КОМПЛЕКСНИ НОМЕРА

Кликнете или докоснете примерните схеми по-долу, за да извикате TINACloud и изберете режим Интерактивна DC, за да ги анализирате онлайн.
Получете достъп до TINACloud, за да редактирате примерите или да създадете свои собствени схеми

МЕТЪТ И ТОКОВИ МЕТОДИ НА ПОВЪРХНОСТТА

ПРИНЦИПИ НА АЛТЕРНАТИВНИЯ ТЕКУЩ

В тази и следващите глави ще представим една много важна тема: AC или променлив ток. Името променлив ток не е много прецизно и обикновено покрива вериги с синусоидални напрежения и токове; обаче, променливият ток може да означава и произволна токова форма на вълната. Значението на променливотоковото напрежение е, че този вид напрежение се използва за основния източник на електрическа енергия в домовете и промишлеността по целия свят. Също така е в основата на много електроника, телекомуникации и промишлени приложения.

За да се справим със синусоидалните форми на вълни и свързаните с тях вериги, ще използваме прост и елегантен метод, наречен метод на фазори. Фазорите се основават на свойствата на комплексните числа, които са идеални за представяне на синусоидални величини. В тази глава ще обобщим основните факти за сложните числа и техните операции. Ще покажем и как интерпретаторът на TINA улеснява изчисленията с комплексни числа.

Комплексните числа се състоят от две части: a реална част (x), което е реално число и т.нар въображаема част (y), което е реално число, умножено по , въображаемата единица, Комплексното число zследователно могат да бъдат описани като:

z = x + jy

където .

Примери за сложни числа:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Сложните числа първоначално са въведени през XVII век, за да представят корените на полиномите, които не могат да бъдат представени само с реални числа. Например корените на уравнението x²+ 2x + 2 = 0 може да бъде описан само като намлява или използвайки нотацията , z₁= 1 + j намлява z₂= 1- j. Използвайки новата нотация за изследване на свойствата на изразите, математиците успяха да докажат теореми и да разрешат задачи, които дотогава бяха трудни, ако не и невъзможни за разрешаване. Това доведе до изработването на сложна алгебра и сложни функции, които сега се използват широко в математиката и инженерството.

Геометрично представяне на комплексни числа

Правоъгълна форма

Тъй като сложно число винаги може да бъде разделено на неговите реални и сложни части, можем да представим сложно число като точка на двуизмерна равнина. Реалната част на сложно число е проекцията на точката върху реалната ос, а въображаемата част на числото е проекцията върху въображаемата ос. Когато сложно число е представено като сбор от реални и въображаеми части, ние казваме, че е в правоъгълен or алгебрична форма.

Следващата фигура показва комплексния номер z = 2 + 4j

Полярна и експоненциална форма

Както можете да видите от фигурата по-горе, точката А може да бъде представена и от дължината на стрелката, r (наричана също абсолютната стойност, величината или амплитудата) и нейният ъгъл (или фаза), φ относително в посока, обратна на часовниковата стрелка спрямо положителната хоризонтална ос. Това е полярен форма на комплексно число. Обозначава се като r ∠ φ.

Следващата стъпка е много важна. Сложно число в полярна форма също може да бъде записано показателен форма:

Този прост израз е отличителен с това, че има въображаемо число в експонента вместо обичайното реално число. Този сложен експоненциал се държи много различно от експоненциалната функция с реален аргумент. Докато e^x нараства бързо в размер за увеличаване на x> 0 и намалява за x <0, функцията има същата величина (z = 1) за всеки φ. Освен това сложните му стойности лежат на единичната окръжност.

Формулата на Ойлер осигурява обединяваща връзка между правоъгълните, полярните и експоненциалните форми на комплексните числа:

z = x + jy = повторно ^jφ = r (cos φ + j грях φ )

където

намлява φ = тен^-1(Y / х).

За нашия пример по-горе, z = 2 + 4j:

φ = тен^-1(4 / 2) = 63.4 °

Следователно .

Или обратното:

Ще трябва да бъдете умели да използвате и двата формуляра, в зависимост от приложението. Например добавянето или изваждането очевидно е по-лесно да се направи, когато числата са в правоъгълна форма, докато умножението и делението е по-лесно да се правят, когато числата са в експоненциална форма.

Операции със сложни числа

Операциите, които могат да се извършват със сложни числа, са подобни на тези за реални числа. Правилата и някои нови дефиниции са обобщени по-долу.

Операции с j

Операциите с j просто следваме дефиницията на въображаемата единица,

За да можете да работите бързо и точно, трябва да запомните тези правила:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Доказателство:

j² = -1 просто следва от дефиницията на , от

За 1 /j, умножаваме 1 /jby j / j = 1 и получи j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

Комплексен конюгат

Сложният конюгат на комплексно число лесно се извлича и е много важен. За да получим сложния конюгат на комплексно число в правоъгълна форма, просто сменете знака на въображаемата част. За да направите това за число в експоненциална форма, променете знака на ъгъла на комплексното число, като запазите неговата абсолютна стойност същата.

Комплексният конюгат на комплексно число z често се обозначава с z^*.

Предвид комплексното число z= А + jb, нейният комплексен конюгат е z^*= а- jb.

If z се дава в експоненциална форма, неговият комплексен конюгат е

Използвайки дефинициите по-горе, лесно е да се види, че комплексното число, умножено по сложния й конюгат, дава квадрата на абсолютната стойност на комплексното число:

ZZ^* = r²= a^{2 +}b²

Също така, чрез добавяне или изваждане на всяко комплексно число и неговата спрегната, получаваме следните отношения:

z + z ^* = 2a

Следователно

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

По същия начин:

z - z ^* =j2b

Следователно

Аз съм(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Доказателство:

или умножаване на реалните и въображаемите части и използване j²= -1

ZZ^* = (А + jб) (а) jб) = а²+a jб - а jб - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = А + jb + a - jb = 2a

z - z^*= А + jb - a + jb =j2b

Числени примери:

В правоъгълна форма:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 16 + = 25

В полярна форма

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ° - 53.13 °

В експоненциална форма:

Събиране и изваждане

Събирането и изваждането на сложни числа е ясно - трябва само да добавим истинските и въображаемите части поотделно. Например, ако

z₁ = 3 - 4j намлява z₂= 2 + 3j

след това

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Очевидно е, че трябва да използваме правоъгълната форма за тези операции. Ако числата са дадени в експоненциална или полярна форма, първо трябва да ги преобразуваме в правоъгълна форма, използвайки формулата на Ойлер, както е дадено по-рано.

Умножение

Има два метода за умножение на комплексни числа -

Умножение на комплексни числа, дадени в правоъгълна форма

За да извършите операцията, просто умножете действителните и въображаемите части на едно число от своя страна на реалните и въображаемите части на другото число и използвайте идентичността j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Когато сложните числа са дадени числено, не е необходимо да се използва формулата по-горе. Например, нека

z₁ = 3 - 4j намлява z₂= 2 + 3j

С директно умножаване на компонентите:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

или използвайки формулата: z₁z₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Смятаме, че е по-вероятно да направите грешка, ако използвате формулата, отколкото ако умножите компонентите директно.

{Решение от преводача на TINA}
z1: = 3-4 * й
z2: = + 2 3 * й
z1 * z2 = [18 + 1 * J]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z1=комплекс('3-4j')
z2=комплекс('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Умножение на комплексни числа, дадени в полярна или експоненциална форма

За да извършите тази операция, умножете абсолютните стойности и добавете ъглите на двете комплексни числа. Позволявам:

Тогава използвайки правилото за умножение на експоненциалните функции:

или в полярна форма

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ Ï †₂

Забележка: Вече използвахме това правило, когато изчислихме ZZ ^*по-горе. Тъй като ъгълът на конюгата има обратен знак на първоначалния ъгъл, сложно число, умножено по собствения му конюгат, винаги е действително число; а именно квадратът на неговата абсолютна стойност: ZZ ^*= r²

Например:

z₁ = 5 ∠ 30 ° и z₂ = 4 ∠ -60 °

след това

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

или в експоненциална форма

Умножението е очевидно по-просто, когато числата са в полярна или експоненциална форма.

Ако обаче сложните числа са дадени в правоъгълна форма, трябва да помислите да извършите умножението директно, както е показано по-горе, тъй като има допълнителни стъпки, ако преобразувате числата в полярна форма, преди да ги умножите. Друг фактор, който трябва да вземете предвид е дали искате отговорите да са в правоъгълна форма или в полярна / експоненциална форма. Например, ако двете числа са в правоъгълна форма, но бихте искали продукта им в полярна форма, има смисъл веднага да ги конвертирате и след това да ги умножите.

делене

Има два метода за разделяне на комплексни числа -

Разделяне на комплексни числа, дадени в правоъгълна форма

За да извършите операцията, умножете числителя и знаменателя чрез съчетанието на знаменателя. Знаменателят става реално число и делението се свежда до умножение на две сложни числа и деление на реално число, квадратът на абсолютната стойност на знаменателя.

