KOMPLEKSNI BROJEVI

Kliknite ili dodirnite Primer kola ispod da biste pozvali TINACloud i izaberite Interaktivni DC režim da biste ih analizirali na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili kreiranju vlastitih krugova

MREŽE I TEKUĆE METODE

PRINCIPI ALTERNATIVNOG TEKSTA

U ovom i narednim poglavljima predstavićemo veoma važnu temu: AC ili alternativna struja. Naziv izmjenične struje nije vrlo precizan i obično pokriva sklopove s sinusoidnim naponima i strujama; međutim, naizmjenična struja također može značiti bilo koji proizvoljni valni oblik. Važnost izmjeničnog napona je da se takav napon koristi za glavni izvor električne energije u domovima i industriji širom svijeta. To je i osnova za mnoge elektronike, telekomunikacije i industrijske primjene.

Da bismo obradili sinusoidne talasne oblike i kola povezana sa njima, koristićemo jednostavnu i elegantnu metodu nazvanu metodu fazora. Fazori se zasnivaju na svojstvima kompleksnih brojeva, koji su idealni za predstavljanje sinusoidnih veličina. U ovom poglavlju sumirat ćemo glavne činjenice o kompleksnim brojevima i njihovim operacijama. Takođe ćemo pokazati kako TINA-in Interpreter olakšava izračunavanje sa kompleksnim brojevima.

Kompleksni brojevi se sastoje od dva dijela, a stvarni dio (x), što je pravi broj, i takozvani imaginarni dio (y), što je stvarni broj pomnožen sa , imaginarnu jedinicu. Kompleksni broj zstoga se može opisati kao:

z = x + jy

gdje .

Primjeri kompleksnih brojeva:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Složeni brojevi izvorno su uvedeni u sedamnaestom stoljeću da bi predstavljali korijene polinoma koje nije bilo moguće predstaviti samo stvarnim brojevima. Na primjer, korijeni jednadžbe x²+ 2x + 2 = 0 se može opisati samo kao i , ili pomoću notacije , z₁= 1 + j i z₂= 1- j. Koristeći novu oznaku za istraživanje svojstava izraza, matematičari su bili u mogućnosti dokazati teoreme i riješiti probleme koje je do tada bilo teško, a ne i nemoguće riješiti. To je dovelo do razrade složene algebre i složenih funkcija, koje se danas široko koriste u matematici i inženjerstvu.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva

Pravokutni oblik

Kako se složeni broj uvijek može odvojiti u njegove stvarne i složene dijelove, možemo složeni broj predstaviti kao točku na dvodimenzionalnoj ravnini. Stvarni dio složenog broja jest projekcija točke na stvarnu os, a imaginarni dio broja projekcija na imaginarnu os. Kad je složen broj predstavljen kao zbroj stvarnih i imaginarnih dijelova, kažemo da je u pravokutni or algebarski oblik.

Sljedeća slika prikazuje kompleksni broj z = 2 + 4j

Polarna i eksponencijalna forma

Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, točka A bi se mogla predstaviti i duljinom strelice, r (koja se takođe naziva apsolutna vrednost, veličina ili amplituda) i njen ugao (ili faza), φ u odnosu na smjeru suprotnom od kazaljke na satu, do pozitivne vodoravne osi. Ovo je polar oblik kompleksnog broja. Označava se kao r ∠ φ.

Sledeći korak je veoma važan. Kompleksni broj u polarnom obliku može se upisati u eksponencijalno obrazac:

Ovaj jednostavan izraz karakterističan je po tome što ima imaginarni broj u eksponentu, umjesto uobičajenog stvarnog broja. Ovaj složeni eksponencijal ponaša se vrlo različito od eksponencijalne funkcije stvarnim argumentom. Dok e^x brzo raste u veličini za povećanje x> 0 i opadanje za x <0, funkcija ima istu veličinu (z = 1) za bilo koji φ. Nadalje, njegove složene vrijednosti leže na krugu jedinica.

Ejlerova formula obezbeđuje objedinjujuću vezu između pravougaonih, polarnih i eksponencijalnih oblika kompleksnih brojeva:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j grijeh φ )

gdje

i φ = tan^-1(y / x).

Za naš primer iznad, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

stoga .

Ili obrnuto:

Morat ćete biti sposobni u upotrebi oba oblika, ovisno o aplikaciji. Na primjer, zbrajanje ili oduzimanje očito je lakše učiniti kada su brojevi u pravougaonom obliku, dok je množenje i dijeljenje lakše kad su brojevi u eksponencijalnom obliku.

Operacije sa kompleksnim brojevima

Operacije koje se mogu obavljati složenim brojevima slične su operacijama za realne brojeve. Pravila i neke nove definicije sažeto su u nastavku.

Operacije sa j

Operacije sa j jednostavno slijediti iz definicije imaginarne jedinice,

Da biste mogli da radite brzo i precizno, zapamtite ova pravila:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Dokaz:

j² = -1 jednostavno slijedi iz definicije , since

Za 1 /j, umnožavamo 1 /jby j / j = 1 i dobij j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Complex conjugate

Kompleksni konjugat kompleksnog broja se lako izvodi i veoma je važan. Da bi se dobio složeni konjugat kompleksnog broja u pravokutnom obliku, jednostavno promijenite znak imaginarnog dijela. Da biste to učinili za broj u eksponencijalnom obliku, promijenite znak kuta kompleksnog broja zadržavajući njegovu apsolutnu vrijednost istu.

Složeni konjugat kompleksnog broja z često označava z^*.

S obzirom na kompleksni broj z= a + jb, njen kompleksni konjugat je z^*= a– jb.

If z dat je u eksponencijalnom obliku, njegov kompleksni konjugat je

Koristeći gore navedene definicije, lako je uočiti da kompleksni broj pomnožen kompleksnim konjugatom daje kvadrat apsolutne vrijednosti kompleksnog broja:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Također, dodavanjem ili oduzimanjem bilo kojeg kompleksnog broja i njegovog konjugata dobijamo sljedeće relacije:

z + z ^* = 2a

stoga

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Slično tome:

z - z ^* =j2b

stoga

Ja sam(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Dokaz:

ili množenjem stvarnih i imaginarnih delova i korišćenja j²= -1

zz^* = (a + jb) (a) jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Numerički primjeri:

U pravokutnom obliku:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

U polarnom obliku

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

U eksponencijalnom obliku:

Zbrajanje i oduzimanje

Zbrajanje i oduzimanje složenih brojeva je jednostavno - stvarne i imaginarne dijelove moramo samo dodavati odvojeno. Na primjer, ako

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

onda

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Očito bi za te operacije trebali koristiti pravokutni oblik. Ako su brojevi dani u eksponencijalnom ili polarnom obliku, prvo ih moramo transformirati u pravokutni oblik koristeći Eulerovu formulu, kao što je dan ranije.

množenje

Postoje dvije metode množenja kompleksnih brojeva–

Množenje složenih brojeva datih u pravokutnom obliku

Da biste izvršili operaciju, jednostavno množite stvarne i imaginarne dijelove jednog broja zauzvrat stvarnim i imaginarnim dijelovima drugog broja i koristite identitet j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Kada su kompleksni brojevi dani numerički, nije potrebno koristiti gornju formulu. Na primjer, neka

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

Direktnim množenjem komponenti:

z₁z₂ = (3 - 4j(2 + 3j= 6-8j +9j + 12 = 18 + j

ili pomoću formule: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Smatramo da je vjerojatnije da ćete napraviti grešku ako koristite formulu nego ako pomnožite komponente izravno.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=složen('3-4j')
z2=složen('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Množenje složenih brojeva datih u polarnoj ili eksponencijalnoj formi

Da biste izvršili ovu operaciju, pomnožite apsolutne vrijednosti i dodajte uglove dva kompleksna broja. Let:

Zatim koristeći pravilo množenja eksponencijalnih funkcija:

ili u polarnom obliku

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Napomena: Ovo pravilo smo već koristili kada smo izračunali zz ^*gore. Budući da kut konjugata ima suprotan znak izvornog ugla, složen broj pomnožen sa njegovim vlastitim konjugatom uvijek je stvaran broj; naime, kvadrat njegove apsolutne vrijednosti: zz ^*= r²

Na primjer:

z₁ = 5 ∠ 30 ° i z₂ = 4 ∠ -60 °

onda

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

ili u eksponencijalnom obliku

Množenje je očigledno jednostavnije kada su brojevi u polarnom ili eksponencijalnom obliku.

Međutim, ako su složeni brojevi navedeni u pravokutnom obliku, trebali biste razmotriti izvođenje množenja izravno kao što je prikazano gore, jer postoje dodatni koraci ako pretvorite brojeve u polarni oblik prije nego što ih množite. Drugi faktor koji treba razmotriti je da li želite da odgovori budu u pravokutnom obliku ili u polarnom / eksponencijalnom obliku. Na primjer, ako su dva broja u pravokutnom obliku, a željeli biste njihov proizvod u polarnom obliku, ima smisla odmah ih pretvoriti i zatim množiti.

podjela

Postoje dvije metode za dijeljenje kompleksnih brojeva–

Podjela kompleksnih brojeva u pravokutnom obliku

Za izvođenje operacije pomnožite brojnik i nazivnik sa spajanjem nazivnika. U nazivniku postaje stvarni broj, a deljenje se svodi na množenje dva složena broja i deljenje na stvarni broj, kvadrat apsolutne vrednosti nazivnika.

Na primjer neka:

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

Provjerimo ovaj rezultat TINA-inim Interpreterom:

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=složen('3-4j')
z2=složen('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Podjela kompleksnih brojeva u polarnoj ili eksponencijalnoj formi

Da biste izvršili operaciju, podijelite apsolutne vrijednosti (magnitude) i oduzmite kut imenitelja od kuta numeratora. Let:

zatim pomoću pravila podjele eksponencijalnih funkcija

ili u polarnom obliku

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Na primjer:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° i z ₂ = 2 ∠ -60 °

onda

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

ili u eksponencijalnim i pravokutnim oblicima

Provjerimo ovaj rezultat TINA-inim Interpreterom:

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=5*(c.exp(kompleks(0,m.radijana(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radijana(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Podjela je očito jednostavnija kada su brojevi u polarnom ili eksponencijalnom obliku.

Međutim, ako su složeni brojevi navedeni u pravokutnom obliku, trebali biste razmotriti izvođenje dijeljenja izravno korištenjem složene metode konjugacije kao što je prikazano gore, jer postoje dodatni koraci ako pretvorite brojeve u polarni oblik prije nego što ih podijelite. Drugi faktor koji treba razmotriti je da li želite da odgovori budu u pravokutnom obliku ili u polarnom / eksponencijalnom obliku. Na primjer, ako su dva broja u pravokutnom obliku, ali biste željeli da njihov kvocijent bude u polarnom obliku, ima smisla odmah ih pretvoriti i zatim podijeliti.

Sada ćemo ilustrovati upotrebu kompleksnih brojeva pomoću više numeričkih problema. Kao i obično, mi ćemo provjeriti naša rješenja koristeći TINA Interpreter. Interpreter radi sa radijanima, ali ima standardne funkcije za konverziju radijana u stupnjeve ili obrnuto.

primjer 1 Pronađite polarnu reprezentaciju:

z = 12 - j 48

ili 49.48 ∠ - 75.96 °

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z=12-kompleks(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“stepeni(arc(z))=”,m.stepeni(c.phase(z)))

primjer 2 Pronađite pravokutni prikaz:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z: = 25 * exp (j * (degotad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z=25*c.exp(kompleks(0,m.radijana(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

primjer 3 Pronađite polarnu reprezentaciju sljedećih kompleksnih brojeva:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Apsolutne vrijednosti sva četiri broja su iste jer je apsolutna vrijednost neovisna o znakovima. Samo su uglovi različiti.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Python rješenje:
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c

z1=složen('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“stepeni(arc(z1))=”,m.stepeni(c.phase(z1)))

z2=složen('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“stepeni(arc(z2))=”,m.stepeni(c.phase(z2)))

z3=složeno('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“stepeni(arc(z3))=”,m.stepeni(c.phase(z3)))

z4=složen('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“stepeni(arc(z4))=”,m.stepeni(c.phase(z4)))

TINA funkcija luka () određuje ugao bilo kojeg složenog broja, automatski ga postavljajući pravilno u jedan od četiri kvadranta.

Budite oprezni, međutim, koristeći tan^-1 funkcija za pronalaženje kuta, jer je ograničen na povratne kutove samo u prvom i četvrtom kvadrantu (–90 °φ<90 °).

S obzirom na to da je z₁nalazi se u prvom kvadrantu koordinatnog sistema, izračun je:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

S obzirom na to da je z₄nalazi se u trećem kvadrantu koordinatnog sistema, tan^-1ne vraća pravilno ugao. Izračun kuta je:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ili -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, što je isto kao što je izračunao TINA.

z₂nalazi se u četvrtom kvadrantu koordinatnog sistema Kalkulacija kuta je:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,međutim, nalazi se u 2nd kvadrantu koordinatnog sistema, tako da je tan^-1ne vraća pravilno ugao. Izračun kuta je:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

primjer 4 Imamo dva kompleksna broja: z₁= 4 - j 6 i z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

pronaći z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Prvo rešavamo problem pomoću TINA-inog tumača

{Rješenje TINA-ovog tumača}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Obratite pažnju na to kako TINA bez napora rukuje sa dva kompleksna broja u različitim oblicima.

Rješenje je složenije bez prevodioca. Kako bismo mogli da uporedimo različite metode množenja i deljenja prvo ćemo odrediti polarni oblik z₁ i pravougaoni oblik z₂.