ЗАКОНИ НА КИРХОФ

Кликнете или докоснете примерните схеми по-долу, за да извикате TINACloud и изберете режим Интерактивна DC, за да ги анализирате онлайн.
Получете достъп до TINACloud, за да редактирате примерите или да създадете свои собствени схеми

ТЕОРЕМА НА СУПЕРПОЗИЦИЯТА

ПОТЕНЦИАЛЕН МЕТОД НА NODE

Много схеми са твърде сложни, за да бъдат решени с помощта на правилата за серийни или паралелни вериги или техниките за преобразуване в по-прости схеми, описани в предишни глави. За тези схеми се нуждаем от по-общи методи за решение. Най-общият метод е даден от законите на Кирхоф, които позволяват изчисляването на всички вериги напрежения и токове на вериги чрез решение на система от линейни уравнения.

Има два Законите на Кирхоф, законът за напрежението и тока закон. Тези два закона могат да се използват за определяне на всички напрежения и токове на вериги.

Законът за напрежението на Кирхоф (KVL) гласи, че алгебраичната сума на напрежението се повишава и падането на напрежението около контура трябва да бъде нула.

Цикъл в горната дефиниция означава затворен път във веригата; тоест път, който оставя възел в една посока и се връща към същия този възел от друга посока.

В нашите примери ще използваме посока на часовниковата стрелка за контури; въпреки това, същите резултати ще бъдат получени, ако се използва посоката, обратна на часовниковата стрелка.

За да приложим KVL без грешка, трябва да определим така наречената референтна посока. Референтната посока на неизвестните напрежения сочи от знака + до - на предполагаемите напрежения. Представете си, че използвате волтметър. Бихте поставили положителната сонда на волтметъра (обикновено червена) на референтния + терминал на компонента. Ако реалното напрежение е положително, то е в същата посока, както предполагахме, и нашето решение, и волтметърът ще покажат положителна стойност.

Когато извеждаме алгебраичната сума на напреженията, трябва да присвоим знак плюс на тези напрежения, при които референтната посока съответства на посоката на цикъла, и отрицателните знаци в обратния случай.

Друг начин за заявяване на закона за напрежението на Kirchhoff е: приложеното напрежение на серийна верига е равно на сумата от падащите напрежения в серийните елементи.

Следващият кратък пример показва използването на закона за напрежението на Kirchhoff.

Намерете напрежението през резистор R_2, при условие, че напрежението на източника, V_S = 100 V и че напрежението през резистор R₁е V₁ = 40 V.

Фигурата по-долу може да бъде създадена с TINA Pro Версия 6 и по-нова, в която инструментите за рисуване са достъпни в схематичния редактор.

Решението, използващо закона за напрежението на Kirchhoff: -V_S + V₁ + V₂= 0 или V_S = V₁ + V₂

по този начин: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Обърнете внимание, че обикновено не знаем напреженията на резисторите (освен ако не ги измерваме) и трябва да използваме и двата закона на Кирхоф за решението.

Сегашният закон на Кирхоф (KCL) гласи, че алгебраичната сума на всички токове, влизащи и излизащи от всеки възел във верига, е нула.

По-нататък даваме знак + на токове, напускащи възел, и знак - на токове, влизащи в възел.

Ето един основен пример, демонстриращ действащия закон на Кирхоф.

Намерете тока I₂ ако източникът на ток I_S = 12 A, и аз₁ = 8 A.

Използване на сегашното законодателство на Kirchhoff в кръговия възел: -I_S + I₁ + I₂ = 0, следователно: I₂= I_S - Аз₁ = 12 - 8 = 4 A, както можете да проверите с помощта на TINA (следваща фигура).

В следващия пример ще използваме както законите на Кирххоф плюс закона на Ом, за да изчислим тока и напрежението в резисторите.

На фигурата по-долу ще отбележите Стрелка на напрежение над резистори. Това е нов компонент, достъпен в Версия 6 на TINA и работи като волтметър. Ако го свържете през компонент, стрелката определя референтната посока (за сравнение с волтметър, представете си, че поставяте червената сонда в опашката на стрелката и черната сонда на върха). Когато стартирате DC анализ, действителното напрежение на компонента ще бъде показано на стрелката.

Кликнете / докоснете горната верига, за да анализирате онлайн или кликнете върху тази връзка, за да запазите под Windows

За да започнем да използваме сегашния закон на Кирхоф, виждаме, че токовете през всички компоненти са еднакви, така че нека да обозначим този ток с I.

Според закона за напрежението на Kirchhoff: V_S = V₁+V₂+V₃

Сега използваме закона на Ом: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

И от тук токът на веригата:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃= 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Накрая напреженията на резисторите:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Същите резултати ще се видят и на стрелките за напрежение, като просто се проведе интерактивният DC анализ на TINA.

В тази следваща по-сложна схема използваме и законите на Кирхоф, и закона на Ом, но откриваме, че най-много решаваме линейна система от уравнения.