Например нека:

z₁ = 3 - 4j намлява z₂= 2 + 3j

Нека проверим този резултат с TINA's Interpreter:

{Решение от преводача на TINA}
z1: = 3-4 * й
z2: = + 2 3 * й
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * J]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z1=комплекс('3-4j')
z2=комплекс('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Разделяне на комплексни числа, дадени в полярна или експоненциална форма

За да извършите операцията, разделете абсолютните стойности (величини) и извадете ъгъла на знаменателя от ъгъла на числителя. Позволявам:

след това използвайки правилото за разделяне на експоненциалните функции

или в полярна форма

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Например:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° и z ₂ = 2 ∠ -60 °

след това

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

или в експоненциални и правоъгълни форми

Нека проверим този резултат с TINA's Interpreter:

{Решение от преводача на TINA}
z1: = 5 * Exp (J * degtorad (30))
z2: = 2 * Exp (J * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * J]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radians(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Разделянето очевидно е по-просто, когато числата са в полярна или експоненциална форма.

Ако обаче сложните числа са дадени в правоъгълна форма, трябва да помислите за извършване на делението директно, използвайки сложния метод на конюгат, както е показано по-горе, тъй като има допълнителни стъпки, ако преобразувате числата в полярна форма, преди да ги разделите. Друг фактор, който трябва да вземете предвид е дали искате отговорите да са в правоъгълна форма или в полярна / експоненциална форма. Например, ако двете числа са в правоъгълна форма, но бихте искали коефициента им в полярна форма, има смисъл да ги преобразувате веднага и след това да ги разделяте.

Сега нека илюстрираме използването на сложни числа чрез по-числени задачи. Както обикновено, ние ще проверим нашите решения с помощта на TINA's Interpreter. Интерпретаторът работи с радиани, но има стандартни функции за преобразуване на радиани в градуси или обратно.

Пример 1 Намерете полярното представяне:

z = 12 - j 48

или 49.48 ∠ - 75.96 °

{Решение от преводача на TINA}
Z: = 12-J * 48;
абсолютен (Z) = [49.4773]
дъга (Z) = [- 1.3258]
radtodeg (дъга (Z)) = [- 75.9638]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z=12-комплекс (48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“degrees(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

Пример 2 Намерете правоъгълното представяне:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Решение от преводача на TINA}
Z: = 25 * Exp (J * (degtorad (125)));
Z = [- 14.3394 + 20.4788 * J]
Re (Z) = [- 14.3394]
Im (Z) = [20.4788]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z=25*c.exp(complex(0,m.radians(125)))
печат (“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Пример 3 Намерете полярното представяне на следните комплексни числа:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Абсолютните стойности и на четирите числа са еднакви, тъй като абсолютната стойност не зависи от знаците. Само ъглите са различни.

{Решение от преводача на TINA}
z1: = 12 + J * 48;
абсолютен (z1) = [49.4773]
дъга (z1) = [1.3258]
radtodeg (дъга (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-J * 48;
абсолютен (z2) = [49.4773]
дъга (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (дъга (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + J * 48;
абсолютен (z3) = [49.4773]
дъга (z3) = [1.8158]
radtodeg (дъга (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-J * 48:
абсолютен (z4) = [49.4773]
дъга (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (дъга (z4)) = [- 104.0362]

#Решение от Python:
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c

z1=комплекс('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“degrees(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2=комплекс('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“degrees(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3=комплекс ('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“degrees(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4=комплекс('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“degrees(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

Дъгата () на TINA определя ъгъла на всяко сложно число, автоматично го поставя правилно в един от четирите квадранта.

Бъдете внимателни обаче, като използвате тен^-1 функция за намиране на ъгъла, тъй като той е ограничен до връщащи ъгли само в първия и четвъртия квадрант (–90 °φ<90 °).

Тъй като z₁се намира в първия квадрант на координатната система, изчислението е:

α₁ = тен^-1(48 / 12) = тен^-1(4) = 75.96 °

Тъй като z₄се намира в третия квадрант на координатната система, tan^-1не връща правилно ъгъла. Изчислението на ъгъла е:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° или -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, което е същото като изчисленото от TINA.

z₂се намира в четвъртия квадрант на координатната система Изчислението на ъгъла е:

α₂ = тен^-1(-48 / 12) = тен^-1(-4) = -75.96 °

z_3,обаче, е в квадранта 2nd на координатната система, така че тен^-1не връща правилно ъгъла. Изчислението на ъгъла е:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Пример 4 Имаме две комплексни числа: z₁= 4 - j 6 и z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Какво z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Първо решаваме проблема с помощта на интерпретатора на TINA

{Решение от преводача на TINA}
z1: = 4-J * 6;
z2: = 5 * Exp (J * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * J]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * J]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * J]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * J]

Забележете как TINA без усилие се справя с двете сложни числа, дадени в различни форми.

Решението е по-сложно без преводача. За да можем да сравним различните методи за умножение и деление, първо ще определим полярната форма на z₁ и правоъгълната форма на z₂.

На следващо място, ние намираме четирите решения, използвайки първо най-лесните форми: правоъгълни за събиране и изваждане и експоненциални за умножение и деление: