Кликнете или докоснете примерните схеми по-долу, за да извикате TINACloud и изберете режим Интерактивна DC, за да ги анализирате онлайн.
Получете достъп до TINACloud, за да редактирате примерите или да създадете свои собствени схеми

СУПЕРПОЗИЦИЯ В КЛЮЧОВЕ НА АС \ t $СУПЕРПОЗИЦИЯ В КЛЮЧОВЕ НА АС \ t$

ЗАКОНИ НА KIRCHHOFF В AC СХЕМИ

Теоремата на Тевенин за променливотокови вериги със синусоидални източници е много подобна на теоремата, която научихме за постояннотокови вериги. Единствената разлика е, че трябва да вземем предвид импеданс вместо съпротивление. Кратко казано, Теоремата на Тевенин за променливотокови вериги казва:

Всяка две терминална линейна верига може да бъде заменена от еквивалентна верига, състояща се от източник на напрежение (V_Th) и серия импеданс (Z_Th).

С други думи, Теоремата на Тевенин позволява да се замени сложна верига с проста еквивалентна схема, съдържаща само източник на напрежение и последователно свързан импеданс. Теоремата е много важна както от теоретична, така и от практическа гледна точка.

Важно е да се отбележи, че еквивалентната схема на Тевенин осигурява еквивалентност само на клемите. Очевидно е, че вътрешната структура на оригиналната верига и еквивалентът на Thévenin може да бъде съвсем различна. А за променливотокови вериги, където импедансът зависи от честотата, еквивалентността е валидна при един само честота.

Използването на теоремата на Тевенин е особено изгодно, когато:

· искаме да се концентрираме върху конкретна част от верига. Останалата част от схемата може да бъде заменена с обикновен еквивалент на Thévenin.

· трябва да проучим веригата с различни стойности на натоварването на клемите. Използвайки Thеvenin еквивалент, можем да избегнем необходимостта да анализираме сложната оригинална схема всеки път.

Можем да изчислим еквивалентната схема на Тевенин в две стъпки:

1. Изчисли Z_Th, Задайте всички източници на нула (заменете източниците на напрежение с къси съединения и източници на ток от отворени вериги) и след това намерете общия импеданс между двата терминала.

2. Изчисли V_Th.Намерете напрежението на отворената верига между клемите.

Теоремата на Нортън, вече представена за DC вериги, може да се използва и в AC вериги. Теоремата на Нортън, приложена към вериги с променлив ток, гласи, че мрежата може да бъде заменена с a източник на ток успоредно с а импеданс.

Можем да изчислим еквивалентната верига на Нортън на две стъпки:

2. Изчисли I_Th.Намерете тока на късо съединение между клемите.

Сега нека видим няколко прости примера.

Пример 1

Намерете еквивалента на Тевенина на мрежата за точки A и B с честота: f = 1 kHz, v_S(T) = 10 cosw ×t V.

Кликнете / докоснете горната верига, за да анализирате онлайн или кликнете върху тази връзка, за да запазите под Windows

Първата стъпка е да намерите напрежението в отворена верига между точки А и В:

Използва се напрежението в отворена верига деление на напрежението:

= -0.065 - j2.462 = 2.463 д^-j91.5º V

Проверка с TINA:

Втората стъпка е да замените източника на напрежение с късо съединение и да намерите импеданса между точки А и В:

Разбира се, можем да проверим нашия Z_T решение с помощта на измервател на импеданса на TINA (имайте предвид, че сме заменили източника на напрежение с късо съединение):

Тук е еквивалентната схема на Thévenin, валидна само на честота от 1kHz. Първо обаче трябва да решим капацитета на CT. Използване на връзката 1 /wC_T = 304 ом, намираме C_T = 0.524 uF

Сега имаме решение: R_T = 301 ома и C_T = 0.524 m F:

След това можем да използваме интерпретатора на TINA, за да проверим нашите изчисления на еквивалентната схема на Thévenin:

{Решение от преводача на TINA}
VM: = 10;
е: = 1000;
ОМ: = 2 * пи * F;
Z1: = R1 + J * ом * L;
Z2: = R2 / (1 + J * ом * C * R2);
VT: = VM * Z2 / (Z1 + Z2);
VT = [- 64.0391m-2.462 * J]
абсолютен (VT) = [2.4629]
абсолютен (VT) / SQRT (2) = [1.7415]
radtodeg (дъга (VT)) = [- 91.49]
ZT: = Replus ((R1 + J * ом * L), replus (R2, (1 / й / ом / C)));
ZT = [301.7035-303.4914 * J]
Abs (ZT) = [427.9393]
radtodeg (дъга (ZT)) = [- 45.1693]
Ct: = - 1 / IM (ZT) / ом;
Ct = [524.4134n]

#Решение от Python!
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c
#Да опростим отпечатването на сложни
#цифри за по-голяма прозрачност:
cp= ламбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Дефинирайте replus с помощта на ламбда:
Replus= ламбда R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
VM=10
е = 1000
om=2*c.pi*f
Z1=комплекс (R1,om*L)
Z2=R2/комплекс(1,om*C*R2)
VT=VM*Z2/(Z1+Z2)
печат (“VT=”,cp(VT))
print(“abs(VT)= %.4f”%abs(VT))
print(“abs(VT)/sqrt(VT)= %.4f”%(abs(VT)/m.sqrt(2)))
print(“degrees(arc(VT))= %.4f”%m.degrees(c.phase(VT)))
ZT=Replus(комплекс(R1,om*L),Replus(R2,1/1j/om/C))
print(“ZT=”,cp(ZT))
print(“abs(ZT)= %.4f”%abs(ZT))
print(“degrees(arc(ZT))= %.4f”%m.degrees(c.phase(ZT)))
Ct=-1/ZT.imag/om
печат (“Ct=”,Ct)

Имайте предвид, че в списъка по-горе използвахме функция „replus“. Replus решава за паралелния еквивалент на два импеданса; т.е. той намира произведението върху сумата от двата паралелни импеданса.

Пример 2

Намерете нортонов еквивалент на веригата в Пример 1.

f = 1 kHz, v_S(T) = 10 cosw ×t V.

Еквивалентният импеданс е същият:

Z_N= (0.301-j0.304) kW

След това намерете тока на късо съединение:

I_N = (3.97-j4.16) mA

И можем да проверим изчисленията си на ръце спрямо резултатите на TINA. Първо импеданс на отворената верига:

Ток ток на късо съединение:

И накрая еквивалентът на Нортън:

След това можем да използваме интерпретатора на TINA, за да намерим еквивалентните компоненти на веригата на Norton:

{Решение от преводача на TINA}
VM: = 10;
е: = 1000;
ОМ: = 2 * пи * F;
Z1: = R1 + J * ом * L;
Z2: = R2 / (1 + J * ом * C * R2);
В: = VM / Z1;
В = [3.9746m-4.1622m * J]
абсолютен (В) = [5.7552m]
абсолютен (В) / SQRT (2) = [4.0695m]
radtodeg (дъга (В)) = [- 46.3207]
ZN: = Replus ((R1 + J * ом * L), replus (R2, (1 / й / ом / C)));
ZN = [301.7035-303.4914 * J]
Abs (Zn) = [427.9393]
radtodeg (дъга (Zn)) = [- 45.1693]
CN: = - 1 / IM (Zn) / ом;
CN = [524.4134n]

#Решение от Python!
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c
#Да опростим отпечатването на сложни
#цифри за по-голяма прозрачност:
cp= ламбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Дефинирайте replus с помощта на ламбда:
Replus= ламбда R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
VM=10
е = 1000
om=2*c.pi*f
Z1=комплекс (R1,om*L)
Z2=R2/комплекс(1,om*C*R2)
IN=VM/Z1
print(“IN=”,cp(IN))
print(“abs(IN)= %.4f”%abs(IN))
print(“degrees(arc(IN))= %.4f”%m.degrees(c.phase(IN)))
print(“abs(IN)/sqrt(2)= %.4f”%(abs(IN)/m.sqrt(2)))
ZN=Replus(комплекс(R1,om*L),Replus(R2,1/1j/om/C))
print(“ZN=”,cp(ZN))
print(“abs(ZN)= %.4f”%abs(ZN))
print(“degrees(arc(ZN))= %.4f”%m.degrees(c.phase(ZN)))
CN=-1/ZN.imag/om
печат (“CN=”,CN)

Пример 3

В тази схема натоварването е свързаните със серия RL и CL. Тези компоненти за натоварване не са част от веригата, чийто еквивалент търсим. Намерете тока в натоварването, като използвате еквивалент на Нортън на веригата.

v₁(t) = 10 cos wt V; V₂(t) = 20 cos (wt + 30°) V; V₃(t) = 30 cos (wt + 70°) V;

v₄(t) = 15 cos (wt + 45°) V; V₅(t) = 25 cos (wt + 50°) V; f = 1 kHz.

Първо намерете еквивалентен импеданс Z на отворена верига_eq на ръка (без товар).

числено

Z_N = Z_eq = (13.93 - j5.85) ома.

По-долу виждаме решението на TINA. Имайте предвид, че сме заменили всички източници на напрежение с къси съединения, преди да използваме уреда.

Сега ток на късо съединение:

Изчисляването на тока на късо съединение е доста сложно. Съвет: това би било подходящ момент да използвате Superposition. Подходът би бил да се намери токът на натоварване (в правоъгълна форма) за всеки източник на напрежение, взето един по един. След това сумирайте петте частични резултата, за да получите общата сума.

Просто ще използваме стойността, предоставена от TINA:

i_N(t) = 2.77 cos (w ×т-118.27°) A

Поставяйки всичко това заедно (заменяйки мрежата с нейния еквивалент на Нортън, свързвайки отново товарните компоненти към изхода и поставяйки амперметър в товара), имаме решение за търсения ток на натоварване:

Чрез ръчно изчисление можем да намерим тока на натоварване, използвайки текущото разделение:

Накрая

I = (- 0.544 - j 1.41) A

и функцията за време

i (t) = 1.51 cos (w ×t - 111.1°) A

{Решение от преводача на TINA}
{Ток на късо съединение по метода на мрежовия ток}
ОМ: = 2000 * пи;
V1: = 10;
V2:=20*exp(j*pi/6);
V3:=30*exp(j*pi/18*7);
V4:=15*exp(j*pi/4);
V5:=25*exp(j*pi/18*5);
Система J1,J2,J3,J4
J1*(R-j*2/om/C)+V1+J2*j/om/C+J3*j/om/C=0
J1*j/om/C+J2*(j*om*L-j/om/C)+V4-V2=0
J1*j/om/C+J3*(R+j*om*L-j/om/C)-J4*j*om*L+V3+V5-V4=0
-J3*j*om*L+J4*(R+j*om*L)-V3=0
края;
J3=[-1.3109E0-2.4375E0*j]
{Импедансът на „убитата“ мрежа}
ZLC:=j*om*L/(1-sqr(om)*L*C);
ZRL:=j*om*L*R/(R+j*om*L);
ZN:=(R+ZLC)/(1+j*om*C*(R+ZLC))+R+ZRL;
ZN=[1.3923E1-5.8456E0*j]
I:=J3*ZN/(ZN+RL-j/om/C);
I=[-5.4381E-1-1.4121E0*j]

#Решение от Python!
импортиране на математика като m
импортирайте cmath като c
#Да опростим отпечатването на сложни
#цифри за по-голяма прозрачност:
cp= ламбда Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=2000*c.pi
V1=10
V2=20*c.exp(1j*c.pi/6)
V3=30*c.exp(1j*c.pi/18*7)
V4=15*c.exp(1j*c.pi/4)
V5=25*c.exp(1j*c.pi/18*5)
#Имаме линейна система от уравнения
#който искаме да решим за J1,J2,J3,J4:
#J1*(R-j*2/om/C)+V1+J2*j/om/C+J3*j/om/C=0
#J1*j/om/C+J2*(j*om*L-j/om/C)+V4-V2=0
#J1*j/om/C+J3*(R+j*om*L-j/om/C)-J4*j*om*L+V3+V5-V4=0
#-J3*j*om*L+J4*(R+j*om*L)-V3=0
импортирайте numpy като n
#Напишете матрицата на коефициентите:
A=n.array([[комплекс(R,-2/om/C),1j/om/C,1j/om/C,0],
[1j/om/C,1j*om*L-1j/om/C,0,0],
[1j/om/C,0,R+1j*om*L-1j/om/C,-1j*om*L],
[0,0,-1j*om*L,R+1j*om*L]])
b=n.array([-V1,V2-V4,V4-V3-V5,V3])
J1,J2,J3,J4=n.linalg.solve(A,b)
print(“J3=”,cp(J3))
#Импедансът на "убитата" мрежа
ZLC=1j*om*L/(1-om**2*L*C)
ZRL=1j*om*L*R/(R+1j*om*L)
ZN=(R+ZLC)/(1+1j*om*C*(R+ZLC))+R+ZRL
print(“ZN=”,cp(ZN))
I=J3*ZN/(ZN+RL-1j/om/C)
print(“I=”,cp(I))

СУПЕРПОЗИЦИЯ В КЛЮЧОВЕ НА АС \ t $СУПЕРПОЗИЦИЯ В КЛЮЧОВЕ НА АС \ t$

ЗАКОНИ НА KIRCHHOFF В AC СХЕМИ