Общият брой на независимите приложения на законите на Кирхоф в една верига е броят на клоните на веригата, докато общият брой неизвестни (токът и напрежението на всеки клон) е два пъти по-голям от този. Въпреки това, като използвате закона на Ом при всеки резистор и прости уравнения, определящи приложените напрежения и токове, получаваме система от уравнения, където броят на неизвестните е същият като броя на уравненията.

Намерете клоновите течения I1, I2, I3 в схемата по-долу.

Кликнете / докоснете горната верига, за да анализирате онлайн или кликнете върху тази връзка, за да запазите под Windows

Следва набор от уравнения:

Възелното уравнение за кръговия възел:

- I₁- I₂- Аз₃ = 0

или умножаване по -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Уравненията на цикъла (използвайки посоката на часовниковата стрелка) за контура L1, съдържащ V₁, R₁ и R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

и за веригата L2, съдържаща V₂, R₂ и R₃

I₃*R₃ - Аз₂*R₂ +V₂ = 0

Замяна на стойностите на компонентите:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 * Аз 40₃ * Аз -20₂ + 16 = 0

Express I₁ използвайки възловото уравнение: I₁ = -I₂ - Аз₃

след това го заместваме във второто уравнение:

-V₁- (аз₂ + I₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Express I₂ и го заместете в третото уравнение, от което вече можете да изчислите I₃:

I₂ = - (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

И: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Следователно I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A намлява I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Или: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Сега нека разрешим същите уравнения с преводача на TINA:

{Решение от преводача на TINA}
Сис I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
края;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Решение от Python
импортирайте numpy като np, sympy като s
#Имаме линейна система от
#уравнения, които искаме да решим:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
печат (сол)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Накрая нека проверим резултати чрез TINA:

На следващо място, нека да анализираме следната още по-сложна схема и да определим нейните разклонения на токове и напрежения.

Кликнете / докоснете горната верига, за да анализирате онлайн или кликнете върху тази връзка, за да запазите под Windows

Нека обозначим неизвестните напрежения и токове, като добавим стрелки на напрежение и ток към компоненти, а също така ще покажем контурите (L1, L2, L3) и възлите (N1, N2), където ще използваме уравненията на Кирхоф.

Кликнете / докоснете горната верига, за да анализирате онлайн или кликнете върху тази връзка, за да запазите под Windows

Тук е наборът от Уравнения на Кирхоф за бримките (използвайки посоката на часовниковата стрелка) и възлите.

-I_L+ I_R1- Аз_s= 0(за N1)

- Аз_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (за N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (за L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (за L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

Прилагане на закона на Ом:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Аз_L*R₃

Това е 9 неизвестни и 9 уравнения. Най-лесният начин да се реши това е да използвате тези на TINA

преводач. Ако обаче сме притиснати да използваме ръчни изчисления, трябва да отбележим, че този набор от уравнения може лесно да се намали до система от 5 неизвестни чрез заместване на последните 4 уравнения в уравненията на контура L1, L2, L3. Също така чрез добавяне на уравнения (L1) и (L2), можем да премахнем V_Is, намаляване на проблема до система от 4 уравнения за 4 неизвестни (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Когато открием тези течения, можем лесно да определим V_L, V_R1, V_R2, и V_R3 използвайки последните четири уравнения (закон на Ом).

Заместване на V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Аз_s= 0(за N1)

- Аз_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (за N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (за L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (За L2)

- Аз_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

Добавяме (L1) и (L2)

-I_L+ I_R1- Аз_s= 0(за N1)

- Аз_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (за N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Аз_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (за L3)

След заместване на стойностите на компонентите, решението на тези уравнения идва лесно.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (за N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (за N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (Л₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (за L₃)

от L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

от N₂ I_S3 - Аз_R1 = - 5.25 (II)

от L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

и за N₁ I_R1 - Аз_L = 2 (IV)

Умножете (IV) с –30 и добавете към (III) 140 I_L = -210 следователно I_L = - 1.5 A

Заместник I_L в (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

и аз_R1 в (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

И напреженията: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Аз_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Решение на оригиналните уравнения от интерпретатора на TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Е + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
края;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Решение от Python
#Ax=b
импортирайте numpy като np, sympy като s
#Символично решение с помощта на numpy.solve
#Уравнения:
#IL=-Е+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Решете за:
#IL,IR1,IR2,
#Is3, Vis, VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Е+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
печат (сол)

#Друг метод за решаване с помощта на numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Решение на намаления набор от уравнения с помощта на интерпретатора:

{Решение на намаления набор от уравнения от интерпретатора на TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-IL + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + = 210 0
края;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Можем също да въведем изрази за напреженията и да накараме преводача на TINA да ги изчисли:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Вл: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-ил + Vr3;
Вл = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Можем да проверим резултата с TINA, като просто включим интерактивния режим на TINA или използваме Анализ / DC анализ / Нодални напрежения

ТЕОРЕМА НА СУПЕРПОЗИЦИЯТА

ПОТЕНЦИАЛЕН МЕТОД НА NODE