KIRCHHOFFS GESETZE

Klicken Sie auf oder tippen Sie auf die Beispielschaltkreise, um TINACloud aufzurufen und den interaktiven Gleichstrommodus auszuwählen, um sie online zu analysieren.
Erhalten Sie einen kostengünstigen Zugang zu TINACloud, um die Beispiele zu bearbeiten oder eigene Schaltungen zu erstellen

Viele Schaltungen sind zu komplex, um mit den Regeln für Serien- oder Parallelschaltungen oder den in den vorherigen Kapiteln beschriebenen Techniken zur Umwandlung in einfachere Schaltungen gelöst zu werden. Für diese Schaltungen benötigen wir allgemeinere Lösungsmethoden. Die allgemeinste Methode sind die Kirchhoffschen Gesetze, die die Berechnung aller Schaltungsspannungen und -ströme von Schaltungen durch eine Lösung eines linearen Gleichungssystems ermöglichen.

Es gibt zwei Kirchhoffsche Gesetze, das Spannungsgesetz Und die aktuelle Gesetz. Diese beiden Gesetze können verwendet werden, um alle Spannungen und Ströme von Schaltkreisen zu bestimmen.

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) besagt, dass die algebraische Summe der Spannung ansteigt und die Spannung um eine Schleife abfällt.

Eine Schleife in der obigen Definition bedeutet einen geschlossenen Pfad in der Schaltung; Dies ist ein Pfad, der einen Knoten in einer Richtung verlässt und aus einer anderen Richtung zu demselben Knoten zurückkehrt.

In unseren Beispielen verwenden wir für Schleifen die Richtung im Uhrzeigersinn. Die gleichen Ergebnisse werden jedoch erhalten, wenn die Richtung gegen den Uhrzeigersinn verwendet wird.

Um KVL fehlerfrei anwenden zu können, müssen wir die sogenannte Referenzrichtung definieren. Die Referenzrichtung der unbekannten Spannungen zeigt vom + zum - Vorzeichen der angenommenen Spannungen. Stellen Sie sich vor, Sie verwenden ein Voltmeter. Sie würden die positive Sonde des Voltmeters (normalerweise rot) an der Referenz + Klemme der Komponente platzieren. Wenn die reale Spannung positiv ist, geht sie in die gleiche Richtung wie angenommen, und sowohl unsere Lösung als auch das Voltmeter zeigen einen positiven Wert an.

Wenn wir die algebraische Summe der Spannungen ableiten, müssen wir den Spannungen ein Pluszeichen zuweisen, bei denen die Referenzrichtung mit der Richtung der Schleife übereinstimmt, und im entgegengesetzten Fall negative Vorzeichen.

Eine andere Möglichkeit, das Spannungsgesetz von Kirchhoff anzugeben, ist: Die angelegte Spannung einer Reihenschaltung entspricht der Summe der Spannungsabfälle an den Reihenelementen.

Das folgende kurze Beispiel zeigt die Verwendung des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes.

Finden Sie die Spannung am Widerstand R.2, vorausgesetzt, dass die Quellenspannung, VS = 100 V und dass die Spannung am Widerstand R.1 ist V1 = 40 V.

Die folgende Abbildung kann mit TINA Pro Version 6 und höher erstellt werden, in der Zeichenwerkzeuge im Schaltplaneditor verfügbar sind.


Die Lösung nach Kirchhoffs Spannungsgesetz: -VS + V1 + V2 = 0 oder V.S = V1 + V2

daher: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V

Beachten Sie, dass wir normalerweise die Spannungen der Widerstände nicht kennen (es sei denn, wir messen sie) und dass wir beide Kirchhoffschen Gesetze für die Lösung verwenden müssen.

Das aktuelle Gesetz von Kirchhoff (KCL) besagt, dass die algebraische Summe aller Ströme, die in einen Knoten in einer Schaltung eintreten und diesen verlassen, Null ist.

Im Folgenden geben wir Strömen, die einen Knoten verlassen, ein + -Zeichen und Strömen, die in einen Knoten eintreten, ein Vorzeichen.

Hier ist ein grundlegendes Beispiel, das Kirchhoffs aktuelles Gesetz demonstriert.


Finde das aktuelle I2 wenn der Quellstrom IS = 12 A, und ich1 = 8 A.


Mit dem aktuellen Gesetz von Kirchhoff am eingekreisten Knoten: -IS + I1 + I2 = 0, daher: I2= IchS - Ich1 = 12 - 8 = 4 A, wie Sie mit TINA überprüfen können (nächste Abbildung).

Im nächsten Beispiel werden wir sowohl die Kirchhoffschen Gesetze als auch das Ohmsche Gesetz verwenden, um den Strom und die Spannung über den Widerständen zu berechnen.

In der folgenden Abbildung sehen Sie die Spannungspfeil über Widerständen. Dies ist eine neue Komponente, die in verfügbar ist Version 6 von TINA und funktioniert wie ein Voltmeter. Wenn Sie es über eine Komponente anschließen, bestimmt der Pfeil die Referenzrichtung (im Vergleich zu einem Voltmeter stellen Sie sich vor, Sie platzieren die rote Sonde am Ende des Pfeils und die schwarze Sonde an der Spitze). Wenn Sie eine Gleichstromanalyse durchführen, wird die tatsächliche Spannung an der Komponente auf dem Pfeil angezeigt.


Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern


Um das aktuelle Gesetz von Kirchhoff zu verwenden, sehen wir, dass die Ströme durch alle Komponenten gleich sind. Bezeichnen wir diesen Strom also mit I.

Nach Kirchhoffs Spannungsgesetz: VS = V1+V2+V3

Verwenden Sie nun das Ohmsche Gesetz: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3

Und von hier aus der Strom der Schaltung:

I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Schließlich die Spannungen der Widerstände:

V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V

Die gleichen Ergebnisse werden auf den Spannungspfeilen angezeigt, wenn einfach die interaktive DC-Analyse von TINA ausgeführt wird.


In dieser nächsten, komplexeren Schaltung verwenden wir sowohl die Kirchhoffschen Gesetze als auch das Ohmsche Gesetz, aber wir finden, dass wir am besten ein lineares Gleichungssystem lösen.

Die Gesamtzahl der unabhängigen Anwendungen der Kirchhoffschen Gesetze in einem Stromkreis entspricht der Anzahl der Stromkreiszweige, während die Gesamtzahl der Unbekannten (Strom und Spannung jedes Zweigs) doppelt so hoch ist. Indem jedoch auch das Ohmsche Gesetz an jedem Widerstand und verwendet wird Durch die einfachen Gleichungen, die die angelegten Spannungen und Ströme definieren, erhalten wir ein Gleichungssystem, bei dem die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der Gleichungen entspricht.

Finden Sie die Zweigströme I1, I2, I3 in der Schaltung unten.


Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern


Der Satz von Gleichungen folgt:

Die Knotengleichung für den eingekreisten Knoten:

- I1 - I2 - Ich3 = 0

oder mit -1 multiplizieren

I1 + I2 + I3 = 0

Die Schleifengleichungen (im Uhrzeigersinn) für die Schleife L1, die V enthält1, R1 und R3

-V1+I1*R1-I3*R3 = 0

und für die Schleife L2, die V enthält2, R2 und R3

I3*R3 - Ich2*R2 +V2 = 0

Ersetzen der Komponentenwerte:

I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 –20 * I2 + 16 = 0

Drücke ich aus1 unter Verwendung der Knotengleichung: I1 = -I2 - Ich3

dann ersetze es in die zweite Gleichung:

-V1 - (ICH2 + I3) * R1 -ICH3*R3 = 0 or –8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0

Drücke ich aus2 und setzen Sie es in die dritte Gleichung ein, aus der Sie I bereits berechnen können3:

I2 = - (V.1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40

I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I.)3* 80) / 40 + 16 = 0

Und: I3 = - (V.2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Deshalb I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A und I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A.

