Feu clic o Toqueu els circuits d'exemple a continuació per invocar TINACloud i seleccioneu el mode DC interactiu per analitzar-los en línia.
Obtingueu un accés de baix cost a TINACloud per editar els exemples o crear els vostres propis circuits

El conjunt complet de les equacions de Kirchhoff es pot simplificar significativament mitjançant el mètode potencial del node descrit en aquest capítol. Amb aquest mètode, la llei de tensió de Kirchhoff es compleix automàticament i només necessitem escriure equacions de nodes per satisfer la llei actual de Kirchhoff. Satisferir la llei de tensió de Kirchhoff s’aconsegueix mitjançant la utilització de potencials de node (també anomenats node o tensions nodals) respecte d’un node particular anomenat el referència node. En altres paraules, totes les tensions del circuit són relatives a la node de referència, que normalment es considera que té 0 potencial. És fàcil veure que amb aquestes definicions de tensió es compleix automàticament la llei de tensió de Kirchhoff, ja que escriure equacions de bucle amb aquests potencials condueix a la identitat. Tingueu en compte que per a un circuit que tingui N nodes heu d'escriure només equacions de N - 1. Normalment, l'equació del node per al node de referència es deixa fora.

La suma de tots els corrents del circuit és zero, ja que cada corrent circula dins i fora d'un node. Per tant, l'equació del node node no és independent de les equacions N-1 anteriors. Si incloguéssim totes les N equacions, tindríem un sistema no resolt d'equacions.

El mètode del potencial de node (també anomenat anàlisi nodal) és el mètode més adequat per a aplicacions informàtiques. La majoria dels programes d’anàlisi de circuits (inclosa la TINA) es basen en aquest mètode.

Els passos de l’anàlisi nodal:

1. Trieu un node de referència amb un 0 de node potencial i etiqueu cada node restant amb V₁, V₂ or j₁, j₂etcètera.

2. Apliqueu la llei vigent de Kirchhoff a cada node excepte el node de referència. Utilitzeu la llei d’Ohm per expressar corrents desconegudes de potencials de node i tensions de font de tensió quan sigui necessari. Per a totes les corrents desconegudes, assumeix la mateixa direcció de referència (per exemple, assenyalar el node) per a cada aplicació de la llei actual de Kirchhoff.

3. Resoldre les equacions de nodes resultants per a les tensions dels nodes.

4. Determineu qualsevol tensió o corrent sol·licitat al circuit mitjançant les tensions del node.

Il·lustrem el pas 2 escrivint l’equació del node per al node V₁ del fragment següent de circuit:

Primer, busqueu el corrent des del node V1 fins al node V2. Utilitzarem Ohm’s Law a R1. La tensió a R1 és V₁ - V₂ - V_S1

I el corrent mitjançant R1 (i des del node V1 al node V2) és

Tingueu en compte que aquest corrent té una direcció de referència que indica la V₁ node. Utilitzant la convenció per a corrents que assenyalen un node, s'ha de tenir en compte en l'equació de nodes amb un signe positiu.

L’expressió actual de la branca entre V₁ i V₃ serà similar, però des de V_S2 està en sentit contrari a V_S1 (que significa el potencial del node entre V_S2 i R₂ és V₃-V_S2), el corrent és

Finalment, a causa de la direcció de referència indicada, I_S2 hauria de tenir un signe positiu i jo_S1 un signe negatiu en l’equació del node.

L'equació del node:

Ara veiem un exemple complet per demostrar l’ús del mètode potencial del node.

Trobeu el voltatge V i els corrents a través de les resistències del circuit següent

Numèricament:

Multiplicar per 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Per tant: V = 10 V

Ara determinem els corrents a través de les resistències. Això és fàcil, ja que s’utilitzen els mateixos corrents en l’equació nodal anterior.

Podem comprovar el resultat amb TINA simplement activant el mode interactiu DC de TINA o bé utilitzant el comandament Anàlisi / CC Anàlisi / Voltatges Nodals.

A continuació, resolem el problema que ja es va fer servir com a darrer exemple de la secció Les lleis de Kirchhoff capítol

Trobeu les tensions i corrents de cada element del circuit.

