MESH OG LOOP CURRENT METHODS

Klik eller tryk på Eksempel kretserne nedenfor for at påkalde TINACloud og vælg den interaktive DC-tilstand for at analysere dem online.
Få en billig adgang til TINACloud for at redigere eksemplerne eller oprette dine egne kredsløb

En anden måde at forenkle det komplette sæt Kirchhoffs ligninger på er mesh- eller loop-strømmetoden. Ved hjælp af denne metode tilfredsstilles Kirchhoffs nuværende lov automatisk, og løkke ligningerne, som vi skriver, tilfredsstiller også Kirchhoffs spændingslov. At tilfredsstille Kirchhoffs nuværende lov opnås ved at tildele lukkede strømsløjfer kaldet mesh- eller loopstrømme til hver uafhængig sløjfe i kredsløbet og bruge disse strømme til at udtrykke alle de andre mængder af kredsløbet. Da loopstrømmene er lukket, skal strømmen, der strømmer ind i en knude, også strømme ud af knuden; så at skrive node ligninger med disse strømme fører til identitet.

Lad os først overveje metoden til maskestrømme.

Vi bemærker først, at mesh-nuværende metode kun gælder for "plane" kredsløb. Plane kredsløb har ingen krydsende ledninger, når de tegnes i et fly. Ofte kan du ved at tegne et kredsløb, der ser ud til at være ikke-plan, bestemme, at det faktisk er plant. For ikke-plane kredsløb skal du bruge loop nuværende metode beskrevet senere i dette kapitel.

For at forklare ideen om maskestrømme, forestil dig kredsløbets grene som "fiskenet" og tildel en maskestrøm til hvert net af nettet. (Nogle gange siges det også, at der tildeles en lukket strømsløjfe i hvert “vindue” i kredsløbet.)

Skematisk diagram "Fiskenet" eller grafen af ​​kredsløbet

Teknikken til at repræsentere kredsløbet ved en simpel tegning, kaldet a graf, er ret magtfuld. Siden Kirchhoffs love afhænger ikke af komponenternes art, du kan se bort fra de konkrete komponenter og erstatte dem enkle linjesegmenter, kaldet grene af grafen. Ved at repræsentere kredsløb ved hjælp af grafer kan vi bruge matematiske teknikker grafteori. Dette hjælper os med at udforske den topologiske karakter af et kredsløb og bestemme de uafhængige sløjfer. Kom tilbage senere til dette websted for at læse mere om dette emne.

Trinnene i mesh strømanalyse:

1. Tildel en maskestrøm til hvert net. Selvom retningen er vilkårlig, er det sædvanligt at bruge retningen med uret.
   

2. Anvend Kirchhoffs spændingslovgivning (KVL) omkring hvert maske i samme retning som maskestrømmene. Hvis en modstand har to eller flere maskestrømme gennem sig, beregnes den samlede strøm gennem modstanden som den algebraiske sum af maskestrømmene. Med andre ord, hvis en strøm, der strømmer gennem modstanden, har den samme retning som maskestrømmen på løkken, har den et positivt tegn, ellers et negativt tegn i summen. Der tages hensyn til spændingskilder som sædvanligt. Hvis deres retning er den samme som maskestrømmen, tages deres spænding til at være positiv, ellers negativ, i KVL-ligningerne. For strømkilder strømmer normalt kun en maskestrøm gennem kilden, og denne strøm har den samme retning som strømkilden. Hvis dette ikke er tilfældet, skal du bruge den mere generelle loop nuværende metode, der er beskrevet senere i dette afsnit. Det er ikke nødvendigt at skrive KVL-ligninger for sløjfer, der indeholder maskestrømme, der er tildelt til aktuelle kilder.
   

3. Løs de resulterende sløjfeækninger for maskestrømmene.
   

4. Bestem den ønskede strøm eller spænding i kredsløbet ved hjælp af maskestrømmene.

Lad os illustrere metoden ved følgende eksempel:

Find den aktuelle I i kredsløbet nedenfor.

Vi ser, at der er to masker (eller et venstre og højre vindue) i dette kredsløb. Lad os tildele med uret netstrømme J₁ og J₂ til maskerne. Derefter skriver vi KVL-ligningerne og udtrykker spændingerne over modstanderne ved Ohms lov:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Numerisk:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Express J₁ fra den første ligning: J₁ = og derefter erstatte den anden ligning: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

gang med 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 dermed J₂ =

og J₁ =

Endelig den krævede strøm:

Lad os se resultaterne med TINA:

Lad os derefter løse det forrige eksempel igen, men med det mere generelle metode til loopstrømme. Ved hjælp af denne metode løber den lukkede strøm, kaldet loopstrømme, er ikke nødvendigvis tildelt til netværkene i kredsløbet, men til vilkårlige uafhængige sløjfer. Du kan sikre, at sløjferne er uafhængige ved at have mindst en komponent i hver sløjfe, der ikke er indeholdt i nogen anden sløjfe. For plane kredsløb er antallet af uafhængige sløjfer det samme som antallet af masker, hvilket er let at se.

En mere præcis måde at bestemme antallet af uafhængige sløjfer er som følger.

Givet et kredsløb med b grene og N noder. Antallet af uafhængige sløjfer l er:

l = b - N + 1

Dette følger af, at antallet af uafhængige Kirchhoffs ligninger skal være lig med grenene i kredsløbet, og vi ved allerede, at der kun er der N-1 uafhængige nodeforligninger. Derfor er det samlede antal af Kirchhoffs ligninger

b = N-1 + l og dermed l = b - N + 1

Denne ligning følger også af den grundlæggende teorem for grafteori, som vil blive beskrevet senere på dette sted.

Lad os nu løse det forrige eksempel igen, men mere simpelt ved hjælp af loop-nuværende metode. Med denne metode er vi frie til at bruge løkker i masker eller andre sløjfer, men lad os holde løkken med J₁ i det venstre net af kredsløbet. For den anden sløjfe vælger vi imidlertid sløjfen med J_2, som vist på figuren nedenfor. Fordelen ved dette valg er, at J₁ vil være lig med den ønskede strøm I, da det er den eneste sløjfestrøm, der passerer gennem R1. Dette betyder, at vi ikke behøver at beregne J2 overhovedet. Bemærk, at i modsætning til "reelle" strømme, afhænger den fysiske betydning af loopstrømme af, hvordan vi tildeler dem til kredsløbet.

KVL ligningerne:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

og den krævede strøm: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Udtryk J2 fra den anden ligning:

Erstatter i den første ligning:

Derfor: J1 = I = 1 A

Yderligere eksempler.

Eksempel 1

Find den aktuelle I i kredsløbet nedenfor.

Bemærk, at retningen for denne loopstrøm er ikke med uret, da dens retning bestemmes af den aktuelle kilde. Da denne loopstrøm allerede er kendt, er der imidlertid ikke behov for at skrive KVL-ligningen for loopen hvor I_S1 er taget.

Derfor er den eneste ligning, der skal løses:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Jeg - jeg_S1) = 0

dermed

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Numerisk

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Du kan også generere dette resultat, der kalder TINAs symbolanalyse fra menuen Analyse / symbolisk analyse / DC-resultat:

Eller du kan løse KVL-ligningen af ​​tolken:

Følgende eksempel har 3 aktuelle kilder og er meget let at løse ved hjælp af loopstrømmen.

Eksempel 2

Find spændingen V.

I dette eksempel kan vi vælge tre loopstrømme, så hver kun passerer gennem en strømkilde. Derfor er alle de tre loopstrømme kendte, og vi behøver kun at udtrykke den ukendte spænding V ved hjælp af dem.

Gør den algebraiske sum af strømmen gennem R₃:

V = (I_S3 - Jeg_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Du kan bekræfte dette med TINA :.

Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows

Lad os derefter igen tackle et problem, som vi allerede har løst i Kirchhoffs love , Node potentiel metode kapitler.

Eksempel 3

Find spændingen V af modstanden R₄.

Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Dette problem krævede mindst 4 ligninger for at løse i de foregående kapitler.

Løsning af dette problem med metoden til loopstrømme, vi har fire uafhængige sløjfer, men med det rigtige valg af loopstrømme, vil en af ​​loopstrømmene være lig med kildestrømmen Is.

Baseret på sløjfestrømmene vist i figuren ovenfor er sløjfeekvationerne:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - I_S*R₆ -JEG₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Jeg₃* (R₁+R₂) - I_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - I₄* (R₅ + R₆) - Jeg₂* (R₁ + R₂) = 0

Den ukendte spænding V kan udtrykkes ved loopstrømme:

V = R₄ * (I₂ + I₃)

Numerisk:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

Vi kan bruge Cramer's regel til at løse dette system af ligninger:

I₄ = D₃/D

hvor D er afgørende for systemet. D_4, determinant for jeg_4, dannes ved at erstatte højre side af systemet placeres med kolonnen I₄koefficienter.

Systemet af ligninger i bestilt form:

- 60 * I₃ + 135 * Jeg₄= -20

150 * Jeg₂-150 * Jeg₃ = - 50

-150 * Jeg₂+ 360 * Jeg₃ - 60 * I₄= - 180

Så determinanten D:

Løsningen af ​​dette system af ligninger er:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

Du kan bekræfte svaret via det resultat, der er beregnet af TINA.

Klik / tryk på kredsløbet ovenfor for at analysere on-line eller klik på dette link til Gem under Windows

I dette eksempel er hver ukendt loopstrøm en grenstrøm (I1, I3 og I4); så det er let at kontrollere resultatet ved at sammenligne med DC-analyseresultaterne for TINA.