KIRCHHOFFS LOV

Klik eller tryk på Eksempel kretserne nedenfor for at påkalde TINACloud og vælg den interaktive DC-tilstand for at analysere dem online.
Få en billig adgang til TINACloud for at redigere eksemplerne eller oprette dine egne kredsløb

NODE POTENTIAL METHOD

Mange kredsløb er for komplekse til at kunne løses ved hjælp af reglerne for serie- eller parallelle kredsløb eller teknikkerne til konvertering til enklere kredsløb beskrevet i tidligere kapitler. Til disse kredsløb har vi brug for mere generelle løsningsmetoder. Den mest generelle metode er givet ved Kirchhoffs love, der tillader beregning af alle kredsløbsspændinger og strømme i kredsløb ved hjælp af en løsning af et system med lineære ligninger.

Der er to Kirchhoff-love, spændingsloven og den aktuelle lov. Disse to love kan bruges til at bestemme alle spændinger og strømme i kredsløb.

Kirchhoffs spændingslov (KVL) siger, at den algebraiske sum af spændingen stiger, og spændingsfald omkring en sløjfe skal være nul.

En løkke i ovennævnte definition betyder en lukket bane i kredsløbet; det vil sige en sti, der forlader en knude i en retning og vender tilbage til den samme knude fra en anden retning.

I vores eksempler vil vi bruge retningen med uret til sløjfer; de samme resultater opnås dog, hvis retning mod uret bruges.

For at anvende KVL uden fejl, er vi nødt til at definere den såkaldte referenceretning. Referenceretningen for de ukendte spændinger peger fra + til - tegnet for de antagede spændinger. Forestil dig at bruge et voltmeter. Du placerer voltmeter-positiv sonde (normalt rød) på komponentens reference + -terminal. Hvis den reelle spænding er positiv, er den i samme retning, som vi antog, og både vores løsning og voltmeter viser en positiv værdi.

Når vi udleder den algebraiske sum af spændingerne, skal vi tildele et plustegn til de spændinger, hvor referenceretningen stemmer overens med retningen på løkken, og negative tegn i det modsatte tilfælde.

En anden måde at anføre Kirchhoffs spændingslov er: den anvendte spænding i et seriekredsløb er lig med summen af ​​spændingsfaldene over serieelementerne.

Følgende korte eksempel viser brugen af ​​Kirchhoffs spændingslov.

Find spændingen over modstand R2, i betragtning af at kildespændingen, VS = 100 V, og at spændingen over modstand R1 er V1 = 40 V.

Figuren nedenfor kan oprettes med TINA Pro version 6 og derover, hvor tegneværktøjer er tilgængelige i den skematiske editor.


Løsningen ved hjælp af Kirchhoffs spændingslov: -VS + V1 + V2 = 0 eller VS = V1 + V2

derfor: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V

Bemærk, at vi normalt ikke kender modstandernes spændinger (medmindre vi måler dem), og vi er nødt til at bruge begge Kirchhoffs love til løsningen.

Kirchhoffs nuværende lov (KCL) siger, at den algebraiske sum af alle strømme, der kommer ind og forlader en hvilken som helst knude i et kredsløb, er nul.

I det følgende giver vi et + tegn til strømme, der forlader en node og et - tegn til strømme, der kommer ind i en node.

Her er et grundlæggende eksempel, der demonstrerer Kirchhoffs nuværende lov.


Find den aktuelle I2 hvis kilden nuværende IS = 12 A, og jeg1 = 8 A.


Brug af Kirchhoffs nuværende lov ved den cirkulære knudepunkt: -IS + I1 + I2 = 0, derfor: I2= IS - Jeg1 = 12 - 8 = 4 A, som du kan tjekke med at bruge tina (næste figur).

I det næste eksempel vil vi bruge både Kirchhoffs love plus Ohms lov til at beregne strømmen og spændingen over modstanderne.

I figuren nedenfor vil du bemærke Spændingspil over modstande. Dette er en ny komponent tilgængelig i Version 6 af TINA og fungerer som et voltmeter. Hvis du forbinder den på tværs af en komponent, bestemmer pilen referenceretningen (for at sammenligne med et voltmeter, forestil dig at placere den røde sonde ved pilens hale og den sorte sonde i spidsen). Når du kører DC-analyse, vises den aktuelle spænding på komponenten på pilen.


Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows


For at begynde at bruge Kirchhoffs nuværende lov, ser vi, at strømningerne gennem alle komponenterne er de samme, så lad os betegne denne strøm af jeg.

I henhold til Kirchhoffs spændingslovgivning: VS = V1+V2+V3

Brug nu Ohms lov: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3

Og herfra strømmen i kredsløbet:

I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Endelig spændingerne på modstanderne:

V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V

De samme resultater ses på Voltage Arrows ved blot at køre TINAs interaktive DC-analyse.


I dette næste, mere komplekse kredsløb bruger vi også både Kirchhoffs love og Ohms lov, men vi finder ud af, at vi mest løser et lineært ligningssystem.

Det samlede antal uafhængige anvendelser af Kirchhoffs love i et kredsløb er antallet af kredsløbsgrene, mens det samlede antal ukendte (strøm og spænding for hver gren) er det dobbelte. Dog ved også at bruge Ohms lov ved hver modstand og de enkle ligninger, der definerer de anvendte spændinger og strømme, får vi et ligningssystem, hvor antallet af ukendte er det samme som antallet af ligninger.

Find grenstrømme I1, I2, I3 i kredsløbet nedenfor.


Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows


Sættet af ligninger følger:

Knude ligningen for den cirklede knude:

- I1 - I2 - Jeg3 = 0

eller multiplicere med -1

I1 + I2 + I3 = 0

Løkkeforligningerne (med urets retning) for sløjfen L1, der indeholder V1R1 og R3

-V1+I1*R1-I3*R3 = 0

og for loop L2, der indeholder V2R2 og R3

I3*R3 - Jeg2*R2 +V2 = 0

At erstatte komponentværdierne:

I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * Jeg1 - 40 * I3 = 0 40 * Jeg3 -20 * Jeg2 + 16 = 0

Udtryk I1 ved hjælp af nodal ligningen: I1 = -I2 - Jeg3

derefter erstatte det med den anden ligning:

-V1 - (jeg2 + I3) * R1 -JEG3*R3 = 0 or -8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0

Udtryk I2 og erstatte den i den tredje ligning, hvorfra du allerede kan beregne I3:

I2 = - (V.1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40

I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0

Og: I3 = - (V.2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Derfor I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A , I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A.

Eller: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.

Lad os nu løse de samme ligninger med TINAs tolk:

{Løsning af TINAs tolk}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
ende;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]
#Løsning fra Python
import numpy som np, sympy som s
#Vi har et lineært system af
#ligninger, som vi vil løse:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
print (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Lad os endelig kontrollere resultater ved hjælp af TINA:


Lad os derefter analysere følgende endnu mere komplekse kredsløb og bestemme dets grenstrømme og spændinger.


Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows
Lad os betegne de ukendte spændinger og strømme ved at tilføje spænding og strømpile til komponenter, og også vise sløjferne (L1, L2, L3) og knudepunkterne (N1, N2), hvor vi vil bruge Kirchhoffs ligninger.
Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows


Her er sæt af Kirchhoff-ligninger for sløjferne (ved hjælp af retning med uret) og knudepunkter.

-IL + IR1 - Jegs = 0 (for N1)

- JegR1 + IR2 + Is3 = 0 (for N2)

-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (for L1)

-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (for L2)

-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (for L3)

Anvendelse af Ohms lov:

VL = IL*RL

VR1 =IR1*R1

VR2 = IR2*R2

VR3 = - JegL*R3

Dette er 9 ukendte og 9 ligninger. Den nemmeste måde at løse dette på er at bruge TINA'er

tolk. Hvis vi imidlertid presses til at bruge håndberegninger, bemærker vi, at dette sæt af ligninger let kan reduceres til et system med 5 ukendte ved at erstatte de sidste 4 ligninger i L1, L2, L3 loop ligningerne. Også ved at tilføje ligninger (L1) og (L2), kan vi eliminere VIs , hvilket reducerer problemet med et system af 4 ligninger for 4 unknowns (IL, IR1 IR2, Is3). Når vi har fundet disse strømme, kan vi let bestemme VL, VR1, VR2, og VR3 ved hjælp af de sidste fire ligninger (Ohms lov).

I stedet for VL ,VR1,VR2 ,VR3 :

-IL + IR1 - Jegs = 0 (for N1)

- JegR1 + IR2 + Is3 = 0 (for N2)

-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (for L1)

-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (For L2)

- JegR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (for L3)

Tilføjelse (L1) og (L2) vi får

-IL + IR1 - Jegs = 0 (for N1)

- JegR1 + IR2 + Is3 = 0 (for N2)

-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)

- JegR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (for L3)

Efter substitution af komponentværdierne kommer løsningen på disse ligninger let.

-IL+IR1 - 2 = 0 (for N1)

-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (for N2)

-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (L.2)

-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (for L3)

fra L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (JEG)

fra N2 IS3 - JegR1 = - 5.25 (II)

fra L1+L2 110 IL + 30 IR1 = -150 (III)

og for N1 IR1 - JegL = 2 (IV)

Multiplicer (IV) med -30 og tilføj til (III) 140 IL = -210 dermed IL = - 1.5 A.

Stedfortræder IL ind i (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

og jegR1 ind (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A

Og spændingerne: VR1 = IR1*R1 = 15 V; VR2 = IR2*R2 = 210 V;

VR3 = - JegL*R3= 135 V; VL = IL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V

{Løsning af de originale ligninger af TINAs tolk}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Er + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
ende;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]
#Løsning fra Python
#Ax=b
import numpy som np, sympy som s
#Symbolisk løsning ved hjælp af numpy.solve
#ligninger:
#IL=-Er+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Løs for:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Er+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
print (sol)

#En anden metode til at løse ved hjælp af numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Opløsning af det reducerede sæt ligninger ved hjælp af tolk:

{Løsning af det reducerede sæt ligninger af TINAs tolk}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-IL + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
ende;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Vi kan også indtaste udtryk for spændingerne og få TINAs fortolker til at beregne dem:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Vi kan kontrollere resultatet med TINA ved blot at tænde for TINA's DC interaktive tilstand eller bruge Analyse / DC Analyse / Nodale spændinger
NODE POTENTIAL METHOD
en English
en Englishde Germanfr Frenches Spanishpt Portugueseru Russianzh-CN Chinese (Simplified)zh-TW Chinese (Traditional)ja Japaneseko Koreanhu Hungarian