ZÁSADY ALTERNATIVNÍHO PROUDU

Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

PASIVNÍ KOMPONENTY V AC OBVODECH

Sínusové napětí může být popsáno rovnicí:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) nebo v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

kde	v (t)	Okamžitá hodnota napětí ve voltech (V).
	V_M	Maximální nebo špičková hodnota napětí ve voltech (V)
	T	Perioda: Doba potřebná pro jeden cyklus v sekundách
	f	Frekvence - počet period v 1 sekundách, v Hz (Hertz) nebo 1 / s. f = 1 / T
	ω	Úhlová frekvence, vyjádřená v radiánech / s ω = 2 * π * f nebo ω = 2 * π / T.
	Φ	Počáteční fáze uvedená v radiánech nebo stupních. Tato veličina určuje hodnotu sinusové nebo kosinové vlny att = 0.
		Poznámka: Amplituda sinusového napětí je někdy vyjádřena jako V_Eff, efektivní nebo RMS hodnota. To souvisí s V_M podle vztahu V_M= √2V_Eff,nebo přibližně V_Eff= 0.707 V_M

Zde je několik příkladů pro ilustraci výše uvedených podmínek.

Vlastnosti střídavého napětí 220 V v domácnostech v Evropě:

Efektivní hodnota: V_Eff= 220 V
Špičková hodnota: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvence: f = 50 1 / s = 50 Hz
Úhlová frekvence: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Období: T = 1 / f = 20 ms
Časová funkce: v (t) = 311 sin (314 t)

Podívejme se na funkci času pomocí příkazu Analýza / AC analýza / časová funkce TINA.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Můžete zkontrolovat, že perioda je T = 20m a že V_M= 311 V.

Vlastnosti střídavého napětí 120 V v domácí elektrické zásuvce v USA:

Efektivní hodnota: V_Eff= 120 V
Špičková hodnota: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvence: f = 60 1 / s = 60 Hz
Úhlová frekvence: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Období: T = 1 / f = 16.7 ms
Časová funkce: v (t) = 170 sin (377 t)

Všimněte si, že v tomto případě může být časová funkce zadána buď v (t) = 311 sin (314 t + Φ) nebo v (t) = 311 cos (314 t + Φ), protože v případě výstupního napětí neznají počáteční fázi.

Počáteční fáze hraje důležitou roli, když je současně přítomno několik napětí. Dobrým praktickým příkladem je třífázový systém, kde jsou přítomny tři napětí stejné špičkové hodnoty, tvaru a frekvence, z nichž každá má fázový posun 120 ° vzhledem k ostatním. V síti 60 Hz jsou časové funkce:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Následující obrázek s TINA ukazuje obvod s těmito časovými funkcemi jako generátory napětí TINA.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Rozdíl napětí v_AB= v_A(t) - v_B(t) je zobrazeno jako vyřešeno příkazem Analýza / AC analýza / časová funkce TINA.

Všimněte si, že vrchol v_AB (t) je přibližně 294 V, větší než 170 V peaksof v_A(t) nebo v_B(t) napětí, ale také ne pouze součet jejich špičkových napětí. To je způsobeno fázovým rozdílem. Budeme diskutovat o tom, jak vypočítat výsledné napětí (což je Ö3 170 * @ 294 v tomto případě) dále v této kapitole a také v samostatném Třífázové systémy kapitola.

Charakteristické hodnoty sinusových signálů

Ačkoliv se střídavý signál v průběhu doby plynule mění, je snadné definovat několik charakteristických hodnot pro porovnávání jedné vlny s druhou: Jedná se o hodnoty špiček, průměrů a středních hodnot čtverců (rms).

Už jsme dosáhli nejvyšší hodnoty V_M , což je jednoduše maximální hodnota časové funkce, amplituda sinusové vlny.

Někdy se použije hodnota špička-vrchol (pp). Pro sinusové napětí a proudy je hodnota špička-špička dvojnásobná než maximální hodnota.

Projekt průměrná hodnota sinusové vlny je aritmetický průměr hodnot pro kladný poločas. To je také nazýváno absolutním průměrem protože je stejná jako průměr absolutní hodnoty tvaru vlny. V praxi se setkáváme s tímto průběhem náprava sinusová vlna s obvodem nazývaným usměrňovač plné vlny.

Lze ukázat, že absolutní průměr sinusové vlny je:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Všimněte si, že průměr celého cyklu je nula.
Rms nebo efektivní hodnota sinusového napětí nebo proudu odpovídá ekvivalentní stejnosměrné hodnotě, která produkuje stejný topný výkon. Například napětí s efektivní hodnotou 120 V produkuje stejný výkon pro vytápění a osvětlení v žárovce jako 120 V ze zdroje stejnosměrného napětí. Lze ukázat, že efektivní hodnota sinusové vlny je:

V_rms = V_M/ √2 ≅ 0.707 V_M

Tyto hodnoty lze vypočítat stejným způsobem pro napětí i proudy.

