Klikněte nebo klepněte na níže uvedené okruhy příkladů, abyste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktivní DC pro analýzu online.
Získejte levný přístup k TINACloudu pro editaci příkladů nebo vytvoření vlastních okruhů

POUŽITÍ IMPEDANCE A ADMITTANCE

SUPERPOSÍCE V AC CIRCUITS

Již jsme ukázali, jak lze základní metody analýzy stejnosměrných obvodů rozšířit a použít v obvodech střídavého proudu k řešení komplexních špičkových nebo efektivních hodnot napětí a proudu a komplexních impedancí nebo tolerancí. V této kapitole budeme řešit některé příklady dělení napětí a proudu ve střídavých obvodech.

Příklad 1

Najděte napětí v₁(t) a v₂(t), vzhledem k tomu v_s(t)= 110cos (2p50t).

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Nejprve získáme tento výsledek ručním výpočtem pomocí vzorce dělení napětí.

Tento problém lze považovat za dvě komplexní impedance v sérii: impedance rezistoru R1, Z₁=R₁ ohms (což je reálné číslo) a ekvivalentní impedance R₂ a L₂v sériích, Z₂ = R₂ + j w L_2.

Nahrazením ekvivalentních impedancí lze obvod v TINA překreslit následujícím způsobem:

Všimněte si, že jsme použili novou komponentu, komplexní impedanci, která je nyní k dispozici v TINA v6. Frekvenční závislost Z můžete definovat pomocí tabulky, ke které se dostanete dvojitým kliknutím na impedanční komponentu. V prvním řádku tabulky můžete definovat buď impedanci stejnosměrného proudu, nebo frekvenčně nezávislou komplexní impedanci (tu druhou jsme provedli pro induktor a odpor v sérii, při dané frekvenci).

Pomocí vzorce pro dělení napětí:

V₁ = V_s*Z₁ / (Z₁ + Z₂)

V₂ = V_s*Z₂ / (Z₁ + Z₂)

Numericky:

Z₁ = R₁ = 10 ohmů

Z₂ = R₂ + j w L = 15 + j 2*p* 50 * 0.04 = 15 + j 12.56 ohmů

V₁= 110 x 10 / (25+)j12.56) = 35.13-j17.65 V = 39.31 e^-j26.7^° V

V₂= 110 * (15+j12.56) / (25 +j12.56) = 74.86 +j17.65 V = 76.92 e^{j 13.3}^° V

Časová funkce napětí:

v₁(t) = 39.31 cos (wt - 26.7°) V

v₂(t) = 76.9 cos (wt + 13.3°) V

Podívejme se na výsledek pomocí TINA Analýza / Analýza AC / Vypočítejte uzel napětí

Dále zkontrolujeme tyto výsledky pomocí tlumočníka TINA:

{Řešení od interpreta TINA}
f: = 50;
om: = 2 * pi * f;
VS: = 110;
v1:=VS*R1/(R1+R2+j*om*L2);
v2:=VS*(R2+j*om*L2)/(R1+R2+j*om*L2);
v1 = [35.1252-17.6559 * j]
v2 = [74.8748 + 17.6559 * j]
abs (v2) = [76.9283]
radtodeg (oblouk (v2)) = [13.2683]
abs (v1) = [39.313]
radtodeg (oblouk (v1)) = [- 26.6866]

#Řešení od Pythonu!
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
#Zjednodušme tisk složitých
#numbers pro větší transparentnost:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
f = 50
om=2*c.pi*f
VS = 110
v1=VS*R1/complex(R1+R2,om*L2)
v2=VS*complex(R2,om*L2)/complex(R1+R2,om*L2)
print(“v1=”,cp(v1))
print(“v2=”,cp(v2))
print(“abs(v1)= %.4f”%abs(v1))
print(“stupně(oblouk(v1))= %.4f”%m.stupně(c.fáze(v1)))
print(“abs(v2)= %.4f”%abs(v2))
print(“arc(v2)*180/pi= %.4f”%(c.phase(v2)*180/c.pi))

Všimněte si, že při použití tlumočníka jsme nemuseli deklarovat hodnoty pasivních komponent. Je to proto, že používáme tlumočníka v pracovní relaci s TINA, ve které je schéma v editoru schémat. Tlumočník TINA v tomto schématu hledá definici symbolů pasivních komponent zadaných do programu Tlumočník.

Nakonec použijeme fázový diagram TINA k předvedení tohoto výsledku. Připojení voltmetru k generátoru napětí, výběr Analýza / AC analýza / Phasorův diagram příkazem, nastavením os a přidáním štítků získáte následující diagram. Všimněte si, že Zobrazit / vektor styl štítku byla stanovena na Amplituda pro tento diagram.

