LES LLEIS DE KIRCHHOFF

Feu clic o Toqueu els circuits d'exemple a continuació per invocar TINACloud i seleccioneu el mode DC interactiu per analitzar-los en línia.
Obtingueu un accés de baix cost a TINACloud per editar els exemples o crear els vostres propis circuits

TEOREM DE SUPERPOSICIÓ

MÈTODE POTENCIAL DEL NODI

Molts circuits són massa complexos per ser resolts mitjançant les regles de circuits o sèries paral·leles o les tècniques de conversió a circuits més senzills descrits en capítols anteriors. Per a aquests circuits necessitem mètodes de solució més generals. El mètode més general ve donat per les lleis de Kirchhoff, que permeten el càlcul de totes les tensions del circuit i els corrents de circuits mitjançant una solució d’un sistema d’equacions lineals.

Hi ha dos Lleis Kirchhoff, llei del voltatge i el corrent Llei. Aquestes dues lleis es poden utilitzar per determinar totes les tensions i els corrents dels circuits.

La llei de tensió (KVL) de Kirchhoff estableix que la suma algebraica de la tensió augmenta i les caigudes de tensió al voltant d’un bucle han de ser zero.

Un bucle en la definició anterior significa un camí tancat al circuit; és a dir, un camí que deixa un node en una direcció i torna a aquest mateix node des d'una altra direcció.

En els nostres exemples, utilitzarem la direcció en sentit horari per a bucles; tanmateix, s’obtindran els mateixos resultats si s’utilitza la direcció antihorari.

Per aplicar KVL sense cap error, hem de definir l’anomenada direcció de referència. La direcció de referència de les tensions desconegudes assenyala el signe + al - de les tensions assumides. Imagineu-vos que utilitzeu un voltímetre. Col·locaríeu la sonda positiva del voltímetre (normalment vermella) al punt de referència del component + al terminal. Si el voltatge real és positiu, és en la mateixa direcció que vam suposar, i tant la nostra solució com el voltímetre mostraran un valor positiu.

Quan es deriva la suma algebraica de les tensions, hem d'assignar un signe més a aquelles tensions on la direcció de referència coincideix amb la direcció del bucle i signes negatius en el cas contrari.

Una altra manera d’afirmar la llei de tensió de Kirchhoff és: la tensió aplicada d’un circuit de sèries és igual a la suma de les caigudes de tensió a través dels elements de la sèrie.

El següent exemple breu mostra l'ús de la llei de tensió de Kirchhoff.

Trobeu la tensió a la resistència R_2, atès que el voltatge de font, V_S = 100 V i que la tensió a través de la resistència R₁és V₁ = 40 V.

La figura següent es pot crear amb TINA Pro Versió 6 i posteriors, en les quals les eines de dibuix estan disponibles a l’editor d’esquema.

La solució utilitzant la llei de tensió de Kirchhoff: -V_S + V₁ + V₂= 0, o V_S = V₁ + V₂

d'aquí: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Tingueu en compte que normalment no coneixem les tensions de les resistències (tret que les mesurem) i que cal utilitzar les dues lleis de Kirchhoff per a la solució.

La llei actual de Kirchhoff (KCL) estableix que la suma algebraica de tots els corrents que entren i surten de qualsevol node en un circuit és zero.

A continuació, donem un signe + a les corrents que surten d'un node i un signe - a les corrents que entren a un node.

Aquí teniu un exemple bàsic que demostra la llei actual de Kirchhoff.

Cerqueu l'actual I₂ si la font actual I_S = 12 A, i jo₁ = 8 A.

Utilitzant la llei actual de Kirchhoff al node circular: -I_S + I₁ + I₂ = 0, d'aquí: I₂= I_S - Jo₁ = 12 - 8 = 4 A, com podeu comprovar amb TINA (figura següent).

En el següent exemple, utilitzarem tant les lleis de Kirchhoff com la llei d’Ohm per calcular el corrent i la tensió a través de les resistències.

A la figura següent, anireu a la nota Fletxa de tensió per sobre de les resistències. Aquest és un nou component disponible a La versió 6 de TINA i funciona com un voltímetre. Si la connecteu a través d’un component, la fletxa determina la direcció de referència (per comparar amb un voltímetre, imagineu situar la sonda vermella a la cua de la fletxa i la sonda negra a la punta). Quan feu una anàlisi de corrent continu, el voltatge real del component es mostrarà a la fletxa.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Per començar a utilitzar la llei actual de Kirchhoff, veiem que els corrents a través de tots els components són iguals, per tant, denotem aquest corrent per jo.

Segons la llei de tensió de Kirchhoff: V_S = V₁+V₂+V₃

Ara mitjançant la llei d'Ohm: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

I a partir d’aquí el corrent del circuit:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Finalment, les tensions de les resistències:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Els mateixos resultats es veuran a les Fletxes de tensió simplement executant l’anàlisi interactiu de DC de TINA.

En aquest següent circuit més complex, també utilitzem tant les lleis de Kirchhoff com la llei d’Ohm, però trobem que la majoria resolem un sistema lineal d’equacions.

El nombre total d’aplicacions independents de les lleis de Kirchhoff en un circuit és el nombre de branques del circuit, mentre que el nombre total d’incògnites (el corrent i la tensió de cada branca) és el doble que. No obstant això, també mitjançant la llei d'Ohm a cada resistor i Les equacions simples que defineixen els voltatges i els corrents aplicats, obtenim un sistema d'equació on el nombre d'incògnites és el mateix que el nombre d'equacions.

Trobeu els corrents de branca I1, I2, I3 al circuit de sota.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

El conjunt d’equacions segueix:

L’equació nodal del node circular:

- I₁- I₂- Jo₃ = 0

o multiplicant per -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Les equacions del bucle (utilitzant la direcció del rellotge) del bucle L1, que conté V₁, R₁ i R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

i per al bucle L2, que conté V₂, R₂ i R₃

I₃*R₃ - Jo₂*R₂ +V₂ = 0

Substituint els valors dels components:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Express I₁ utilitzant l’equació nodal: I₁ = -I₂ - Jo₃

llavors substituïu-lo per la segona equació:

-V₁- (Jo₂ + I₃) * R₁ –I₃*R₃ = 0 or –8- (jo₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Express I₂ i substituïu-la a la tercera equació, a partir de la qual ja podeu calcular I₃:

I₂ = - (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

I: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Per tant I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A i I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

O bé: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Ara resolem les mateixes equacions amb l'intèrpret de TINA:

{Solució de l'intèrpret de TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
fi;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Solució de Python
importar numpy com a np, sympy com a s
#Tenim un sistema lineal de
#equacions que volem resoldre:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
imprimir (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print("I1= %.3f"%x[0])
#I2
print("I2= %.3f"%x[1])
#I3
print("I3= %.3f"%x[2])

Finalment anem a comprovar el resultats utilitzant TINA:

A continuació, analitzem el circuit encara més complex i determinem els seus corrents i tensions de branca.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Denotem les tensions i els corrents desconeguts afegint fletxes de tensió i corrent als components i també mostrem els bucles (L1, L2, L3) i els nodes (N1, N2) on utilitzarem les equacions de Kirchhoff.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Aquí teniu el conjunt de Equacions de Kirchhoff per als bucles (utilitzant la direcció del rellotge) i els nodes.

-I_L+ I_R1- Jo_s= 0(per a N1)

- Jo_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (per a N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (per a L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (per a L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (per a L3)

Aplicació de la llei d'Ohm:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Jo_L*R₃

Es tracta de 9 incògnites i 9 equacions. La manera més fàcil de resoldre això és utilitzar TINA

intèrpret. Tanmateix, si se'ns pressiona per fer càlculs manuals, observem que aquest conjunt d'equacions es pot reduir fàcilment a un sistema de 5 incògnites substituint les últimes 4 equacions a les equacions de bucle L1, L2, L3. També, afegint equacions (L1) i (L2), podem eliminar V_Is, reduint el problema a un sistema d’equacions 4 per a desconeguts de 4 (jo_L,I_R1 I_R2,I_s3). Quan hem trobat aquests corrents, podem determinar V fàcilment_L, V_R1, V_R2, i V_R3 utilitzant les quatre últimes equacions (llei d’Ohm).

Substituint V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Jo_s= 0(per a N1)

- Jo_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (per a N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (per a L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (Per als L2)

- Jo_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (per a L3)

S'hi afegeix (L1) i (L2)

-I_L+ I_R1- Jo_s= 0(per a N1)

- Jo_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (per a N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Jo_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (per a L3)

Després de substituir els valors dels components, la solució a aquestes equacions arriba fàcilment.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (per a N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (per a N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (per L₃)

de L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

de N₂ I_S3 - Jo_R1 = - 5.25 (II)

de L₁+L₂ em 110_L + 30 I_R1 = -150 (III)

i per a N₁ I_R1 - Jo_L = 2 (IV)

Multiplica (IV) per –30 i afegeix a (III) em 140_L = -210 d'aquí I_L = - 1.5 A

Substituïu a I_L a (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

i jo_R1 en (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

I les tensions: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Jo_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Solució de les equacions originals per l'intèrpret de TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
fi;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Solució de Python
#Ax=b
importar numpy com a np, sympy com a s
Solució #simbòlica amb numpy.solve
#Equacions:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Resol per:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
imprimir (sol)

#Un altre mètode per resoldre amb numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print("IL= %.3f"%x[0])
imprimir ("IR1= %.3f"%x[1])
imprimir ("IR2= %.3f"%x[2])
print("Is3= %.3f"%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print("VR1= %.3f"%x[6])
print("VR2= %.3f"%x[8])
print("VR3= %.3f"%x[7])

Solució del conjunt reduït d'equacions mitjançant l'intèrpret:

{Solució del conjunt reduït d’equacions per l’intèrpret de TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
fi;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

També podem introduir expressions de les tensions i fer que l’intèrpret de TINA les calculi:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Podem comprovar el resultat amb TINA simplement activant el mode interactiu DC de TINA o utilitzant Anàlisi / CC anàlisi / Voltatges Nodals

TEOREM DE SUPERPOSICIÓ

MÈTODE POTENCIAL DEL NODI