انقر أو اضغط على دوائر المثال أدناه لاستدعاء TINACloud وحدد وضع DC التفاعلي لتحليلها عبر الإنترنت.
احصل على وصول منخفض التكلفة إلى TINACloud لتعديل الأمثلة أو إنشاء الدوائر الخاصة بك

قوانين KIRCHHOFF

الأساليب الحالية في MESH و LOOP

يمكن تبسيط المجموعة الكاملة من معادلات كيرشوف بشكل كبير من خلال طريقة العقدة المحتملة الموضحة في هذا الفصل. باستخدام هذه الطريقة ، يتم استيفاء قانون جهد كيرشوف تلقائيًا ، ونحتاج فقط إلى كتابة معادلات العقدة لتلبية قانون كيرشوف الحالي أيضًا. يتم تحقيق قانون جهد Kirchhoff عن طريق استخدام إمكانات العقدة (تسمى أيضًا الجهد العقدي أو العقدي) فيما يتعلق بعقد معينة تسمى مرجع العقدة. وبعبارة أخرى ، فإن جميع الفولتية في الدائرة نسبة إلى عقدة مرجعية، والذي يعتبر عادةً أنه يحتوي على صفر احتمال. من السهل أن نرى أنه من خلال تعريفات الجهد هذه ، فإن قانون الجهد في Kirchhoff يتم استيفائه تلقائيًا ، لأن كتابة المعادلات الحلقية بهذه الإمكانات تؤدي إلى الهوية. لاحظ أنه بالنسبة للدائرة التي تحتوي على عقد N ، يجب عليك كتابة معادلات N - 0 فقط. عادة ، تُترك معادلة العقدة الخاصة بالعقدة المرجعية.

مجموع جميع التيارات في الدائرة هو صفر لأن كل تيار يتدفق داخل العقدة وخارجها. لذلك ، فإن معادلة العقدة Nth ليست مستقلة عن معادلات N-1 السابقة. إذا قمنا بتضمين جميع المعادلات N ، فسيكون لدينا نظام معادلات غير قابلة للحل.

طريقة العقدة المحتملة (تسمى أيضًا التحليل العقدي) هي الطريقة الأنسب لتطبيقات الكمبيوتر. تعتمد معظم برامج تحليل الدارات - بما في ذلك TINA - على هذه الطريقة.

خطوات التحليل العقدي:

1. اختر عقدة مرجعية مع 0 عقدة محتملة وقم بتسمية كل عقدة متبقية بها V₁والخامس₂ or j₁, j₂وما إلى ذلك وهلم جرا.

2. تطبيق قانون Kirchhoff الحالي في كل عقدة باستثناء العقدة المرجعية. استخدم قانون أوم للتعبير عن التيارات غير المعروفة من جهد العقدة وفولتية مصدر الجهد عند الضرورة. بالنسبة لجميع التيارات غير المعروفة ، افترض نفس الاتجاه المرجعي (على سبيل المثال الإشارة إلى العقدة) لكل تطبيق لقانون Kirchhoff الحالي.

3. حل معادلات العقدة الناتجة عن الفولتية العقدة.

4. تحديد أي تيار أو جهد مطلوب في الدائرة باستخدام جهد العقدة.

دعونا توضيح الخطوة 2 بكتابة معادلة العقدة للعقدة V₁من جزء الدائرة التالي:

أولاً ، ابحث عن التيار من العقدة V1 إلى العقدة V2. سنستخدم قانون أوم في R1. الجهد عبر R1 هو V₁ - ف₂ - ف_S1

والتيار من خلال R1 (ومن العقدة V1 إلى العقدة V2) هو

لاحظ أن هذا التيار له اتجاه مرجعي يشير إلى V₁ العقدة. باستخدام اصطلاح التيارات التي تشير إلى خارج العقدة ، يجب أن تؤخذ في الاعتبار في معادلة العقدة بعلامة موجبة.

التعبير الحالي للفرع بين الخامس₁ و V₃ستكون متشابهة ، ولكن منذ V_S2 في الاتجاه المعاكس من الخامس_S1 (مما يعني إمكانات العقدة بين V_S2 و ر₂ هو الخامس₃-V_S2) ، التيار

أخيرا ، بسبب الاتجاه المرجعي المشار إليه ، أنا_S2 يجب أن يكون لها علامة إيجابية وأنا_S1 علامة سلبية في معادلة العقدة.

معادلة العقدة:

الآن دعنا نرى مثالاً كاملاً لتوضيح استخدام طريقة العقدة المحتملة.

أوجد الجهد V والتيارات من خلال المقاومات في الدائرة أدناه

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

نظرًا لأن لدينا عقدين فقط في هذه الدائرة ، يمكننا تقليل الحل لتحديد كمية واحدة غير معروفة العقدة السفلية كعقدة مرجعية ، جهد العقدة غير معروف هو الجهد الذي نحله ، V.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

المعادلة العقدية للعقدة العليا:

عدديا:

اضرب بواسطة 30: 7.5 + 3 فولت - 30 + 1.5 فولت + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

بالتالي: V = 10 V

{حل بواسطة مترجم TINA}
تميز الكلية
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
الغاية؛
V = [10]

#الحل بواسطة بايثون!
استيراد numpy كـ n، وsypy كـ s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#اكتب مصفوفة المعاملات:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#اكتب مصفوفة الثوابت:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])

V= n.linalg.solve(A,b)[0]
طباعة("%.3f"%V)
#الحل الرمزي مع الحل Sympy
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
طباعة (سول)

الآن دعونا نحدد التيارات من خلال المقاومات. هذا أمر سهل ، حيث يتم استخدام نفس التيارات في المعادلة العقدية أعلاه.

{حل بواسطة مترجم TINA}
{استخدم طريقة العقدة المحتملة!}
تميز الكلية
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
الغاية؛
V = [10]
{تيارات المقاومات}
IR1: = (V-Vs1) / R1.
IR2: = (V + Vs2) / R2.
IR3: = (V-Vs3) / R3.
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]

يمكننا التحقق من النتيجة باستخدام TINA بمجرد تشغيل الوضع التفاعلي DC الخاص بـ TINA أو باستخدام الأمر Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.

بعد ذلك ، دعنا نحل المشكلة التي تم استخدامها بالفعل كمثال أخير على قوانين كيرشوف الفصل

العثور على الفولتية وتيارات كل عنصر من عناصر الدائرة.

اختيار العقدة السفلية كعقدة مرجعية ذات 0 جهد ، الجهد العقدي لـ N₂ سوف تكون مساوية V_S3،: j₂ = لذلك لدينا جهد عقدي واحد غير معروف. قد تتذكر أنه في السابق ، باستخدام مجموعة كاملة من معادلات Kirchhoff ، حتى بعد بعض التبسيط ، كان لدينا نظام خطي من المعادلات من 4 مجاهيل.

كتابة معادلات العقدة للعقدة N₁دعونا نشير إلى الجهد العقدي N₁ by j₁

المعادلة البسيطة لحلها هي:

عدديا:

اضرب بواسطة 330 ، نحصل على:

3j₁-360-660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

بعد الحساب j_1,من السهل حساب الكميات الأخرى في الدائرة.

التيارات:

I_S3 = I_R1 - أنا_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 أ

والفولتية:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - ف_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (الخامس_S3 - ف_S2) = 270 - 60 = 210 فولت

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 فولت

قد تلاحظ أنه باستخدام طريقة العقدة المحتملة ، لا تزال بحاجة إلى بعض الحسابات الإضافية لتحديد تيارات وفولتات الدائرة. ومع ذلك ، فإن هذه الحسابات بسيطة للغاية ، وأبسط بكثير من حل أنظمة المعادلات الخطية لجميع كميات الدوائر في وقت واحد.

يمكننا التحقق من النتيجة باستخدام TINA بمجرد تشغيل الوضع التفاعلي DC في TINA أو استخدام الأمر Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

دعونا نرى المزيد من الأمثلة.