Diagram ukazuje, že V_s je součet fázorů V₁ a V₂, V_s = V₁ + V₂.

Pohybem fázorů to můžeme také ukázat V₂ je rozdíl mezi V_s a V_1,V₂ = V_s - V_1.

Tento obrázek také ukazuje odčítání vektorů. Výsledný vektor by měl začínat od špičky druhého vektoru, V₁.

Podobným způsobem to dokážeme V₁ = V_s - V_2. Výsledný vektor by měl opět začínat od konce druhého vektoru, V₁.

Samozřejmě lze oba fázorové diagramy považovat za jednoduchý trojúhelníkový pravidelný diagram V_s = V₁ + V₂.

Výše uvedené fázorové diagramy také demonstrují Kirchhoffův zákon napětí (KVL).

Jak jsme se dozvěděli v naší studii stejnosměrných obvodů, použité napětí sériového obvodu se rovná součtu úbytků napětí v sériových prvcích. Fázorové diagramy ukazují, že KVL platí také pro střídavé obvody, ale pouze pokud použijeme komplexní fázory!

Příklad 2

V tomto okruhu R₁ představuje stejnosměrný odpor cívky L; společně modelují induktor skutečného světa s jeho ztrátovou složkou. Najděte napětí přes kondenzátor a napětí přes cívku skutečného světa.

L = 1.32 h, R₁ = 2 kohms, R₂ = 4 kohms, C = 0.1 mF v_S(t) = 20 cos (wt) V, f = 300Hz.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Ruční řešení pomocí dělení napětí:

= 13.91 e ^j^44.1^° V

v₁(t) = 13.9 cos (w ×t + 44°) V

= 13.93 e^{-j 44.1}^° V

v₂(t) = 13.9 cos (w ×t - 44.1°) V

Všimněte si, že při této frekvenci jsou při těchto hodnotách složek velikost dvou napětí téměř stejná, ale fáze mají opačné znaménko.

Ještě jednou nechme TINU vykonat zdlouhavou práci řešením pro V1 a V2 s tlumočníkem:

{Řešení od tlumočníka TINA!}
om: = 600 * pi;
V: = 20;
v1:=V*(R1+j*om*L)/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v1) = [13.9301]
180 * arc (v1) / pi = [44.1229]
v2:=V*(replus(R2,1/j/om/C))/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v2) = [13.9305]
180 * arc (v2) / pi = [- 44.1211]

#Řešení od Pythonu!
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
#Zjednodušme tisk složitých
#numbers pro větší transparentnost:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
#Definujte replus pomocí lambda:
Replus= lambda R1, R2: R1*R2/(R1+R2)
om = 600 x c.pi
V = 20
v1=V*complex(R1,om*L)/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print(“abs(v1)= %.4f”%abs(v1))
print(“180*arc(v1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v1)/c.pi))
v2=V*complex(Replus(R2,1/1j/om/C))/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print(“abs(v2)= %.4f”%abs(v2))
print(“180*arc(v2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v2)/c.pi))

A nakonec se podívejte na tento výsledek pomocí fázorového diagramu TINA. Připojení voltmetru k generátoru napětí, vyvolání Analýza / AC analýza / Phasorův diagram příkaz, nastavení os a přidání štítků poskytne následující diagram (všimněte si, že jsme nastavili) Zobrazit / vektor styl štítku na Real + j * Imag pro tento diagram):

Příklad 3

Aktuální zdroj i_S(t) = 5 cos (wt) A, odpor R = 250 mohm, induktor L = 53 uH a frekvence f = 1 kHz. Najděte proud v induktoru a proud v rezistoru.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

Pomocí vzorce pro aktuální dělení:

i_R(t) = 4 cos (w ×t + 37.2°) A

Podobně:

i_L(t) = 3 cos (w ×t - 53.1°)

A s použitím tlumočníka v TINA:

{Řešení od interpreta TINA}
om: = 2 * pi * 1000;
je: = 5;
iL: = * R / (R + j * om * L);
iL = [1.8022-2.4007 * j]
iR: = je * j * om * L / (R + j * om * L);
iR = [3.1978 + 2.4007 * j]
abs (iL) = [3.0019]
radtodeg (oblouk (iL)) = [- 53.1033]
abs (iR) = [3.9986]
radtodeg (oblouk (iR)) = [36.8967]

#Řešení od Pythonu!
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
#Zjednodušme tisk složitých
#numbers pro větší transparentnost:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
om=2*c.pi*1000
i = 5
iL=i*R/komplex (R+1j*om*L)
print(“iL=”,cp(iL))
iR=komplex(i*1j*om*L/(R+1j*om*L))
print(“iR=”,cp(iR))
print(“abs(iL)= %.4f”%abs(iL))
print(“degrees(arc(iL))= %.4f”%m.degrees(c.phase(iL)))
print(“abs(iR)= %.4f”%abs(iR))
print(“stupně(oblouk(iR))= %.4f”%m.stupně(c.fáze(iR)))

Toto řešení můžeme také demonstrovat pomocí fázorového diagramu:

Fázorový diagram ukazuje, že proud IS generátoru je výsledným vektorem komplexních proudů IL a IR. Ukazuje také Kirchhoffův současný zákon (KCL), který ukazuje, že aktuální IS vstupující do horního uzlu obvodu se rovná součtu IL a IR, komplexních proudů opouštějících uzel.

Příklad 4

Určete i₀(t), i₁(t) ai₂(t). Hodnoty komponent a napětí zdroje, frekvence a fáze jsou uvedeny na níže uvedeném schématu.

Klikněte / klikněte na výše uvedený obvod a analyzujte on-line nebo klikněte na tento odkaz Uložit pod Windows

i₀

i₁

i₂

V našem řešení použijeme princip současného dělení. Nejprve najdeme výraz pro celkový současný i₀:

I_0M = 0.315 e^{j 83.2}^° A a i₀(t) = 0.315 cos (w ×t + 83.2°) A

Pak pomocí proudového rozdělení zjistíme proud v kondenzátoru C:

I_1M = 0.524 e ^j^91.4^° A a i₁(t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) A

A proud v induktoru:

I_2M = 0.216 e^{-j 76.6}^° A a i₂(t) = 0.216 cos (w ×t - 76.6°) A

S očekáváním hledáme potvrzení našich ručních výpočtů pomocí tlumočníka TINA.

{Řešení od interpreta TINA}
V: = 10;
om: = 2 * pi * 1000;
I0: = V / ((1 / j / om / C1) + replus ((1 / j / om / C), (R + j * om * L)));
I0 = [37.4671m + 313.3141m * j]
abs (I0) = [315.5463m]
180 * oblouk (I0) / pi = [83.1808]
I1: = I0 * (R + j * om * L) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I1 = [- 12.489m + 523.8805m * j]
abs (I1) = [524.0294m]
180 * oblouk (I1) / pi = [91.3656]
I2: = I0 * (1 / j / om / C) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I2 = [49.9561m-210.5665m * j]
abs (I2) = [216.4113m]
180 * oblouk (I2) / pi = [- 76.6535]
{Řízení: I1 + I2 = I0}
abs (I1 + I2) = [315.5463m]

#Řešení od Pythonu!
importovat matematiku jako m
importovat cmath jako c
#Zjednodušme tisk složitých
#numbers pro větší transparentnost:
cp= lambda Z : „{:.4f}“.format(Z)
#Nejprve definujte replus pomocí lambda:
Replus= lambda R1, R2: R1*R2/(R1+R2)
V = 10
om=2*c.pi*1000
I0=V/complex((1/1j/om/C1)+Replus(1/1j/om/C,R+1j*om*L))
print(“I0=”,cp(I0))
print(“abs(I0)= %.4f”%abs(I0))
print(“180*arc(I0)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I0)/c.pi))
I1=I0*complex(R,om*L)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
print(“I1=”,cp(I1))
print(“abs(I1)= %.4f”%abs(I1))
print(“180*arc(I1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I1)/c.pi))
I2=I0*complex(1/1j/om/C)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
print(“I2=”,cp(I2))
print(“abs(I2)= %.4f”%abs(I2))
print(“180*arc(I2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I2)/c.pi))
#Controll: I1+I2=I0
print(“abs(I1+I2)= %.4f”%abs(I1+I2))

Dalším způsobem, jak to vyřešit, by bylo nejprve najít napětí přes paralelní komplexní impedanci Z_LRa Z_C. Známe-li toto napětí, můžeme najít proudy i₁ a i₂ tím, že toto napětí nejprve vydělí Z_LRa pak Z_C. Dále ukážeme řešení napětí napříč paralelní komplexní impedancí Z_LRa Z_C. Budeme muset postupovat na principu rozdělení napětí:

V_RLCM= 8.34 e ^j^1.42^° V

I_C= I₁= V_RLCM*jwC = 0.524 e^{j 91.42}^° A

a tudíž

i_C (t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) A.

POUŽITÍ IMPEDANCE A ADMITTANCE

SUPERPOSÍCE V AC CIRCUITS