PRINCIPPER FOR ALTERNATIVE CURRENT

Klik eller tryk på Eksempel kretserne nedenfor for at påkalde TINACloud og vælg den interaktive DC-tilstand for at analysere dem online.
Få en billig adgang til TINACloud for at redigere eksemplerne eller oprette dine egne kredsløb

En sinusformet spænding kan beskrives ved ligningen:

v (t) = V_M synd (ωt + Φ) eller v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Her er et par eksempler til at illustrere betingelserne ovenfor.

Egenskaberne for 220 V AC spændingen i husholdningsstikkontakter i Europa:

Effektiv værdi: V_Eff = 220 V
Peak værdi: V_M= √2 * 220 V = 311 V.

Frekvens: f = 50 1 / s = 50 Hz
Vinkelfrekvens: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Periode: T = 1 / f = 20 ms
Tidsfunktion: v (t) = 311 sin (314 t)

Lad os se tidsfunktionen ved hjælp af TINAs analyse / veksel analyse / tidsfunktion kommando.

Egenskaberne af 120 V AC spændingen i stikkontakten i USA:

Effektiv værdi: V_Eff = 120 V
Peak værdi: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvens: f = 60 1 / s = 60 Hz
Vinkelfrekvens: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Periode: T = 1 / f = 16.7 ms
Tidsfunktion: v (t) = 170 sin (377 t)

Bemærk at i dette tilfælde kan tidsfunktionen enten gives som v (t) = 311 sin (314 t + Φ) eller v (t) = 311 cos (314 t + Φ), da i tilfælde af udgangsspændingen vi kender ikke den indledende fase.

Den indledende fase spiller en vigtig rolle, når flere spændinger er til stede samtidigt. Et godt praktisk eksempel er trefaset systemet, hvor der findes tre spændinger af samme toppværdi, form og frekvens, der hver har en 120 ° faseforskydning i forhold til de andre. I et 60 Hz-netværk er tidsfunktionerne:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Følgende figur lavet med TINA viser kredsløbet med disse tidsfunktioner som TINAs spændingsgeneratorer.

Spændingsforskellen v_AB= v_A(t) - v_B(t) vises som løst af TINAs analyse / AC analyse / Time Function kommando.

Bemærk at toppen af ​​v_AB (t) er ca. 294 V, større end 170 V-tingene af v_A(t) eller v_B(t) spændinger, men ikke blot summen af ​​deres spidser. Dette skyldes faseforskellen. Vi vil diskutere hvordan man beregner den resulterende spænding (som er Ö3 * 170 @ 294 i dette tilfælde) senere i dette kapitel og også i det separate Trefasede systemer kapitel.

Karakteristiske værdier af sinusformede signaler

Selv om et vekselstrømssignal konstant varierer i løbet af sin periode, er det let at definere nogle karakteristiske værdier for at sammenligne en bølge med en anden: Disse er peak, gennemsnit og root-mean-square (rms) værdier.

Vi har allerede nået topværdien V_M , som simpelthen er den maksimale værdi af tidsfunktionen, sinusformede bølge amplitude.

Nogle gange bruges peak-to-peak (pp) -værdien. For sinusformede spændinger og strømme er topp-til-topp-værdien dobbelt toppunktværdien.

gennemsnits værdi af sinusbølgen er det aritmetiske gennemsnit af værdierne for den positive halvcyklus. Det kaldes også absolut gennemsnit da det er det samme som gennemsnittet af den absolutte værdi af bølgeformen. I praksis møder vi denne bølgeform af ensrettende sinusbølgen med et kredsløb kaldet en fuld bølge ensretter.

Det kan påvises, at det absolutte gennemsnit af en sinusformet bølge er:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Bemærk at gennemsnittet af en hel cyklus er nul.
Den rms eller effektive værdi af en sinusformet spænding eller strøm svarer til den ækvivalente DC-værdi, der producerer den samme varmeffekt. For eksempel producerer en spænding med en effektiv værdi af 120 V den samme varme- og belysningsstyrke i en pære, som 120 V fra en DC-spændingskilde. Det kan påvises, at rms eller effektiv værdi af en sinusformet bølge er:

V_rms = V_M / √2 ≅ 0.707 V_M

Disse værdier kan beregnes på samme måde for både spændinger og strømme.

RMS-værdien er meget vigtig i praksis. Medmindre andet er angivet, angives strømforsyningsspenninger (f.eks. 110V eller 220V) i rms-værdier. De fleste AC-målere er kalibreret i rms og angiver rms niveau.

Eksempel 1 Find topværdien af ​​sinusformet spænding i et elektrisk netværk med 220 V rms-værdi.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Eksempel 2 Find topværdien af ​​sinusformet spænding i et elektrisk netværk med 110 V rms-værdi.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Eksempel 3 Find (absolut) gennemsnittet af sinusformet spænding, hvis dets rms-værdi er 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Eksempel 4 Find det absolutte gennemsnit af den sinusformede spænding, hvis dens rms-værdi er 110 V.

Spidsen af ​​spændingen fra eksempel 2 er155.58 V og dermed:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Eksempel 5 Find forholdet mellem det absolutte gennemsnit (V_a) og rms (V) værdier for sinusformet bølgeform.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Bemærk, at du ikke kan tilføje gennemsnitsværdier i et AC-kredsløb, fordi det fører til forkerte resultater.

viserne

Som vi allerede har set i det foregående afsnit, er det ofte nødvendigt i AC-kredsløb at tilføje sinusformede spændinger og strømme af samme frekvens. Skønt det er muligt at tilføje signalerne numerisk ved hjælp af TINA eller ved at anvende trigonometriske relationer, er det mere hensigtsmæssigt at anvende den såkaldte fasor metode. En fasor er et komplekst tal, som repræsenterer amplitude og fase af et sinusformet signal. Det er vigtigt at bemærke, at fasoren ikke repræsenterer frekvensen, som skal være den samme for alle fasorer.

En fasor kan håndteres som et komplekst tal eller repræsenteres grafisk som en plan pil i det komplekse plan. Den grafiske repræsentation kaldes et fasordiagram. Ved hjælp af fasordiagrammer kan du tilføje eller subtrahere fasorer i et komplekst plan ved hjælp af trekanten eller parallelogramreglen.

Der er to former for komplekse tal: rektangulære , polære.

Den rektangulære repræsentation er i forma + jb, hvor j = Ö-1 er den imaginære enhed.

Den polære repræsentation er i form Ae^{j j} , hvor A er den absolutte værdi (amplitude) og f er fasens vinkel fra den positive reelle akse, mod uret.

Vi vil bruge pin bogstaver for komplekse mængder.

Lad os nu se, hvordan man kan udlede den tilsvarende fasor fra en tidsfunktion.

For det første antager, at alle spændinger i kredsløbet udtrykkes i form af cosinusfunktioner. (Alle spændinger kan konverteres til den formular.) Derefter fasor svarende til spændingen af ​​v (t) = V_M cos ( w t+f) er: V_M = V_Me ^jf , som også kaldes den komplekse topværdi.

For eksempel overveje spændingen: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Den tilsvarende fasor er: V

Vi kan beregne tidsfunktionen fra en fasor på samme måde. Først skriver vi fasoren i polarform f.eks V_M = V_Me ^jr og så er den tilsvarende tidsfunktion

v (t) = V_M (cos (wt+r).

For eksempel overveje fasoren V_M = 10 - j20 V

Bring det til polar form:

Og dermed er tidsfunktionen: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Fasorer anvendes ofte til at definere den komplekse effektive eller rms-værdi af spændinger og strømme i vekselstrømskredsløb. Givet v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numerisk:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Den komplekse effektive (rms) værdi: V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = 7.07 e^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

Omvendt: Hvis den komplekse effektive værdi af en spænding er:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

så den komplekse topværdi:

og tidsfunktionen: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

En kort begrundelse for ovennævnte teknikker er som følger. Givet en tidsfunktion
V_M (cos ( w t+r), lad os definere komplekse tidsfunktion som:

v (t) = V_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt = V_M (cos (r) + j synd(r)) E ^jwt

hvor V_M =V_M e ^{j r t} = V_M (cos (r) + j synd(r)) er blot faseren introduceret ovenfor.

For eksempel er den komplekse tidsfunktion af v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = 10 e ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j synd (30)) = e ^jwt (8.66 +j5)

Ved at indføre den komplekse tidsfunktion har vi en repræsentation med både en reel del og en imaginær del. Vi kan altid genoprette den oprindelige reelle funktion af tid ved at tage den reelle del af vores resultat: v (t) = Re {v(T)}

Den komplekse tidsfunktion har imidlertid den store fordel, at da alle de komplekse tidsfunktioner i de pågældende vekselstrømskredsløb har den samme e^jwt multiplikator, kan vi faktor dette ud og bare arbejde med faserne. Desuden bruger vi i praksis ikke e^jwt del overhovedet - bare transformationerne fra tidsfunktionerne til faserne og tilbage.

For at vise fordelene ved at bruge fasorer, lad os se følgende eksempel.

Eksempel 6 Find summen og forskellen mellem spændingerne:

v₁ = 100 cos (314 * t) , v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Først skriv faserne af begge spændinger:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Derfor:

V_tilføje = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63°}

V_nedenfor = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 og ^{j 28.67°}

og så fungerer tiden:

v_tilføje(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_nedenfor(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Som dette enkle eksempel viser, er metoden til phasors.is et ekstremt kraftfuldt værktøj til løsning af AC-problemer.

Lad os løse problemet ved hjælp af værktøjerne i TINAs tolk.

Amplituden og fase resultaterne bekræfter håndberegningerne.

Nu kan vi tjekke resultatet ved hjælp af TINAs AC-analyse.

Før vi udfører analysen, lad os sørge for at Basis funktion for AC Jeg sætter mig til cosinus i Redigeringsindstillinger dialogboksen i menuen Vis / Valg. Vi vil forklare rollen for denne parameter på Eksempel 8.

Kredsløbene og resultaterne:

Eksempel 7 Find summen og forskellen mellem spændingerne:

v₁ = 100 sin (314 * t) og v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Dette eksempel giver et nyt spørgsmål. Hidtil har vi krævet, at alle tidsfunktioner gives som cosinusfunktioner. Hvad skal vi gøre med en tidsfunktion givet som sinus? Løsningen er at omdanne sinusfunktionen til en cosinusfunktion. Ved hjælp af den trigonometriske relation synd (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), kan vores eksempel omformuleres som følger:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) , v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Nu er faserne af spændingerne:

V_1M = 100 e ^{- j 90°} = -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Derfor:

V _tilføje = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _nedenfor = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

og så fungerer tiden:

v_tilføje(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_nedenfor(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Lad os løse problemet ved hjælp af værktøjerne i TINAs tolk.

Lad os kontrollere resultatet med TINA's AC Analysis

Eksempel 8

v₁ = 100 sin (314 * t) , v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Dette eksempel bringer endnu et problem op. Hvad hvis alle spændinger er givet som sinusbølger, og vi ønsker også at se resultatet som en sinusbølge ?. Vi kunne selvfølgelig konvertere begge spændinger til cosinusfunktioner, beregne svaret og end konvertere resultatet tilbage til en sinusfunktion - men det er ikke nødvendigt. Vi kan skabe faser fra sinusbølgerne på samme måde som vi gjorde fra cosinusbølger og derefter blot bruge deres amplitude og faser som amplitude og fase af sinusbølger i resultatet.

Dette vil naturligvis give det samme resultat som at transformere sinusbølgerne til cosinusbølger. Som vi kunne se i det foregående eksempel svarer dette til at multiplicere med -j og derefter bruge cos (x) = sin (x-xnumx°) for at omdanne det tilbage til en sinusbølge. Dette svarer til at gange med j. Med andre ord, siden -j × j = 1, vi kunne bruge faserne afledt direkte fra amplituderne og faserne af sinusbølger til at repræsentere funktionen og derefter vende tilbage til dem direkte. Også ræsonnement på samme måde om de komplekse tidsfunktioner kunne vi overveje sine bølger, da de imaginære dele af den komplekse tid fungerer og supplerer dem med cosinusfunktionen for at skabe den fulde komplekse tidsfunktion.

Lad os se løsningen på dette eksempel ved hjælp af sinusfunktionerne som basis for faserne (transformerende sin ( w t) til den reelle enhedsfasor (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Derfor:

V _tilføje = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _nedenfor = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Bemærk, at fasorerne er nøjagtigt de samme som i eksempel 6, men ikke tidsfunktionerne:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Som du kan se, er det meget let at opnå resultatet ved hjælp af sinusfunktioner, især når vores oprindelige data er sinusbølger. Mange lærebøger foretrækker at bruge sinusbølgen som basefunktion for fasorer. I praksis kan du bruge begge metoder, men ikke forveksle dem.

Når du opretter faserne, er det meget vigtigt, at alle tidsfunktioner først konverteres til sinus eller cosinus. Hvis du startede fra sinusfunktioner, skal dine løsninger være repræsenteret med sine funktioner, når de vender tilbage fra fasorer til tidsfunktioner. Det samme gælder, hvis du starter med cosinusfunktioner.

Lad os løse det samme problem ved hjælp af TINAs interaktive tilstand. Da vi vil bruge sine funktioner som basis for at skabe faserne, skal du sørge for at Basis funktion for AC er sat til deres i Redigeringsindstillinger dialogboksen fra menuen Vis / Option.

og tidsfunktionerne:

 

English

English German French Spanish Portuguese Russian Chinese (Simplified) Chinese (Traditional) Japanese Korean Hungarian