Hodnota rms je v praxi velmi důležitá. Není-li uvedeno jinak, střídavé napájecí napětí (např. 110V nebo 220V) je uvedeno v hodnotách rms. Většina AC měřičů je kalibrována v rms a indikuje úroveň rms.

Příklad 1 Najděte špičkovou hodnotu sinusového napětí v elektrické síti s hodnotou 220 V rms.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Příklad 2 Najděte špičkovou hodnotu sinusového napětí v elektrické síti s hodnotou 110 V rms.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Příklad 3 Určete (absolutní) průměr sinusového napětí, pokud jeho hodnota rms je 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Příklad 4 Najděte absolutní průměr sinusového napětí, pokud je jeho hodnota rms 110 V.

Vrchol napětí z příkladu 2 is155.58 V a tedy:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Příklad 5 Najděte poměr mezi absolutním průměrem (V_a) a hodnoty rms (V) pro sinusový průběh.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Mějte na paměti, že průměrné hodnoty nelze přidat do AC obvodu, protože to vede k nesprávným výsledkům.

FASORY

Jak jsme již viděli v předchozí části, je často nutné v AC obvodech přidávat sinusové napětí a proudy stejné frekvence. I když je možné přidávat signály číselně pomocí TINA, nebo pomocí goniometrických vztahů, je vhodnější použít tzv. phasor metoda. Fázor je komplexní číslo představující amplitudu a fázi sinusového signálu. Je důležité poznamenat, že fázor nepředstavuje frekvenci, která musí být stejná pro všechny fázory.

Fázor může být zpracován jako komplexní číslo nebo může být graficky znázorněn jako planární šipka v komplexní rovině. Grafické znázornění se nazývá fázorové schéma. Pomocí fázorových diagramů můžete přidat nebo odečíst fázory ve složité rovině pomocí pravidla trojúhelníku nebo rovnoběžníku.

Existují dvě formy komplexních čísel: obdélníkový a polární.

Obdélníkové znázornění je ve tvaru + jb, kde j = Ö-1 je imaginární jednotka.

Polární reprezentace je ve tvaru Ae^j ^j , kde A je absolutní hodnota (amplituda) a f je úhel fázoru od kladné reálné osy, proti směru hodinových ručiček.

Budeme používat tučný písmen pro složitá množství.

Nyní se podívejme, jak odvodit odpovídající fázor z časové funkce.

Nejprve předpokládejme, že všechna napětí v obvodu jsou vyjádřena ve formě kosinových funkcí. (Všechna napětí mohou být převedena na tento formulář.) Pak phasor odpovídající napětí v (t) = V_M cos ( w t+f) je: V_M= V_Me ^jf, která se také nazývá komplexní špičková hodnota.

Zvažte například napětí: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Odpovídající fázor je: V

Stejným způsobem můžeme vypočítat časovou funkci z fázoru. Nejprve zapíšeme phasor do polární podoby např V_M= V_Me ^j^ra pak odpovídající časová funkce je

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Zvažte například fázor V_M= 10 - j20 V

Uvedení do polárního tvaru:

A proto je funkce času: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Fázory se často používají k definování komplexní efektivní nebo efektivní hodnoty napětí a proudů v AC obvodech. Daný v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numericky:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Hodnota komplexní efektivní (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Naopak: je-li komplexní efektivní hodnota napětí:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

pak komplexní vrcholová hodnota:

a funkce času: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Krátké zdůvodnění výše uvedených technik je následující. Vzhledem k časové funkci
V_M (cos ( w t+r), pojďme definovat komplexní časová funkce as:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j hřích(r))E ^j^wt

kde V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j hřích(r)) je jen fázor zavedený výše.

Například komplexní časová funkce v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30) = e ^j^wt (8.66 +j5)

Zavedením komplexní časové funkce máme reprezentaci se skutečnou částí i imaginární částí. Vždy můžeme obnovit původní skutečnou funkci času tím, že vezmeme skutečnou část našeho výsledku: v (t) = Re {v(t)}

Komplexní časová funkce má však velkou výhodu v tom, že vzhledem k tomu, že všechny složité časové funkce v uvažovaných obvodech střídavého proudu mají stejný e^j^w^tmultiplikátoru, můžeme to vyčíslit a pracovat s fázory. V praxi navíc e. Nepoužíváme^j^w^tčást vůbec - jen transformace z časových funkcí na fázory a zpět.

Abychom ukázali výhodu používání fázorů, podívejme se na následující příklad.

Příklad 6 Najděte součet a rozdíl napětí:

v₁ = 100 cos (314 * t) a v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Nejprve zapište fázory obou napětí:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Proto:

V_přidat = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_náhradník = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67}^°

a pak funkce času:

v_přidat(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_náhradník(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Jak ukazuje tento jednoduchý příklad, metoda phasors je extrémně výkonným nástrojem pro řešení AC problémů.

Problém vyřešíme pomocí nástrojů tlumočníka TINA.

{Řešení od interpreta TINA}
{výpočet v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (oblouk (v1add)) = [- 14.6388]

{výpočet v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (oblouk (v1sub)) = [28.6751]

#Řešení od Pythonu!
#výpočet v1+v2
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
v1=100
v2=50*c.exp(komplex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stupně(oblouk(vadd))=”,m.stupně(c.fáze(vadd)))
#výpočet v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stupně(oblouk(vsub))=”,m.stupně(c.fáze(vsub)))

Výsledky amplitudy a fáze potvrzují ruční výpočty.

Nyní můžete zkontrolovat výsledek pomocí AC analýzy společnosti TINA.

Před provedením analýzy se ujistěte, že Základní funkce pro AC ia nastavena kosinus v Možnosti editoru z nabídky Zobrazit / Možnosti. Vysvětlíme roli tohoto parametru na Příklad 8.

Okruhy a výsledky:

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Výsledek je opět stejný. Zde jsou grafy časové funkce:

Příklad 7 Najděte součet a rozdíl napětí:

v₁ = 100 sin (314 * t) a v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Tento příklad přináší novou otázku. Dosud jsme požadovali, aby všechny časové funkce byly uvedeny jako kosinové funkce. Co budeme dělat s časovou funkcí danou jako sinus? Řešením je přeměna funkce sinus na kosinusovou funkci. Pomocí goniometrického vztahu sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90.)°), náš příklad lze přeformulovat následovně:

v₁ = 100 cos (314 t - 90°) a v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Nyní jsou fázory napětí:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Proto:

V _přidat = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _náhradník = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

a pak funkce času:

v_přidat(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_náhradník(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Problém vyřešíme pomocí nástrojů tlumočníka TINA.

{Řešení od interpreta TINA}
{výpočet v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (oblouk (v1add)) = [- 75.3612]

{výpočet v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (oblouk (v1sub)) = [- 118.6751]

Podívejme se na výsledek pomocí analýzy AC TINA

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Příklad 8

Najděte součet a rozdíl napětí:

v₁ = 100 sin (314 * t) a v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Tento příklad přináší ještě jeden problém. Co když jsou všechna napětí dána jako sinusové vlny a také chceme vidět výsledek jako sinusovou vlnu ?. Samozřejmě bychom mohli převést obě napětí na kosinové funkce, spočítat odpověď a potom převést výsledek zpět na sínusovou funkci - ale to není nutné. Můžeme vytvořit fázory ze sinusových vln stejným způsobem, jako jsme to udělali z kosinových vln, a pak jednoduše použít jejich amplitudu a fáze jako amplitudu a fázi sinusových vln ve výsledku.

To samozřejmě přinese stejný výsledek jako přeměna sinusových vln na kosinové vlny. Jak jsme viděli v předchozím příkladu, je to ekvivalent násobení -j a pak pomocí cos (x) = sin (x-90°) vztah k jeho transformaci zpět na sinusovou vlnu. To je ekvivalentní násobení j. Jinými slovy -j × j = 1, mohli bychom použít fázory odvozené přímo z amplitud a fází sinusových vln, aby reprezentovali funkci a pak se k nim vrátili přímo. Stejným způsobem o komplexních časových funkcích bychom mohli uvažovat o sinusových vlnách jako o imaginárních částech složitých časových funkcí a doplnit je o funkci kosinus, která by vytvořila plnohodnotnou časovou funkci.

Podívejme se na řešení tohoto příkladu s použitím sinusových funkcí jako základny fázorů (transformující sin ( w t) phasor reálné jednotky (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Proto:

V _přidat = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _náhradník = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Všimněte si, že fázory jsou přesně stejné jako v příkladu 6, ale nikoli funkce času:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Jak vidíte, je velmi snadné získat výsledek pomocí sinusových funkcí, zvláště když jsou naše počáteční data sinusové vlny. Mnoho učebnic dává přednost použití sinusové vlny jako základní funkce fázorů. V praxi můžete použít obě metody, ale nepleťte si je.

Při vytváření fázorů je velmi důležité, aby všechny časové funkce byly nejprve převedeny na sinus nebo cosine. Pokud jste začali sínusovými funkcemi, měla by být vaše řešení reprezentována sinusovými funkcemi při návratu z fázorů do časových funkcí. Totéž platí, pokud začnete s kosinusovými funkcemi.

Pojďme vyřešit stejný problém pomocí interaktivního režimu TINA. Protože chceme jako základ pro vytváření fázorů používat funkce sinus, ujistěte se, že funkce Základní funkce pro AC je nastavena na hodnotu sinus v Možnosti editoru dialogové okno z nabídky View / Option.