Кликнете или докоснете примерните схеми по-долу, за да извикате TINACloud и изберете режим Интерактивна DC, за да ги анализирате онлайн. Получете достъп до TINACloud, за да редактирате примерите или да създадете свои собствени схеми
Както вече видяхме, вериги със синусоидално възбуждане могат да бъдат решени с помощта сложни импеданси за елементите и. \ t комплексен връх or комплекс rms стойности за токовете и напреженията. Използвайки версията със сложни стойности на законите на Kirchhoff, възлови и мрежови техники за анализ могат да бъдат използвани за решаване на променливотокови вериги по начин, подобен на DC вериги. В тази глава ще покажем това чрез примери за законите на Кирххоф.
Пример 1
Намерете амплитудата и фазовия ъгъл на тока ivs(T) if
vS(t) = VSM cos 2pфута; i (t) = ISM cos 2pфута; VSM = 10 V; азSM = 1 A; f = 10 kHz;
Общо имаме 10 неизвестни напрежения и токове, а именно: i, iC1, TheR, TheL, TheC2вC1вRвLвC2 и vIS, (Ако използваме сложни пикови или rms стойности за напрежения и токове, имаме общо 20 реални уравнения!)
Уравненията:
Уравнения на цикъла или мрежата: M1 - VSM +VC1M+VRM = 0
M2 - VRM + VLM = 0
M3 - VLM + VC2M = 0
M4 - VC2M + VISM = 0
Законите на Ом VRM = R *IRM
VLM = j*w* L *ILM
IC1M = j*w*C1*VC1M
IC2M = j*w*C2*VC2M
Възелно уравнение за N1 - IC1M - ISM + IRM + ILM +IC2M = 0
за серийни елементи I = IC1MРешавайки системата от уравнения можете да намерите неизвестния ток:
ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A
Решаването на такава голяма система от сложни уравнения е много сложно, така че не сме го показвали подробно. Всяко сложно уравнение води до две реални уравнения, така че ние показваме решението само от стойностите, изчислени с интерпретатора на TINA.
Решението, използващо преводача на TINA:
ОМ: = 20000 * пи;
Vs: = 10;
Е: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Е {N1}
{Правилата на Ом}
Ic1 = к * ом * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = к * ом * L * IL
Ic2 = к * ом * C2 * Vc2
Ивс = Ic1
края;
Ивс = [3.1531E1 + 1.7812E0 * J]
абсолютен (Ивс) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * дъга (Ивс) / пи
fiIvs = [79.9613]
импортирайте sympy като s
импортирайте cmath като c
cp= ламбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=20000*c.pi
Vs=10
Е=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
печат (Ivs)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))
Решението, използващо TINA:
За да решите ръчно този проблем, работете със сложните импеданси. Например R, L и C2 са свързани паралелно, така че можете да опростите веригата, като изчислите техния паралелен еквивалент. || означава паралелен еквивалент на импедансите:
Изразено в числа:
Опростената верига, използваща импеданса:
Уравненията в подреден вид: I + IG1 = IZ
VS = VC1 +VZ
VZ = Z · IZ
I = j w C1· VC1
Има четири неизвестни- I; IZ; VC1; VZ - и имаме четири уравнения, така че е възможно решение.
Експресен I след заместване на другите неизвестни от уравненията:
числено
Според резултата на TINA's Interpreter.
ОМ: = 20000 * пи;
Vs: = 10;
Е: = 1;
Z: = replus (R, replus (J * ом * L, 1 / й / ом / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * J]
сис аз
I = к * ом * C1 * (VS-Z * (I + е))
края;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * J]
абсолютен (I) = [1.8089]
180 * дъга (I) / PI = [79.9613]
импортирайте sympy като s
импортирайте cmath като c
Replus= ламбда R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
Vs=10
Е=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[комплекс(Z) за Z в кортеж(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.phase(I)/c.pi=”,cp(180*c.phase(I)/c.pi))
Функцията за време на тока е:
i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A
Можете да проверите текущото правило на Kirchhoff, като използвате фазови диаграми. Картината по-долу е разработена чрез проверка на уравнението на възела в iZ = i + iG1 образуват. Първата диаграма показва фазорите, добавени чрез правило за паралелограм, втората илюстрира правилото на триъгълника на добавянето на фазор.
