z: "{:.4f}".تنسيق(Z)
أوم=20000*c.pi
مقابل = 10
هو = 1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
طباعة (الحبس)
طباعة ("abs(Ivs)="،cp(abs(Ivs)))
طباعة ("180*c.phase(Ivs)/c.pi="،cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

الحل باستخدام TINA:

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

لحل هذه المشكلة يدويًا ، اعمل مع المعاوقات المعقدة. على سبيل المثال ، R ، L و C₂ يتم توصيلها بالتوازي ، لذا يمكنك تبسيط الدائرة عن طريق حساب مكافئها الموازي. || يعني المكافئ الموازي للممانعات:

عدديا:

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

الدارة المبسطة باستخدام المعاوقة:

المعادلات بصيغة مرتبة: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

هناك أربعة مجهولين- I; I_Z; V_C1; V_Z - ولدينا أربع معادلات ، لذا فإن الحل ممكن.

اكسبريس I بعد استبدال المجهولين الآخرين من المعادلات:

عدديا

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

وفقًا لنتيجة مترجم TINA.

{الحل باستخدام المعاوقة Z}
أوم: = 20000 * بي.
مباراة: = 10.
هو: = 1.
Z: = replus (R، replus (ي * ام * L، 1 / ي / ام / C2))؛
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * ي]
SYS I
I = ي * ام * * C1 (VS-Z * (I + غير))
الغاية؛
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * ي]
القيمة المطلقة (I) = [1.8089]
180 * القوس (I) / بي = [79.9613]

#الحل بواسطة بايثون
استيراد Sympy كـ s
استيراد cmath كـ c
Replus= لامدا R1، R2: R1*R2/(R1+R2)
أوم=20000*c.pi
مقابل = 10
هو = 1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
طباعة('Z=',CP(Z))
أنا=s.symbols('أنا')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) لـ Z في tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
طباعة ("أنا ="، حزب المحافظين (أنا))
طباعة ("abs(I)="،cp(abs(I)))
طباعة ("180*c.phase(I)/c.pi="،cp(180*c.phase(I)/c.pi))

دالة الوقت للتيار ، إذن ، هي:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A

يمكنك التحقق من قاعدة Kirchhoff الحالية باستخدام الرسوم التخطيطية للطور. تم تطوير الصورة أدناه عن طريق التحقق من معادلة العقدة في i_Z = أنا + أنا_G1شكل. يوضح الرسم البياني الأول الأطوار المضافة بواسطة قاعدة متوازية الأضلاع ، ويوضح المخطط الثاني القاعدة المثلثة لإضافة الطور.

الآن دعنا نوضح KVR باستخدام ميزة الرسم التخطيطي لـ TINA. نظرًا لأن جهد المنبع سالب في المعادلة ، فقد قمنا بتوصيل الفولتميتر "بالعكس". يوضح مخطط الطور الشكل الأصلي لقاعدة جهد كيرشوف.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

يستخدم مخطط المرحلة الأولى قاعدة متوازي الأضلاع ، بينما يستخدم الثاني قاعدة المثلث.

لتوضيح KVR في شكل V_C1 + الخامس_Z - ف_S = 0 ، قمنا مرة أخرى بتوصيل الفولتميتر بمصدر الجهد إلى الخلف. يمكنك أن ترى أن مثلث الطور مغلق.

لاحظ أن TINA تتيح لك استخدام دالة الجيب أو دالة جيب التمام كوظيفة أساسية. اعتمادًا على الوظيفة المختارة ، قد تختلف السعات المعقدة التي تظهر في مخططات الطور بمقدار 90 درجة. يمكنك ضبط الوظيفة الأساسية ضمن "عرض" "خيارات" "وظيفة أساسية للتيار المتردد". في أمثلةنا ، استخدمنا دائمًا دالة جيب التمام كقاعدة.

مثال 2

جد الفولتية والتيارات لجميع المكونات إذا:

v_S(ر) = 10 cos wتلفزيون، i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) مللي أمبير ؛

C₁ = 100 nF ، C₂ = 50 nF ، R₁ = ص₂ = 4 ك ؛ L = 0.2 H ، و = 10 كيلو هرتز.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

دع المجهول هو قيم الذروة المعقدة لجهود وتيارات العناصر `` السلبية '' ، وكذلك تيار مصدر الجهد (i_VS) والجهد للمصدر الحالي (v_IS). إجمالا ، هناك اثنا عشر مجهولة معقدة. لدينا ثلاث عقد مستقلة ، وأربع حلقات مستقلة (تحمل علامة M_I) وخمسة عناصر سلبية يمكن تمييزها بخمسة "قوانين أوم" - إجمالاً هناك 3 + 4 + 5 = 12 معادلة:

المعادلات العقدية ل N₁ I_VSM = I_R1M + I_C2M

ل N₂ I_R1M = I_LM + I_C1M

ل N₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = I_R2M

المعادلات حلقة شكل₁ V_SM = الخامس_C2M + الخامس_R2M

شكل₂ V_SM = الخامس_C1M + الخامس_R1M+ الخامس_R2M

شكل₃ V_LM = الخامس_C1M

شكل₄ V_R2M = الخامس_{الأيزم مذهب مميز}

قوانين أوم V_R1M = ص₁*I_R1M

V_R2M = ص₂*I_R2M

I_C1m = ي *w*C₁*V_C1M

I_C2m = ي *w*C₂*V_C2M

V_LM = ي *w* L * I_LM

لا تنس أن أي معادلة معقدة قد تؤدي إلى معادلتين حقيقيتين ، لذا تتطلب طريقة كيرشوف العديد من العمليات الحسابية. من الأسهل بكثير حل الدوال الزمنية للجهود والتيارات باستخدام نظام المعادلات التفاضلية (لم تتم مناقشتها هنا). نعرض أولاً النتائج التي تم حسابها بواسطة مترجم TINA:

{حل بواسطة مترجم TINA}
و: = 10000.
مباراة: = 10.
الصورة: = 0.005 * إكسب (ي * بي / 6)؛
أوم: = 2 * بي * و.
sys ir1 ، ir2 ، ic1 ، ic2 ، iL ، vr1 ، vr2 ، vc1 ، vc2 ، vL ، تجاه ، ivs
الحبس الاحتياطي = ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
مقابل = vc2+vr2 {4}
مقابل=vr1+vr2+vc1 {5}
VC1=VL {6}
vr2 = فيس {7}
فر1=ir1*R1 {8}
فر2=ir2*R2 {9}
ic1=ي*أوم*C1*vc1 {10}
ic2=ي*أوم*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
الغاية؛
القيمة المطلقة (vr1) = [970.1563m]
القيمة المطلقة (vr2) = [10.8726]
القيمة المطلقة (ic1) = [245.6503u]
القيمة المطلقة (ic2) = [3.0503m]
القيمة المطلقة (vc1) = [39.0965m]
القيمة المطلقة (vc2) = [970.9437m]
القيمة المطلقة (ايل) = [3.1112u]
القيمة المطلقة (فل) = [39.0965m]
القيمة المطلقة (الحبس الاحتياطي) = [3.0697m]
180 + radtodeg (قوس (الحبس الاحتياطي)) = [58.2734]
القيمة المطلقة (فيما) = [10.8726]
radtodeg (قوس (فيما)) = [- 2.3393]
radtodeg (قوس (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (قوس (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (قوس (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (قوس (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (قوس (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (قوس (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (قوس (ايل)) = [- 24.8908]
radtodeg (قوس (فل)) = [65.1092]

#الحل بواسطة بايثون
استيراد Sympy كـ s
استيراد الرياضيات باسم م
استيراد cmath كـ c
cp= لامدا Z: "{:.4f}".تنسيق(Z)
و = 10000
مقابل = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
أوم=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
معادل(iL+ic1,ir1), #2
معادل(ic2+iL+ic1+Is,ir2)، #3
مكافئ(vc2+vr2,Vs), #4
معادل (vr1+vr2+vc1,Vs)، #5
معادل(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
معادل(ir1*R1,vr1), #8
معادل(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
طباعة ("abs (vr1) ="، cp (abs (vr1)))
طباعة ("abs (vr2) ="، cp (abs (vr2)))
طباعة ("abs(ic1)="،cp(abs(ic1)))
طباعة ("abs(ic2)="،cp(abs(ic2)))
طباعة ("abs(vc1)="،cp(abs(vc1)))
طباعة ("abs(vc2)="،cp(abs(vc2)))
طباعة ("abs (iL) ="، cp (abs (iL)))
طباعة ("abs (vL) ="، cp (abs (vL)))
طباعة ("abs(ivs)="،cp(abs(ivs)))
طباعة("180+درجة(المرحلة(ivs))=",cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
طباعة ("abs(vis)="،cp(abs(vis)))
طباعة ("درجة (المرحلة (vis)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vis))))
طباعة ("درجات (المرحلة (vr1)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vr1))))
طباعة ("درجات (المرحلة (vr2)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vr2))))
طباعة ("درجة (المرحلة (ic1)) ="، cp (m.degrees (c.phase (ic1))))
طباعة ("درجة (المرحلة (ic2)) ="، cp (m.degrees (c.phase (ic2))))
طباعة ("درجات (المرحلة (vc2)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vc2))))
طباعة ("درجات (المرحلة (vc1)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vc1))))
طباعة ("درجة (المرحلة (iL)) ="، cp (m.degrees (c.phase (iL))))
طباعة ("درجة (المرحلة (vL)) ="، cp (m.degrees (c.phase (vL))))

حاول الآن تبسيط المعادلات يدويًا باستخدام الاستبدال. البديل الأول مكافئ 9. إلى مكافئ 5.

V_S = الخامس_C2 + R₂ I_R2أ)

ثم eq.8 و eq.9. إلى مكافئ 5.

V_S = الخامس_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 ب.)

ثم مكافئ 12. ، مكافئ. 10. و انا_Lمن مكافئ. 2 إلى eq.6.

V_C1 = الخامس_L = يwLI_L = يwL (I_R1 - أنا_C1) = يwLI_R1 - يwلام يwC₁ V_C1