Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

Kompletní sada Kirchhoffových rovnic může být výrazně zjednodušena metodou potenciálu uzlů popsanou v této kapitole. Při použití této metody je Kirchhoffův napěťový zákon automaticky splněn a pro uspokojení současného Kirchhoffova zákona potřebujeme pouze napsat rovnice uzlů. Uspokojení Kirchhoffova zákona o napětí je dosaženo použitím potenciálů uzlů (nazývaných také uzlové nebo uzlové napětí) s ohledem na konkrétní uzel nazývaný reference uzel. Jinými slovy, všechna napětí v obvodu jsou relativní k referenční uzel, který se obvykle považuje za potenciál 0. Je snadné vidět, že s těmito definicemi napětí je Kirchhoffův zákon napětí automaticky splněn, protože zápis smyčkových rovnic s těmito potenciály vede k identitě. Všimněte si, že pro obvod s N uzly byste měli psát pouze N - 1 rovnice. Normálně je rovnice uzlu pro referenční uzel vynechána.

Součet všech proudů v obvodu je nula, protože každý proud teče dovnitř a ven z uzlu. Rovnice n-tého uzlu proto není nezávislá na předchozích rovnicích N-1. Pokud bychom zahrnuli všechny N rovnice, měli bychom neřešitelný systém rovnic.

Metoda uzlového potenciálu (nazývaná také nodální analýza) je metoda nejvhodnější pro počítačové aplikace. Většina programů pro analýzu obvodů - včetně TINA - je založena na této metodě.

Kroky uzlové analýzy:

1. Vyberte referenční uzel s potenciálem 0 uzlů a označte každý zbývající uzel pomocí V₁, V₂ or j₁, j₂a tak dále.

2. Použijte Kirchhoffův aktuální zákon v každém uzlu s výjimkou referenčního uzlu. V případě potřeby použijte Ohmův zákon k vyjádření neznámých proudů z potenciálů uzlů a napětí zdroje napětí. U všech neznámých proudů předpokládejte stejný referenční směr (např. Směřující ven z uzlu) pro každou aplikaci Kirchhoffova současného zákona.

3. Vyřešte výsledné uzlové rovnice pro napětí uzlu.

4. Určete jakýkoli požadovaný proud nebo napětí v obvodu pomocí napětí uzlu.

Představme si krok 2 zapsáním rovnice uzlu pro uzel V₁ z následujícího fragmentu obvodu:

Nejprve vyhledejte proud z uzlu V1 do uzlu V2. Budeme používat Ohmův zákon v R1. Napětí na R1 je V₁ - V₂ - V_S1

A proud přes R1 (a od uzlu V1 k uzlu V2) je

Tento proud má referenční směr směřující ven z V₁ uzel. Při použití konvence pro proudy směřující ven z uzlu by měla být zohledněna v rovnici uzlů s kladným znaménkem.

Aktuální výraz větve mezi V₁ a V₃ bude podobný, ale protože V_S2 je v opačném směru než V_S1 (což znamená potenciál uzlu mezi V_S2 a R₂ je V₃-V_S2), aktuální je

Nakonec, vzhledem k naznačenému referenčnímu směru, I_S2 měl bych mít pozitivní znamení a já_S1 záporné znaménko v rovnici uzlu.

Rovnice uzlu:

Nyní se podívejme na úplný příklad, který demonstruje použití metody potenciálního uzlu.

Najděte napětí V a proudy přes odpory v obvodu níže

Numericky:

Vynásobit 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Proto: V = 10 V

Nyní určme proudy přes odpory. To je snadné, protože stejné proudy se používají ve výše uvedené uzlové rovnici.

Můžeme zkontrolovat výsledek pomocí TINA jednoduše zapnutím interaktivního režimu DC TINA nebo pomocí příkazu Analysis / DC Analysis / Nodal Voltage.

Další, pojďme vyřešit problém, který byl již použit jako poslední příklad Kirchhoffovy zákony kapitola

Najděte napětí a proudy každého prvku obvodu.

Zvolením dolního uzlu jako referenčního uzlu 0 potenciálu, uzlového napětí N₂ bude rovna V_S3,: j₂ = proto máme pouze jedno neznámé uzlové napětí. Možná si vzpomenete, že dříve jsme s použitím celé sady Kirchhoffových rovnic, i po několika zjednodušeních, měli lineární systém rovnic 4 neznámých.

Zápis uzlových rovnic pro uzel N₁, označme uzlové napětí N₁ by j₁

Jednoduchá rovnice k řešení je:

Numericky:

Vynásobíme 330, dostaneme:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

Po výpočtu j_1, je snadné vypočítat další veličiny v obvodu.

Proudy:

I_S3 = I_R1 - Já_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A

A napětí:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 V

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 V.

Můžete si všimnout, že s metodou potenciálu uzlu potřebujete ještě nějaký další výpočet pro stanovení proudů a napětí obvodu. Tyto výpočty jsou však velmi jednoduché, mnohem jednodušší než řešení systémů lineárních rovnic pro všechny veličiny obvodu současně.

Můžeme zkontrolovat výsledek pomocí TINA jednoduše zapnutím interaktivního režimu DC TINA nebo pomocí příkazu Analysis / DC Analysis / Nodal Voltage.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Podívejme se na další příklady.

Příklad 1

Najít aktuální I.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

V tomto obvodu existují čtyři uzly, ale protože máme ideální zdroj napětí, který určuje napětí uzlu na jeho kladném pólu, měli bychom vybrat jeho záporný pól jako referenční uzel. Proto máme opravdu pouze dva neznámé potenciály uzlů: j₁ a j₂ .

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Rovnice pro uzly potenciálů j₁ a j₂:

Numericky:

systém lineárních rovnic je tedy:

Chcete-li to vyřešit, vynásobte první rovnici 3 a druhou 2 a poté přidejte dvě rovnice:

11j₁ = 220

a tudíž j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 V

Konečně neznámý proud:

Řešení soustavy lineárních rovnic lze také vypočítat pomocí Cramerovo pravidlo.

Podívejme se na použití Cramerova pravidla řešením výše uvedeného systému.

1. Vyplňte matici koeficientů neznámých:

2. Vypočítejte hodnotu determinant D matice.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Hodnoty pravé strany umístěte do sloupce koeficientů neznámé proměnné a pak vypočtěte hodnotu determinantu:

4.Divide nově nalezené determinanty původní determinant, najít následující poměry:

Proto j₁ = 20 V a j₂ = 25 V

Chcete-li zkontrolovat výsledek pomocí TINA, jednoduše zapněte interaktivní režim TINA nebo použijte příkaz Analysis / DC Analysis / Nodal Voltage. Všimněte si, že pomocí Napěťový pin součást TINA, můžete přímo ukázat potenciály uzlů za předpokladu, že Země komponenta je připojena k referenčnímu uzlu.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

{Řešení od interpreta TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
end;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Řešení od Pythonu!
import numpy jako n
#Máme systém
#lineární rovnice, které
#chceme vyřešit pro fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Napište matici koeficientů:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Napište matici konstant:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
tisk (“I= %.3f”%I)

Příklad 2.

Najděte napětí rezistoru R₄.

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

V tomto případě je praktické zvolit záporný pól zdroje napětí V_S2 jako referenční uzel, protože pak kladný pól V_S2 zdroj napětí bude mít V_S2 = Potenciál 150 uzlů. Díky této volbě je však požadované napětí V protilehlé napětí uzlu N uzlu N_4; proto V₄ = - V.

Rovnice:

Zde nepředkládáme ruční výpočty, protože rovnice mohou být snadno vyřešeny interpretem TINA.

{Řešení od interpreta TINA}
{Použít metodu potenciálního uzlu!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
end;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Řešení od Pythonu!
import numpy jako n
#Použijte metodu potenciálu uzlu!
#Máme systém lineárních rovnic, které chceme vyřešit
#pro V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Napište matici koeficientů:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Napište matici konstant:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
tisk (“V= %.4f”%V)

Pro kontrolu výsledku pomocí TINA jednoduše zapněte interaktivní režim DC TINA nebo použijte příkaz Analysis / DC Analysis / Nodal Voltage. Všimněte si, že musíme umístit několik kolíků napětí na uzly, abychom ukázali napětí uzlů.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

---