KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

ZÁSADY ALTERNATIVNÍHO PROUDU

V této a následujících kapitolách představíme velmi důležité téma: AC nebo alternativní proud. Název střídavý proud není příliš přesný a normálně pokrývá obvody se sinusovým napětím a proudy; střídavý proud však může také znamenat libovolný libovolný proudový průběh. Význam střídavého napětí spočívá v tom, že tento druh napětí se používá pro hlavní zdroj elektrické energie v domácnostech a průmyslu po celém světě. Je také základem mnoha elektronických, telekomunikačních a průmyslových aplikací.

Abychom zvládli sinusové průběhy a obvody s nimi spojené, použijeme jednoduchou a elegantní metodu zvanou metoda fázorů. Fázory jsou založeny na vlastnostech komplexních čísel, které jsou ideální pro reprezentaci sinusových veličin. V této kapitole shrneme základní fakta o komplexních číslech a jejich fungování. Ukážeme také, jak interpret TINA usnadňuje výpočty s komplexními čísly.

Komplexní čísla se skládají ze dvou částí, a skutečná část (x), což je reálné číslo a tzv imaginární část (y), což je reálné číslo násobené , imaginární jednotku. Komplexní číslo zproto lze popsat jako:

z = x + jy

kde .

Příklady komplexních čísel:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

Složitá čísla byla původně zavedena v sedmnáctém století, aby představovala kořeny polynomů, které nemohly být reprezentovány pouze skutečnými čísly. Například kořeny rovnice x2 + 2x + 2 = 0 lze popsat pouze jako a nebo pomocí notace , z1= 1 + j a z2= 1- j. Pomocí nového zápisu pro zkoumání vlastností výrazů byli matematici schopni prokázat věty a řešit problémy, které byly do té doby obtížné, ne-li nemožné vyřešit. Toto vedlo k vývoji složité algebry a komplexních funkcí, které jsou dnes široce využívány v matematice a inženýrství.

Geometrická reprezentace komplexních čísel

Obdélníkový tvar

Protože komplexní číslo lze vždy rozdělit na jeho skutečné a složité části, můžeme reprezentovat komplexní číslo jako bod v dvourozměrné rovině. Skutečnou součástí komplexního čísla je promítání bodu na skutečnou osu a imaginární část čísla je promítání na imaginární osu. Když je komplexní číslo představováno jako součet reálných a imaginárních částí, říkáme, že je v obdélníkový or algebraická forma.


Následující obrázek ukazuje komplexní číslo z = 2 + 4j

Polární a exponenciální forma

Jak můžete vidět na obrázku výše, bod A může být také reprezentován délkou šipky, r (také nazývané absolutní hodnota, velikost nebo amplituda) a jeho úhel (nebo fáze), φ relativně proti směru hodinových ručiček k pozitivní vodorovné ose. To je polární forma komplexního čísla. Označuje se jako r ∠ φ.

Další krok je velmi důležitý. Komplexní číslo v polární formě může také být zapsáno exponenciální formulář:

Tento jednoduchý výraz je výrazný v tom, že má imaginární číslo v exponentu místo obvyklého reálného čísla. Tento složitý exponenciál se chová velmi odlišně od exponenciální funkce se skutečným argumentem. Zatímco ex roste rychle o velikost pro zvýšení x> 0 a klesá pro x <0, funkce má stejnou velikost (z = 1) pro jakékoli φ. Navíc jeho složité hodnoty leží na kruhové jednotce.

Eulerův vzorec poskytuje sjednocující spojení mezi obdélníkovými, polárními a exponenciálními formami komplexních čísel:

z = x + jy = re jφ = r (cos φ + j hřích φ )

kde

a φ = opálení-1 (y / x).

Pro náš výše uvedený příklad z = 2 + 4j:

φ = opálení-1 (4 / 2) = 63.4 °

proto .

Nebo naopak:

V závislosti na aplikaci budete muset být obeznámeni s použitím obou formulářů. Například se sčítání nebo odčítání zjevně snadněji provádí, když jsou čísla v pravoúhlé formě, zatímco násobení a dělení jsou snadnější, když jsou čísla v exponenciální formě.

Operace s komplexními čísly

Operace, které lze provádět s komplexními čísly, jsou podobné jako u reálných čísel. Pravidla a některé nové definice jsou shrnuty níže.

Operace s j

Operace s j jednoduše vycházet z definice imaginární jednotky,

Abyste mohli rychle a přesně pracovat, měli byste si tato pravidla zapamatovat:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j = -j

Důkaz:

j2 = -1 jednoduše vyplývá z definice , od té doby

Pro 1 /j, násobíme 1 /jby j / j = 1 a dostat j/ (Jj) = j / (- 1) = -j.

Komplexní konjugát

Komplexní konjugát komplexního čísla je snadno odvozitelný a je velmi důležitý. Chcete-li získat komplexní konjugát komplexního čísla v pravoúhlé formě, jednoduše změňte znak imaginární části. Chcete-li tak učinit pro číslo v exponenciálním tvaru, změňte znaménko úhlu komplexního čísla při zachování jeho absolutní hodnoty.

Komplexní konjugát komplexního čísla z je často označován z*.

Vzhledem ke složitému číslu z= a + jb, jeho komplexní konjugát je z*= a– jb.

If z je uveden v exponenciální formě, jeho komplexním konjugátem je

S použitím definic nahoře, to je snadné vidět, že komplexní číslo násobené jeho komplexním konjugátem dá čtverec absolutní hodnoty komplexního čísla: \ t

zz* = r2 = a2 + b2

Také přidáním nebo odečtením jakéhokoliv komplexního čísla a jeho konjugátu získáme následující vztahy:

z + z * = 2a

proto

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

Podobně:

z - z * =j2b

proto

Im (z) = b = ( z -z * ) / 2j

Důkaz:

nebo násobení skutečných a imaginárních částí a použití j2= -1

zz* = (a + jb) (a - jb) = a2+a jb - a jb - jbjb = a2j2 = a2 + b2

z + z* = a + jb + a - jb = 2a

z - z*= a + jb - a + jb =j2b

Číselné příklady:

V pravoúhlém tvaru:

z = 3 + j4

z* = 3– j4

zz * = 9 + 16 = 25

V polární formě

z = 5 ∠ 53.13 °

z * = 5 ° - 53.13 °

V exponenciální podobě:

Sčítání a odčítání

Sčítání a odečítání komplexních čísel je jednoduché - stačí přidat skutečné a imaginární části samostatně. Například, pokud

z1 = 3 - 4j a z2 = 2 + 3j

pak

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z1 - z2 = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Pro tyto operace bychom samozřejmě měli použít obdélníkový tvar. Pokud jsou čísla uvedena v exponenciální nebo polární formě, měli bychom je nejprve převést na obdélníkový tvar pomocí Eulerova vzorce, jak bylo uvedeno dříve.

Násobení

Existují dvě metody pro násobení komplexních čísel -

Násobení komplexních čísel v pravoúhlém tvaru

K provedení operace jednoduše vynásobte skutečné a imaginární části jednoho čísla skutečnými a imaginárními částmi druhého čísla a použijte identitu j2 = -1.

z1z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2) = a1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - b1b2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

Když jsou čísla komplexu uvedena číselně, není nutné použít výše uvedený vzorec. Například let

z1 = 3 - 4j a z2 = 2 + 3j

S přímým násobením komponent:

z1z2 = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

nebo pomocí vzorce: z1z2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ B2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Domníváme se, že je pravděpodobnější, že chybu použijete, pokud použijete vzorec, než kdybyste komponenty vynásobili přímo.

{Řešení od interpreta TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z1=komplex('3-4j')
z2=komplex('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Násobení komplexních čísel v polární nebo exponenciální formě

Pro provedení této operace vynásobte absolutní hodnoty a přidejte úhly dvou komplexních čísel. Nechat:

Pak pomocí pravidla násobení exponenciálních funkcí:

nebo v polární formě

z1 z2 = r1 r2 ∠ φ1 + φ2

Poznámka: Toto pravidlo jsme již použili při výpočtu zz *výše. Protože úhel konjugátu má opačné znaménko původního úhlu, komplexní číslo vynásobené jeho vlastním konjugátem je vždy reálné číslo; jmenovitě čtverec jeho absolutní hodnoty: zz * = r2

Například:

z1 = 5 ° 30 ° a z2 = 4 ° -60 °

pak

z1z2 = 20 ° -30 °

nebo v exponenciální formě

Násobení je samozřejmě jednodušší, když čísla jsou v polární nebo exponenciální formě.

Pokud jsou však komplexní čísla uvedena v pravoúhlém tvaru, měli byste zvážit provedení násobení přímo, jak je ukázáno výše, protože existují další kroky, pokud převedete čísla na polární tvar před jejich násobením. Dalším faktorem, který je třeba zvážit, je, zda chcete, aby odpovědi byly v pravoúhlé nebo polární / exponenciální podobě. Například, pokud jsou tato dvě čísla v obdélníkové podobě, ale chcete, aby jejich produkt byl v polární podobě, mělo by smysl je okamžitě převést a poté je znásobit.

Divize

Existují dvě metody dělení komplexních čísel -

Rozdělení komplexních čísel v pravoúhlém tvaru

Pro provedení operace znásobte čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele. Jmenovatel se stává skutečným číslem a dělení je redukováno na násobení dvou komplexních čísel a dělení skutečným číslem, což je čtverec absolutní hodnoty jmenovatele.


Například:

z1 = 3 - 4j a z2 = 2 + 3j

Podívejme se na tento výsledek pomocí tlumočníka TINA:

{Řešení od interpreta TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z1=komplex('3-4j')
z2=komplex('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Rozdělení komplexních čísel v polárním nebo exponenciálním tvaru

Pro provedení operace rozdělte absolutní hodnoty (velikosti) a odečtěte úhel jmenovatele od úhlu čitatele. Nechat:

pak pomocí pravidla rozdělení exponenciálních funkcí

nebo v polární formě

z 1 / z2 = r1 / r2 ∠ φ 1- φ 2

Například:

z 1 = 5 ∠ 30 ° a z 2 = 2 ∠ -60 °

pak

z 1 / z2 = 2.5 ∠ 90 °

nebo v exponenciálních a obdélníkových formách

Podívejme se na tento výsledek pomocí tlumočníka TINA:

{Řešení od interpreta TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z1=5*(c.exp(komplex(0,m.radiánů(30))))
z2=2*(c.exp(komplex(0,m.radiánů(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Rozdělení je evidentně jednodušší, když jsou čísla v polární nebo exponenciální podobě.

Pokud jsou však komplexní čísla uvedena v pravoúhlém tvaru, měli byste zvážit provedení dělení přímo pomocí metody komplexního konjugátu, jak je ukázáno výše, protože existují další kroky, pokud převedete čísla na polární formu před jejich dělením. Dalším faktorem, který je třeba zvážit, je, zda chcete, aby odpovědi byly v pravoúhlé nebo polární / exponenciální podobě. Například, pokud jsou tato dvě čísla v pravoúhlé podobě, ale chtěli byste jejich kvocient v polární podobě, má smysl je okamžitě převést a poté je rozdělit.

Nyní ilustrujme použití komplexních čísel více numerickými problémy. Jako obvykle zkontrolujeme naše řešení pomocí tlumočníka TINA. Tlumočník pracuje s radány, ale má standardní funkce pro převod radiánů na stupně nebo naopak.

Příklad 1 Najít polární reprezentaci:

z = 12 - j 48

nebo 49.48 ° - 75.96 °

{Řešení od interpreta TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
oblouk (z) = [- 1.3258]
radtodeg (oblouk (z)) = [- 75.9638]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z=12-komplex(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“stupně(oblouk(z))=”,m.stupně(c.fáze(z)))

Příklad 2 Najít obdélníkové zobrazení:

z = 25 e j 125 °

{Řešení od interpreta TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z=25*c.exp(komplex(0,m.radiánů(125)))
tisknout(“z=”,z)
print(“skutečný(z)=”,z.skutečný)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Příklad 3 Najděte polární reprezentaci následujících komplexních čísel:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

Absolutní hodnoty všech čtyř čísel jsou stejné, protože absolutní hodnota je nezávislá na znaménech. Pouze úhly se liší.

{Řešení od interpreta TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
oblouk (z1) = [1.3258]
radtodeg (oblouk (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
oblouk (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (oblouk (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
oblouk (z3) = [1.8158]
radtodeg (oblouk (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
oblouk (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (oblouk (z4)) = [- 104.0362]
#Řešení od Pythonu:
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c

z1=komplex('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“stupně(oblouk(z1))=”,m.stupně(c.fáze(z1)))

z2=komplex('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“stupně(oblouk(z2))=”,m.stupně(c.fáze(z2)))

z3=komplex('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“stupně(oblouk(z3))=”,m.stupně(c.fáze(z3)))

z4=komplex('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“stupně(oblouk(z4))=”,m.stupně(c.fáze(z4)))

Funkce arc () TINA určuje úhel libovolného komplexního čísla a automaticky jej umisťuje správně do jednoho ze čtyř kvadrantů.

Dávejte si však pozor na opálení-1 funkce pro nalezení úhlu, protože je omezena na vrácení úhlů pouze v prvním a čtvrtém kvadrantu (–90 °φ<90 °).

Od z1 se nachází v prvním kvadrantu souřadného systému, výpočet je:

α 1 = opálení-1(48 / 12) = opálení-1(4) = 75.96 °

Od z4 se nachází ve třetím kvadrantu souřadného systému, tan-1nevrací správně úhel. Výpočet úhlu je:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° nebo -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, což je totéž, co vypočítal TINA.

z2 se nachází ve čtvrtém kvadrantu souřadného systému Výpočet úhlu je:

α 2 = opálení-1(-48 / 12) = opálení-1(-4) = -75.96 °

z3, nicméně, je v 2nd kvadrantu souřadnicového systému, tak tan-1 nevrací úhel správně. Výpočet úhlu je:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Příklad 4 Máme dvě komplexní čísla: z1= 4 - j 6 a z2 = 5 ej45 ° .

Najít z3 = z1 + z2; z4 = z1 - z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

Nejprve řešíme problém pomocí tlumočníka TINA

{Řešení od interpreta TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Všimněte si, jak TINA snadno zvládá dvě komplexní čísla zadaná v různých formách.

Řešení je složitější bez tlumočníka. Abychom mohli porovnat různé metody násobení a dělení, nejprve určíme polární formu z1 a obdélníkový tvar z2 .

Dále najdeme nejprve čtyři řešení používající nejjednodušší formy: obdélníkové pro sčítání a odčítání a exponenciální pro násobení a dělení:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1 - z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(-56.31 ° + 45 °) = 36.05 e -j11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +)j* sin (-11.31 °))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 e - j 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +)j* sin (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

souhlasí s výsledky získanými s tlumočníkem TINA.

Násobení provedené v pravoúhlém tvaru:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Konečně rozdělení provedené v pravoúhlém tvaru:

které souhlasí s předchozími výsledky.

ZÁSADY ALTERNATIVNÍHO PROUDU

en English
en Englishde Germanfr Frenches Spanishpt Portugueseru Russianzh-CN Chinese (Simplified)zh-TW Chinese (Traditional)ja Japaneseko Koreanhu Hungarian