L'elecció del node inferior com a node de referència de 0 potencial, la tensió nodal de N₂ serà igual a V_S3,: j₂ = per tant, només tenim una tensió nodal desconeguda. Potser recordeu que anteriorment, utilitzant el conjunt complet de les equacions de Kirchhoff, fins i tot després d’algunes simplificacions, teníem un sistema lineal d’equacions de 4 incògnites.

Escriure les equacions del node per al node N₁, denotem la tensió nodal de N₁ by j₁

La simple equació a resoldre és:

Numèricament:

Multiplicar per 330, obtenim:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

Després de calcular j_1, és fàcil calcular les altres quantitats del circuit.

Els corrents:

I_S3 = I_R1 - Jo_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A

I les tensions:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 V

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Podeu tenir en compte que amb el mètode de potencial del node encara necessiteu un càlcul addicional per determinar els corrents i les tensions del circuit. Tanmateix, aquests càlculs són molt simples, molt més senzills que resoldre sistemes d'equacions lineals per a totes les quantitats del circuit simultàniament.

Podem comprovar el resultat amb TINA simplement activant el mode interactiu DC de TINA o utilitzant el comandament Anàlisi / CC Anàlisi / Voltatges Nodals.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Vegem més exemples.

Exemple 1

Cerqueu l'actual I.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

En aquest circuit hi ha quatre nodes, però com que tenim una font de tensió ideal que determina la tensió del node en el seu pol positiu, hauríem de triar el seu pol negatiu com a node de referència. Per tant, només tenim dos possibles nodes desconeguts: j₁ i j₂ .

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

Les equacions dels nodes de potencials j₁ i j₂:

Numèricament:

de manera que el sistema d'equacions lineals és:

Per resoldre això, multipliqueu la primera equació per 3 i la segona per 2, i després afegiu les dues equacions:

11j₁ = 220

i per tant j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 V

Finalment, el corrent desconegut:

La solució d’un sistema d’equacions lineals també es pot calcular utilitzant Regla de Cramer.

Per exemple, il·lustrem l'ús de la regla de Cramer mitjançant la resolució del sistema anterior.

1. Ompliu la matriu dels coeficients de les incògnites:

2. Calculeu el valor de la determinant de la matriu D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Col·loqueu els valors del costat dret a la columna dels coeficients de la variable desconeguda i calculeu el valor del determinant:

4.Divideu els determinants trobats recentment pel determinant original, per trobar les següents relacions:

Per tant j₁ = 20 V i j₂ = 25 V

Per comprovar el resultat amb TINA, només cal que activeu el mode interactiu DC de TINA o bé utilitzeu l’ordre Anàlisi / CC Anàlisi / Voltatges Nodals. Tingueu en compte que utilitzant el botó Pin de tensió component de TINA, podeu mostrar directament els potencials del node suposant que Sòl El component està connectat al node de referència.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

{Solució de l'intèrpret de TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
fi;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Solució de Python!
importar numpy com n
#Tenim un sistema de
#equacions lineals que
#volem resoldre per fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Escriu la matriu dels coeficients:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Escriu la matriu de les constants:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
imprimir ("I= %.3f"%I)

Exemple 2.

Cerqueu la tensió de la resistència R₄.

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

En aquest cas, és pràctic triar el pol negatiu de la font de tensió V_S2 com a node de referència perquè aleshores el pol positiu de la V_S2 la font de tensió tindrà V_S2 = Potencial de 150 nodes. No obstant això, a causa d'aquesta opció, la tensió V necessària és contrària a la tensió del node del n_4; per tant V₄ = - V.

Les equacions:

No presentem els càlculs de mà aquí, ja que l’intèrpret de TINA pot resoldre fàcilment les equacions.

{Solució de l'intèrpret de TINA}
{Utilitzeu el mètode potencial del node!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
fi;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Solució de Python!
importar numpy com n
#Utilitzeu el mètode potencial del node!
#Tenim un sistema d'equacions lineals que volem resoldre
#per a V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Escriu la matriu dels coeficients:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Escriu la matriu de les constants:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
imprimir ("V= %.4f"%V)

Per comprovar el resultat, TINA només cal que activeu el mode interactiu de TINA DC o utilitzeu l’ordre Anàlisi / CC anàlisi / Voltatges Nodals. Tingueu en compte que hem de col·locar uns pines de tensió als nodes per mostrar les tensions del node.

Feu clic a / toqueu el circuit anterior per analitzar en línia o feu clic en aquest enllaç per desar a Windows

---