مثال 1

العثور على الأول الحالي

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

توجد في هذه الدائرة أربع عقد ، ولكن بما أن لدينا مصدر جهد مثالي يحدد جهد العقدة عند القطب الموجب ، فيجب أن نختار القطب السالب كعقدة مرجعية. لذلك ، لدينا حقًا إمكانات عقدة غير معروفة فقط: j₁ و j₂ .

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

معادلات العقد المحتملة j₁ و j₂:

عدديا:

لذلك نظام المعادلات الخطية هو:

لحل هذا ، اضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2 ، ثم أضف المعادلتين:

11j₁= 220

وبالتالي j₁= 20V ، j₂=(50 + 5j₁) / 6 = 25 فولت

وأخيرا التيار المجهول:

يمكن أيضًا حساب حل نظام المعادلات الخطية باستخدام حكم كريمر.

دعونا نوضح استخدام قاعدة كرامر من خلال حل النظام أعلاه مرة أخرى ..

1. املأ مصفوفة المعاملات المجهولة:

2. احسب قيمة محدد المصفوفة D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. ضع قيم الجانب الأيمن في عمود معاملات المتغير غير المعروف ، ثم احسب قيمة المحدد:

4. اقسم المحددات التي تم العثور عليها حديثًا بواسطة المحدد الأصلي ، للعثور على النسب التالية:

بالتالي j₁ = 20 الخامس و j₂ = 25 V

للتحقق من النتيجة باستخدام TINA ، ما عليك سوى تشغيل الوضع التفاعلي DC في TINA أو استخدام الأمر Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages. لاحظ أن استخدام دبوس الجهد مكون من TINA ، يمكنك إظهار إمكانات العقدة مباشرة بافتراض أن أرض مكون متصل العقدة المرجعية.

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

{حل بواسطة مترجم TINA}
SYS fi1 ، fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
الغاية؛
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1.
I = [500m]

#الحل بواسطة بايثون!
استيراد numpy كـ n
#يوجد لدينا نظام
#المعادلات الخطية
#نريد إيجاد حل لـ fi1 وfi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#اكتب مصفوفة المعاملات:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#اكتب مصفوفة الثوابت:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
طباعة("fi1= %.3f"%fi1)
طباعة("fi2= %.3f"%fi2)
أنا=(fi2-VS1)/R1
طباعة ("أنا = %.3f"%I)

مثال شنومكس.

العثور على الجهد المقاوم R₄.

R₁ = ص₃ = 100 أوم ، R₂ = ص₄ = 50 أوم ، R₅ = 20 أوم ، R₆ = 40 أوم ، R₇ = 75 أوم

انقر / اضغط على الدائرة أعلاه لتحليلها على الإنترنت أو انقر فوق هذا الرابط لحفظ تحت Windows

في هذه الحالة ، من العملي اختيار القطب السالب لمصدر الجهد V_S2 كعقدة مرجعية لأن القطب الموجب لـ V_S2 مصدر الجهد سيكون V_S2 = 150 عقدة محتملة. وبسبب هذا الاختيار ، فإن الجهد V المطلوب هو عكس جهد العقدة N_4;لذلك الخامس₄ = - V.

المعادلات:

نحن لا نقدم الحسابات اليدوية هنا ، حيث يمكن حل المعادلات بسهولة بواسطة مترجم TINA.

{حل بواسطة مترجم TINA}
{استخدم طريقة العقدة المحتملة!}
أنظمة Sys V و V1 و V2 و V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
الغاية؛
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#الحل بواسطة بايثون!
استيراد numpy كـ n
# استخدم طريقة العقدة المحتملة!
#لدينا نظام من المعادلات الخطية ونريد حلها
# بالنسبة إلى V وV1 وV2 وV3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#اكتب مصفوفة المعاملات:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#اكتب مصفوفة الثوابت:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
الخامس=س[0]
طباعة ("V= %.4f"%V)

للتحقق من النتيجة باستخدام TINA ، قم ببساطة بتشغيل الوضع التفاعلي DC لـ TINA أو استخدم الأمر Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages. لاحظ أنه يجب علينا وضع عدد قليل من دبابيس الجهد على العقد لإظهار الفولتية للعقد.