Сега нека демонстрираме KVR, като използваме фазовата диаграма на TINA. Тъй като напрежението на източника е отрицателно в уравнението, свързахме волтметъра „назад“. Фазовата диаграма илюстрира оригиналната форма на правилото за напрежение на Kirchhoff.
Първата фазорна диаграма използва правилото за паралелограм, докато второто използва правилото за триъгълник.
За да се илюстрира KVR под формата VC1 + VZ - VS = 0, ние отново свързахме волтметъра към източника на напрежение назад. Можете да видите, че фазовият триъгълник е затворен.
Пример 2
Намерете напрежения и токове на всички компоненти, ако:
vS(t) = 10 cos wt V, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;
C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.
Нека неизвестните са сложните пикови стойности на напреженията и токовете на „пасивните“ елементи, както и тока на източника на напрежение (iVS ) и напрежението на източника на ток (vIS ). Общо има дванадесет сложни неизвестни. Имаме три независими възли, четири независими бримки (маркирани като MI), и пет пасивни елемента, които могат да се характеризират с пет „закони на Ом” - общо има 3 + 4 + 5 = 12 уравнения:
Възелни уравнения за N1 IVSM = IR1M + IC2M
за N2 IR1M = ILM + IC1M
за N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = IR2M
Уравнения на веригата за М1 VSM = VC2M + VR2M
за М2 VSM = VC1M + VR1M+ VR2M
за М3 VLM = VC1M
за М4 VR2M = VISM
Законите на Ом VR1M = R1*IR1M
VR2M = R2*IR2M
IC1m = j *w*C1*VC1M
IC2m = j *w*C2*VC2M
VLM = j *w* L * ILM
Не забравяйте, че всяко сложно уравнение може да доведе до две реални уравнения, така че методът на Kirchhoff изисква много изчисления. Много по-лесно е да се решат функциите на времето на напреженията и токовете, като се използва система от диференциални уравнения (не са обсъдени тук). Първо показваме резултатите, изчислени от TINA's Interpreter:
е: = 10000;
Vs: = 10;
S: = 0.005 * Exp (J * пи / 6);
ОМ: = 2 * пи * F;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=по отношение на {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
края;
абсолютен (vr1) = [970.1563m]
абсолютен (vr2) = [10.8726]
абсолютен (ic1) = [245.6503u]
абсолютен (ic2) = [3.0503m]
абсолютен (vc1) = [39.0965m]
абсолютен (vc2) = [970.9437m]
абсолютен (IL) = [3.1112u]
абсолютен (VL) = [39.0965m]
абсолютен (IVS) = [3.0697m]
180 + radtodeg (ARC (IVS)) = [58.2734]
абсолютен (отношение) = [10.8726]
radtodeg (дъга (отношение)) = [- 2.3393]
radtodeg (дъга (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (дъга (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (дъга (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (дъга (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (дъга (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (дъга (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (дъга (IL)) = [- 24.8908]
radtodeg (дъга (VI)) = [65.1092]
импортирайте sympy като s
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c
cp= ламбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
е = 10000
Vs=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+degrees(phase(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“degrees(phase(vis))=”,cp(m.degrees(c.phase(vis))))
print(“degrees(phase(vr1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print(“degrees(phase(vr2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print(“degrees(phase(ic1))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print(“degrees(phase(ic2))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print(“degrees(phase(vc2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc2))))
print(“degrees(phase(vc1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc1))))
print(“degrees(phase(iL))=”,cp(m.degrees(c.phase(iL))))
print(“degrees(phase(vL))=”,cp(m.degrees(c.phase(vL))))
Сега опитайте да опростите уравненията на ръка, като използвате заместване. Първи заместител eq.9. в eq 5.
VS = VC2 + R2 IR2 а.)
след това екв. 8 и eq.9. в eq 5.
VS = VC1 + R2 IR2 + R1 IR1 б.)
след това eq 12., eq. 10. и азL от ур. 2 в eq.6.
VC1 = VL = jwLIL = jwL (IR1 - АзC1) = jwLIR1 - jwL jwC1 VC1
Express VC1
° С.)
Express VC2 от ур.4. и eq.5. и заместител eq.8., eq.11. и VC1:
д.)
Заменете ур. 2, 10., 11. и г.) В ур.3. и изразявам азR2
IR2 = IC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS
д.)
Сега заменете г) и д.) В ур.4 и изражете IR1
Изразено в числа:
Времевата функция на iR1 е следното:
iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA
Измерените напрежения: 
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian