METODY MESH A LOOP CURRENT

Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

Dalším způsobem, jak zjednodušit úplnou sadu Kirchhoffových rovnic, je metoda síťového nebo smyčkového proudu. Při použití této metody je Kirchhoffův aktuální zákon automaticky splněn a smyčkové rovnice, které píšeme, také splňují Kirchhoffův zákon napětí. Uspokojení Kirchhoffova současného zákona je dosaženo přiřazením uzavřených proudových smyček nazývaných síťové nebo smyčkové proudy ke každé nezávislé smyčce obvodu a pomocí těchto proudů k vyjádření všech ostatních veličin obvodu. Protože smyčkové proudy jsou uzavřeny, musí proud, který teče do uzlu, také proudit ven z uzlu; takže psaní rovnic uzlů s těmito proudy vede k identitě.

Podívejme se nejprve na metodu síťových proudů.

Nejprve si všimneme, že metoda síťového proudu je použitelná pouze pro „rovinné“ obvody. Rovinné obvody nemají žádné průřezové dráty, když jsou kresleny v rovině. Často překreslením obvodu, který se zdá být neplanární, můžete určit, že je to ve skutečnosti planární. Pro nelineární obvody použijte metoda smyčkového proudu popsané dále v této kapitole.

Pro vysvětlení myšlenky proudů ok si představte větve obvodu jako „rybářskou síť“ a každému okénku sítě přiřaďte síťový proud. (Někdy se také říká, že v každém „okně“ obvodu je přiřazena uzavřená proudová smyčka.)

Schematický diagram „Rybářská síť“ nebo graf obvodu

Technika reprezentace obvodu jednoduchou kresbou, nazvaná a graf, je docela silný. Od té doby Kirchhoffovy zákony nezávisí na povaze komponent, můžete ignorovat konkrétní komponenty a nahradit je jednoduchými úsečkami, nazvanými větve grafu. Reprezentace obvodů grafy nám umožňuje používat matematické techniky teorie grafů. To nám pomáhá prozkoumat topologickou povahu obvodu a určit nezávislé smyčky. Vraťte se později na tento web a přečtěte si více o tomto tématu.

Kroky analýzy proudu sítě:

1. Každému oku přiřaďte síťový proud. Přestože je směr libovolný, je obvyklé používat směr ve směru hodinových ručiček.
   

2. Použijte Kirchhoffův zákon napětí (KVL) kolem každé sítě ve stejném směru jako proudy sítě. Pokud odpor má dva nebo více proudů ze sítě, vypočte se celkový proud přes odpor jako algebraický součet proudů ze sítě. Jinými slovy, pokud proud protékající odporem má stejný směr jako síťový proud smyčky, má kladné znaménko, jinak záporné znaménko v součtu. Zdroje napětí jsou brány v úvahu jako obvykle. Pokud je jejich směr stejný jako proud sítě, je jejich napětí v rovnicích KVL považováno za kladné, jinak záporné. Obvykle pro proudové zdroje protéká zdrojem pouze jeden síťový proud a tento proud má stejný směr jako proud zdroje. Pokud tomu tak není, použijte obecnější metodu smyčky, která je popsána dále v tomto odstavci. Není třeba psát KVL rovnice pro smyčky obsahující síťové proudy přiřazené aktuálním zdrojům.
   

3. Vyřešte výsledné smyčkové rovnice pro síťové proudy.
   

4. Určete jakýkoli požadovaný proud nebo napětí v obvodu pomocí síťových proudů.

Ukažme to metoda podle následujícího příkladu:

Najděte proud I v obvodu níže.

Vidíme, že v tomto obvodu jsou dvě sítě (nebo levé a pravé okno). Pojďme přiřazovat proud ve směru hodinových ručiček J₁ a J₂ do ok. Pak píšeme rovnice KVL, vyjadřující napětí přes odpory podle Ohmova zákona:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R)₁) = 0

Numericky:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Expresní J.₁ z první rovnice: J₁ = a pak nahradit do druhé rovnice: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

vynásobte 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 proto J₂ =

a J₁ =

Konečně požadovaný proud:

Podívejme se na výsledky s TINA:

Dále vyřešíme předchozí příklad znovu, ale obecnější metoda smyčkových proudů. Použitím této metody se zavřely uzavřené smyčky proudu smyčkové proudy, nejsou nutně přiřazeny k okům obvodu, ale k libovolnému nezávislé smyčky. Můžete zajistit, že smyčky jsou nezávislé tím, že mají v každé smyčce alespoň jednu komponentu, která není obsažena v žádné jiné smyčce. U rovinných obvodů je počet nezávislých smyček stejný jako počet ok, což je snadno vidět.

Přesnější způsob stanovení počtu nezávislých smyček je následující.

S obvodem s b pobočky a N uzly. Počet nezávislých smyček l je:

l = b - N + 1

To vyplývá ze skutečnosti, že počet nezávislých Kirchhoffových rovnic musí být roven větvím v obvodu a už víme, že existují pouze N-1 rovnice nezávislých uzlů. Celkový počet Kirchhoffových rovnic je tedy

b = N-1 + l a tudíž l = b - N + 1

Tato rovnice také vyplývá ze základní věty teorie grafů, která bude popsána dále na tomto místě.

Nyní vyřešíme předchozí příklad znovu, ale jednodušeji, pomocí metody smyčkového proudu. S touto metodou můžeme volně používat smyčky v sítích nebo jiných smyčkách, ale udržme smyčku s J₁ v levé síti okruhu. Pro druhou smyčku však zvolíme smyčku s J_2, jak ukazuje obrázek níže. Výhodou této volby je, že J₁ bude rovna požadovanému proudu I, protože je to jediný smyčkový proud procházející R1. To znamená, že nemusíme počítat J2 vůbec. Mějte na paměti, že na rozdíl od „skutečných“ proudů je fyzický význam smyčkových proudů závislý na tom, jak je přiřazujeme obvodu.

Rovnice KVL:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

a požadovaný proud: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Expresní J2 z druhé rovnice:

Nahraďte první rovnici:

Proto: J1 = I = 1 A

Další příklady.

Příklad 1

Najděte proud I v obvodu níže.

Všimněte si, že směr tohoto proudu smyčky je ne ve směru hodinových ručiček, protože jeho směr je určen aktuálním zdrojem. Protože je však tento proud smyčky již znám, není třeba psát rovnici KVL pro smyčku, kde I_S1 je vzat.

Proto jedinou rovnicí, kterou je třeba vyřešit, je:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Já - já_S1) = 0

proto

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Numericky

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Tento výsledek můžete také vygenerovat voláním symbolické analýzy TINA z nabídky Analýza / Symbolická analýza / Výsledek DC:

Nebo můžete vyřešit rovnici KVL tlumočníkem:

Následující příklad má 3 proudové zdroje a je velmi snadné jej vyřešit metodou smyčkových proudů.

Příklad 2

Najděte napětí V.

V tomto příkladu si můžeme vybrat tři smyčkové proudy, takže každý prochází pouze jedním proudovým zdrojem. Proto jsou známy všechny tři smyčkové proudy a my potřebujeme pouze vyjádřit neznámé napětí, V, pomocí nich.

Tvorba algebraického součtu proudů přes R₃:

V = (I_S3 - Já_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Můžete to ověřit pomocí TINA :.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Další, pojďme se znovu zabývat problémem, který jsme již vyřešili v Kirchhoffovy zákony a Metoda potenciálního uzlu kapitol.

Příklad 3

Najděte napětí V rezistoru R₄.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Tento problém potřeboval k vyřešení v předchozích kapitolách alespoň 4 rovnice.

Při řešení tohoto problému s metodou smyčkových proudů máme čtyři nezávislé smyčky, ale při správném výběru smyčkových proudů bude jeden ze smyčkových proudů roven zdrojovému proudu Is.

Na základě smyčkových proudů uvedených na obrázku výše jsou smyčkové rovnice:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - I_S*R₆ -I₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Já₃* (R₁+R₂) - I_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - I₄* (R₅ + R₆) - Já₂* (R₁ + R₂) = 0

Neznámé napětí V lze vyjádřit smyčkovými proudy:

V = R₄ * (Já₂ + I₃)

Numericky:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

–100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I)₃)

Pomocí Cramerova pravidla můžeme vyřešit tento systém rovnic:

I₄ = D₃/D

kde D je determinant systému. D_4, rozhodující pro I_4, je vytvořen nahrazením pravé strany systému umístěného za sloupec I₄koeficienty.

Systém rovnic v uspořádaném tvaru:

- 60 * já₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

Takže determinant D:

Řešením tohoto systému rovnic je:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

Odpověď můžete potvrdit pomocí výsledku vypočteného TINA.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

V tomto příkladu je každý neznámý proud smyčky proud větvící (I1, I3 a I4); takže je snadné zkontrolovat výsledek porovnáním s výsledky DC analýzy TINA.