Кликнете или докоснете примерните схеми по-долу, за да извикате TINACloud и изберете режим Интерактивна DC, за да ги анализирате онлайн. Получете достъп до TINACloud, за да редактирате примерите или да създадете свои собствени схеми
Пълният набор от уравнения на Кирхоф може да бъде значително опростен чрез метода на потенциала на възлите, описан в тази глава. Използвайки този метод, законът за напрежението на Kirchhoff се изпълнява автоматично и ние трябва да напишем само уравнения на възлите, за да удовлетворим и сегашния закон на Kirchhoff. Задоволяването на закона за напрежението на Kirchhoff се постига чрез използване на възлови потенциали (също наречени възлови или възлови напрежения) по отношение на конкретен възел, наречен справка възел. С други думи, всички напрежения във веригата са относителни към референтен възел, което обикновено се счита за 0 потенциал. Лесно е да се види, че с тези дефиниции на напрежението законът за напрежението на Kirchhoff се изпълнява автоматично, тъй като записването на уравнения на контура с тези потенциали води до идентичност. Имайте предвид, че за верига с N възли трябва да пишете само N - 1 уравнения. Обикновено уравнението на възела за референтния възел е пропуснато.
Сумата от всички токове във веригата е нула, тъй като всеки ток тече във и извън възел. Следователно уравнението на N-тия възел не е независимо от предишните N-1 уравнения. Ако включихме всички N уравнения, щяхме да имаме неразрешима система от уравнения.
Методът на потенциалния възел (наричан още нодален анализ) е методът, най-подходящ за компютърни приложения. Повечето програми за анализ на вериги - включително TINA - се основават на този метод.
Стъпките на възловия анализ:
1. Изберете референтен възел с 0 възлови потенциала и маркирайте всеки останал възел с V1, V2 or j1, j2и така нататък.
2. Приложете текущия закон на Kirchhoff на всеки възел с изключение на референтния възел. Използвайте закона на Ом, за да изразите неизвестни токове от потенциалите на възела и напреженията на източника на напрежение, когато е необходимо. За всички неизвестни токове приемете една и съща референтна посока (напр. Насочена от възела) за всяко приложение на действащия закон на Kirchhoff.
3. Решете получените уравнения на възела за напрежението на възела.
4. Определете всеки заявен ток или напрежение във веригата, като използвате напреженията на възела.
Нека илюстрираме стъпка 2, като напишем уравнението на възела за възел V1 на следния фрагмент на веригата:
Първо, намерете тока от възел V1 до възел V2. Ще използваме закона на Ом в R1. Напрежението в R1 е V1 - V2 - VS1
А токът през R1 (и от възел V1 до възел V2) е
Обърнете внимание, че този ток има референтна посока, насочена към V1 възел. Използвайки конвенцията за токове, сочещи към възел, трябва да се вземе предвид в уравнението на възела с положителен знак.
Настоящият израз на разклонението между V1 и V3 ще бъде подобно, но тъй като VS2 е в обратна посока от VS1 (което означава потенциала на възела между VS2 и R2 е V3-VS2), токът е
И накрая, поради посочената референтна посока, азS2 трябва да има положителен знак и азS1 отрицателен знак в уравнението на възела.
Уравнението на възела:
Сега нека видим пълен пример, за да демонстрираме използването на метода на потенциала на възела.
Намерете напрежението V и токовете през резисторите във веригата по-долу
Тъй като имаме само два възела в тази схема, можем да намалим решението до определянето на едно неизвестно количество. Избирайки долният възел като референтен възел, неизвестното напрежение на възела е напрежението, за което решаваме, V.
Възелното уравнение за горния възел:
Изразено в числа:
Умножете по 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V - 55 = 0
Следователно: V = 10 V
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
края;
V = [10]
импортирайте numpy като n, sympy като s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Напишете матрицата на коефициентите:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Напишете матрицата на константите:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
печат (“%.3f”%V)
#Символично решение със sympy решение
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
печат (сол)
Сега нека да определим токовете през резисторите. Това е лесно, тъй като същите токове се използват в уравнението на възлите по-горе.
{Използвайте метод за потенциал на възел!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
края;
V = [10]
{Токовете на резисторите}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]
Можем да проверим резултата с TINA, като просто включим интерактивния режим на TINA или използваме командата Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.
След това, нека разрешим проблема, който вече беше използван като последен пример за Законите на Кирххоф глава
Намерете напреженията и токовете на всеки елемент на веригата.
Избирайки долния възел като референтен възел с 0 потенциала, възловото напрежение на N2 ще бъде равен на VS3,: j2 = следователно имаме само едно неизвестно възлово напрежение. Може би си спомняте, че по-рано, използвайки пълния набор от уравнения на Кирхоф, дори и след някои опростявания, имахме линейна система от уравнения от 4 неизвестни.
Писане на уравненията на възела за възел N1, нека обозначим възловото напрежение на N1 by j1
Простото уравнение за решаване е:
Изразено в числа:
Умножава се с 330, получаваме:
3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
След изчисляване j1, лесно е да се изчислят останалите количества във веригата.
Теченията:
IS3 = IR1 - АзR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 А
И напреженията:
VIs = j1 = 285 V
VR1= (j1 - VS3= 285 - 270 = 15 V
VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V
VL = - ((j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V
Може да забележите, че с метода на потенциала на възлите все още се нуждаете от допълнително изчисление, за да определите токовете и напреженията на веригата. Тези изчисления обаче са много прости, много по-прости от решаването на системи с линейни уравнения за всички величини на веригата едновременно.
Можем да проверим резултата с TINA, като просто включим интерактивния режим на TINA или използваме командата Analysis / DC Analysis / Nodal Vol Vols.
 |
Нека видим още примери.
Пример 1
Намерете сегашната I.
В тази верига има четири възли, но тъй като имаме идеален източник на напрежение, който определя напрежението на възела на неговия положителен полюс, ние трябва да изберем неговия отрицателен полюс като референтен възел. Следователно, ние наистина имаме само два неизвестни потенциала на възлите: j1 намлява j2 .
Уравненията за възлите на потенциалите j1 намлява j2:
Изразено в числа:
За да решите това, умножете първото уравнение по 3, а второто по 2, след което добавете двете уравнения:
11j1 = 220
и следователно j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V
И накрая неизвестния ток:
Решението на система от линейни уравнения също може да се изчисли, като се използва Правилото на Крамер.
Нека илюстрираме използването на правилото на Креймър, като решим системата отново.
1. Попълнете матрицата на коефициентите на неизвестни:
2. Изчислете стойността на детерминанта на D матрицата.
| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22
3. Поставете стойностите на дясната страна в колоната на коефициентите на неизвестната променлива, след което изчислете стойността на детерминанта:
4.Разпределете новооткритите детерминанти от първоначалния детерминант, за да намерите следните съотношения:
следователно j1 = 20 V намлява j2 = 25 V
За да проверите резултата с TINA, просто включете интерактивния режим на TINA или използвайте командата Анализ / DC анализ / Нодални напрежения. Обърнете внимание, че използването на Напрежение Пин компонент на TINA, можете директно да покажете възлите потенциали, приемайки, че приземен компонент е свързан с референтния възел.
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
края;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
импортирайте numpy като n
#Имаме система от
#lлинейни уравнения, които
#искаме да решим за fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Напишете матрицата на коефициентите:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Напишете матрицата на константите:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)
Пример 2.
Намерете напрежението на резистора R4.
R1 = R3 = 100 ома, R2 = R4 = 50 ом, R5 = 20 ом, R6 = 40 ом, R7 = 75 ома
В този случай е практично да изберете отрицателния полюс на източника на напрежение VS2 като референтен възел, защото тогава положителният полюс на VS2 източник на напрежение ще има VS2 = 150 възлови потенциала. Поради този избор обаче, необходимото V напрежение е противоположно на напрежението на възела N4; следователно V4 = - V.
Уравненията:
Тук не представяме ръчните изчисления, тъй като уравненията могат лесно да бъдат решени от преводача на TINA.
{Използвайте метод за потенциал на възел!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
края;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
импортирайте numpy като n
#Използвайте метода на потенциалния възел!
#Имаме система от линейни уравнения, които искаме да решим
#за V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Напишете матрицата на коефициентите:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Напишете матрицата на константите:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)
За да проверите резултата с, TINA просто включете интерактивния режим на TINA или използвайте командата Анализ / DC анализ / Нодални напрежения. Обърнете внимание, че трябва да поставим няколко щифта за напрежение на възлите, за да покажем напреженията на възлите.
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian