KOMPLETTE NUMMER

Klik eller tryk på Eksempel kretserne nedenfor for at påkalde TINACloud og vælg den interaktive DC-tilstand for at analysere dem online.
Få en billig adgang til TINACloud for at redigere eksemplerne eller oprette dine egne kredsløb

I dette og de følgende kapitler vil vi præsentere et meget vigtigt emne: AC, eller vekselstrøm. Navnet vekselstrøm er ikke meget præcist og dækker normalt kredsløb med sinusformede spændinger og strømme; vekselstrøm kan dog også betyde enhver vilkårlig strømbølgeform. Vigtigheden af ​​vekselstrøm er, at denne type spænding bruges til den vigtigste elkilde i hjem og industri over hele verden. Det er også grundlaget for mange elektronik-, telekommunikations- og industrielle applikationer.

For at håndtere sinusformede bølgeformer og de kredsløb, der er forbundet med dem, vil vi anvende en simpel og elegant metode kaldet fasers metode. Phasorer er baseret på egenskaberne af komplekse tal, som er ideelle til at repræsentere sinusformede mængder. I dette kapitel opsummerer vi de vigtigste fakta om komplekse tal og deres operationer. Vi vil også vise, hvordan TINAs tolk gør det nemt at lave beregninger med komplekse tal.

Komplekse tal består af to dele, a rigtig del (x), hvilket er et reelt tal og en såkaldt imaginære del (y), hvilket er et reelt tal multipliceret med , den imaginære enhed. Det komplekse nummer zkan derfor beskrives som:

z = x + jy

hvor .

Eksempler på komplekse tal:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Komplekse tal blev oprindeligt introduceret i det syttende århundrede for at repræsentere rødderne af polynomer, som ikke kunne repræsenteres med reelle tal alene. For eksempel rødderne af ligningen x² + 2x + 2 = 0 kan kun beskrives som , , eller bruge notationen , z₁= 1 + j , z₂= 1- j. Ved hjælp af den nye notation til at undersøge egenskaberne ved udtryk, var matematikere i stand til at bevise teoremer og løse problemer, som indtil da havde været vanskelige, hvis ikke umulige at løse. Dette førte til uddybningen af ​​komplekse algebra og komplekse funktioner, som nu bruges vidt i matematik og teknik.

Geometrisk repræsentation af komplekse tal

Rektangulær form

Fordi et komplekst tal altid kan opdeles i dets reelle og komplekse dele, kan vi repræsentere et komplekst tal som et punkt på et todimensionalt plan. Den reelle del af et komplekst tal er projektionen af ​​punktet på den virkelige akse, og den imaginære del af tallet er projektionen på den imaginære akse. Når et komplekst tal er repræsenteret som summen af ​​virkelige og imaginære dele, siger vi, at det er i rektangulære or algebraisk form.

Den følgende figur viser det komplekse tal z = 2 + 4j

Polar og eksponentiel form

Som du kan se på figuren ovenfor, kan punktet A også repræsenteres ved pilens længde, r (også kaldet den absolutte værdi, størrelse eller amplitude) og dens vinkel (eller fase), φ relativ i retning mod uret til den positive horisontale akse. Dette er polære form af et komplekst tal. Det betegnes som r ∠ φ.

Det næste skridt er meget vigtigt. Et komplekst tal i polarform kan også skrives i eksponentiel form:

Dette enkle udtryk er kendetegnet ved, at det har et imaginært tal i eksponenten i stedet for det sædvanlige reelle tal. Denne komplekse eksponentielle opfører sig meget forskelligt fra den eksponentielle funktion med et reelt argument. Mens e^x vokser hurtigt i størrelsesorden for at øge x> 0 og falder for x <0, funktionen har den samme størrelse (z = 1) for enhver φ. Desuden ligger dens komplekse værdier på enhedskredsen.

Eulers formel giver et foreningskobling blandt de rektangulære, polære og eksponentielle former for komplekse tal:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j synd φ )

hvor

, φ = tan^-1 (Y / x).

For vores eksempel ovenfor, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1 (4 / 2) = 63.4 °

derfor .

Eller omvendt:

Du skal være dygtig til at bruge begge former, afhængigt af applikationen. For eksempel er tilføjelse eller subtraktion naturligvis lettere at gøre, når tallene er i rektangulær form, mens multiplikation og opdeling er lettere at gøre, når tallene er i eksponentiel form.

Operationer med komplekse tal

De operationer, der kan udføres med komplekse tal, ligner dem, der gælder for reelle tal. Reglerne og nogle nye definitioner opsummeres nedenfor.

Operationer med j

Operationerne med j simpelthen følge af definitionen af ​​den imaginære enhed,

For at kunne arbejde hurtigt og præcist skal du huske disse regler:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Komplekst konjugat

Det komplekse konjugat af et komplekst tal er let afledt og er ret vigtigt. For at opnå det komplekse konjugat af et komplekst tal i rektangulær form, skal du blot ændre tegnet på den imaginære del. Hvis du vil gøre det for et tal i eksponentiel form, skal du ændre tegnet på vinklen på det komplekse tal, samtidig med at dets absolutte værdi bliver det samme.

Det komplekse konjugat af et komplekst tal z betegnes ofte af z^*.

I betragtning af det komplekse tal z= A + jb, dens komplekse konjugat er z^*= a- jb.

If z er givet i eksponentiel form, , dens komplekse konjugat er

Ved anvendelse af definitionerne ovenfor er det let at se, at et komplekst tal multipliceret med dets komplekse konjugat giver kvadratet af den absolutte værdi af det komplekse tal:

zz^* = r² = a^{2 +} b²

Også ved at tilføje eller subtrahere noget komplekst tal og dets konjugat, får vi følgende relationer:

z + z ^* = 2a

derfor

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

på tilsvarende måde:

z - z ^* =j2b

derfor

Jeg er(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Numeriske eksempler:

I rektangulær form:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

I polar form

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

I eksponentiel form:

Tilføjelse og subtraktion

Tilføjelse og subtraktion af komplekse tal er ligetil - vi behøver kun at tilføje de reelle og imaginære dele separat. For eksempel, hvis

z₁ = 3 - 4j , z₂ = 2 + 3j

derefter

z₁ + z₂ = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂ = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Vi bør naturligvis bruge den rektangulære form til disse operationer. Hvis tallene er angivet i eksponentiel eller polær form, skal vi omdanne dem først til rektangulær form ved hjælp af Eulers formel, som tidligere angivet.

Multiplikation

Der er to metoder til multiplikation af komplekse tal -

Multiplikation af komplekse tal angivet i rektangulær form

For at udføre handlingen skal du simpelthen multiplicere de reelle og imaginære dele af det ene tal efter tur med de reelle og imaginære dele af det andet nummer og bruge identiteten j² = -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Når de komplekse tal er angivet numerisk, er det ikke nødvendigt at bruge formlen ovenfor. For eksempel lad

z₁ = 3 - 4j , z₂ = 2 + 3j

Med direkte multiplikation af komponenterne:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

eller ved hjælp af formlen: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Vi tror, ​​at du er mere tilbøjelig til at lave en fejl, hvis du bruger formlen, end hvis du multiplicerer komponenterne direkte.

Multiplikation af komplekse tal angivet i polar eller eksponentiel form

For at udføre denne operation multiplicerer du de absolutte værdier og tilføjer vinklerne for de to komplekse tal. Lade:

Derefter bruger reglen for multiplikation af eksponentielle funktioner:

eller i polar form

z₁ z₂ = r₁ r₂ Φ₁ + φ₂

Bemærk: Vi har allerede brugt denne regel, når vi har beregnet zz ^*over. Da konjugatets vinkel har det modsatte tegn på den oprindelige vinkel, er et komplekst tal ganget med sit eget konjugat altid et reelt tal; nemlig kvadratet med dets absolutte værdi: zz ^* = r²

Lad eksempelvis:

z₁ = 5 ∠ 30 ° og z₂ = 4 ∠ -60 °

derefter

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

eller i eksponentiel form

Multiplikation er naturligvis enklere, når tallene er i polar eller eksponentiel form.

Hvis de komplekse tal dog gives i rektangulær form, skal du overveje at udføre multiplikationen direkte som vist ovenfor, da der er yderligere trin, hvis du konverterer tallene til polær form, før du multiplicerer dem. En anden faktor, du skal overveje, er, om du ønsker, at svarene skal være i rektangulær form eller i polær / eksponentiel form. For eksempel, hvis de to tal er i rektangulær form, men du gerne vil have deres produkt i polær form, er det fornuftigt at konvertere dem med det samme og derefter multiplicere dem.

Afdeling

Der er to metoder til opdeling af komplekse tal -

Opdeling af komplekse tal angivet i rektangulær form

For at udføre operationen skal du multiplicere tælleren og nævneren med nævnerens konjugat. Nævneren bliver et reelt tal, og opdelingen reduceres til multiplikationen af ​​to komplekse tal og en opdeling med et reelt tal, kvadratet for nævnerens absolutte værdi.

For eksempel lad:

z₁ = 3 - 4j , z₂ = 2 + 3j

Lad os tjekke dette resultat med TINAs tolk:

Opdeling af komplekse tal angivet i polar eller eksponentiel form

For at udføre operationen deles de absolutte værdier (størrelser) og trækker vinklen fra nævneren fra tællerens vinkel. Lade:

så bruger reglen for opdeling af eksponentielle funktioner

eller i polar form

z ₁ / z₂ = r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Lad eksempelvis:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° og z ₂ = 2 ∠ -60 °

derefter

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

eller i eksponentielle og rektangulære former

Lad os tjekke dette resultat med TINAs tolk:

Opdelingen er naturligvis enklere, når tallene er i polær eller eksponentiel form.

Hvis de komplekse tal dog er angivet i rektangulær form, skal du overveje at udføre opdelingen direkte ved hjælp af den komplekse konjugatmetode som vist ovenfor, da der er flere trin, hvis du konverterer tallene til polær form, før du deler dem. En anden faktor, du skal overveje, er, om du ønsker, at svarene skal være i rektangulær form eller i polær / eksponentiel form. For eksempel, hvis de to tal er i rektangulær form, men du gerne vil have deres kvotient i polær form, er det fornuftigt at konvertere dem med det samme og derefter dele dem.

Lad os nu illustrere brugen af ​​komplekse tal ved flere numeriske problemer. Som sædvanlig kontrollerer vi vores løsninger ved hjælp af TINAs tolk. Tolken arbejder med radianer, men den har standardfunktioner til omdannelse af radianer til grader eller omvendt.

Eksempel 1 Find den polære repræsentation:

z = 12 - j 48

eller 49.48 ∠ - 75.96 °

Eksempel 2 Find den rektangulære repræsentation:

z = 25 e ^{j 125 °}

Eksempel 3 Find den polære repræsentation af følgende komplekse tal:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

De absolutte værdier for alle fire numre er de samme, fordi den absolutte værdi er uafhængig af tegnene. Kun vinklerne er forskellige.

TINAs lysbue () -funktion bestemmer vinklen på et hvilket som helst komplekst tal, og placerer det automatisk korrekt i en af ​​de fire kvadranter.

Pas på dog med bruden^-1 funktion til at finde vinklen, da den kun er begrænset til returnerende vinkler i første og fjerde kvadrant (–90 °φ<90 °).

Siden z₁ er placeret i koordinatsystemets første kvadrant, er beregningen:

α ₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Siden z₄ er placeret i koordinatsystemets tredje kvadrant, solbrændt^-1vender ikke vinklen korrekt. Vinkelberegningen er:

α ₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° eller -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, hvilket er det samme som beregnet af TINA.

z₂ er placeret i koordinatsystemets fjerde kvadrant Vinkelberegningen er:

α ₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3, Men er i 2nd-kvadranten i koordinatsystemet, så tan^-1 Vinklen vender ikke korrekt. Vinkelberegningen er:

α ₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Eksempel 4 Vi har to komplekse tal: z₁= 4 - j 6 og z₂ = 5 e^{j45 °} .

Finde z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Først løser vi problemet ved hjælp af TINAs tolk

Bemærk, hvordan TINA ubesværet håndterer de to komplekse tal i forskellige former.

Løsningen er mere kompliceret uden tolk. Så vi kan sammenligne de forskellige metoder til multiplikation og opdeling, vil vi først bestemme den polære form af z₁ og den rektangulære form af z₂ .

Dernæst finder vi de fire løsninger, der først bruger de nemmeste former: rektangulær til tilføjelse og subtraktion og eksponentiel for multiplikation og opdeling:

z ₃ = z₁ + z₂ = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z ₄ = z₁ - z₂ = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = 7.21 * 5 * e^{j(-56.31 ° + 45 °)} = 36.05 e ^{-j11.31 °} = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* synd (-11.31 °))

z ₅ = 35.33 - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (7.21 / 5) * e ^{j (-56.31 ° -45 °)} = 1.442 e ^{- j 101.31 °} = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* synd (-101.31 °))

z ₆ = -0.2828 - j 1.414

som er enige med de resultater, der er opnået med TINA-tolken.

Multiplikationen udført i rektangulær form:

z ₅ =z₁*z₂ = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Endelig udføres divisionen i rektangulær form:

som er i overensstemmelse med de tidligere resultater.