Oder: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.

Lösen wir nun die gleichen Gleichungen mit dem TINA-Interpreter:

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]
#Lösung von Python
Importiere Numpy als NP, Sympy als S
#Wir haben ein lineares System von
#Gleichungen, die wir lösen wollen:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
drucken(sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Lassen Sie uns zum Schluss das überprüfen Ergebnisse mit TINA:


Als nächstes analysieren wir die folgende noch komplexere Schaltung und bestimmen ihre Zweigströme und -spannungen.


Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern


Bezeichnen wir die unbekannten Spannungen und Ströme durch Hinzufügen von Spannungs- und Strompfeilen zu Komponenten und zeigen wir auch die Schleifen (L1, L2, L3) und die Knoten (N1, N2), an denen wir die Kirchhoff-Gleichungen verwenden werden.


Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern


Hier ist der Satz von Kirchhoff-Gleichungen für die Schleifen (im Uhrzeigersinn) und die Knoten.

-IL + IR1 - Ichs = 0 (für N1)

- IchR1 + IR2 + Is3 = 0 (für N2)

-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (für L1)

-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (für L2)

-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (für L3)

Anwendung des Ohmschen Gesetzes:

VL = IchL*RL

VR1 =IR1*R1

VR2 = IchR2*R2

VR3 = - ichL*R3

Dies sind 9 Unbekannte und 9 Gleichungen. Der einfachste Weg, dies zu lösen, ist die Verwendung von TINAs

Dolmetscher. Wenn wir jedoch gezwungen sind, Handberechnungen zu verwenden, stellen wir fest, dass dieser Satz von Gleichungen leicht auf ein System von 5 Unbekannten reduziert werden kann, indem die letzten 4 Gleichungen in die Schleifengleichungen L1, L2, L3 eingesetzt werden. Auch durch Hinzufügen der Gleichungen (L1) und (L2) können wir V beseitigenIs , reduziert das Problem auf ein System von 4 - Gleichungen für 4 - Unbekannte (IL, IR1 IR2, Is3). Wenn wir diese Ströme gefunden haben, können wir leicht V bestimmenL, VR1, VR2, und VR3 unter Verwendung der letzten vier Gleichungen (Ohm'sches Gesetz).

Ersetzen von V.L ,VR1,VR2 ,VR3 :

-IL + IR1 - Ichs = 0 (für N1)

- IchR1 + IR2 + Is3 = 0 (für N2)

-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (für L1)

-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (Für L2)

- IchR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (für L3)

Wenn wir (L1) und (L2) hinzufügen, erhalten wir

-IL + IR1 - Ichs = 0 (für N1)

- IchR1 + IR2 + Is3 = 0 (für N2)

-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)

- IchR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (für L3)

Nach dem Ersetzen der Komponentenwerte ist die Lösung dieser Gleichungen leicht zu finden.

-IL+IR1 - 2 = 0 (für N1)

-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (für N2)

-120 - + I.L* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L.1) + (L.2)

-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (für L3)

von L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

von N2 IS3 - IchR1 = - 5.25 (II)

von L1+L2 110 IL + 30 IR1 = -150 (III)

und für N1 IR1 - IchL = 2 (IV)

Multipliziere (IV) mit –30 und addiere zu (III) 140 IL = -210 daher IL = - 1.5 A.

Stell ich einL in (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

und ichR1 in (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A

Und die Spannungen: VR1 = IchR1*R1 = 15 V; VR2 = IchR2*R2 = 210 V;

VR3 = - ichL*R3= 135 V; VL = IchL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V

{Lösung der ursprünglichen Gleichungen durch den TINA-Interpreter}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]
#Lösung von Python
#Ax=b
Importiere Numpy als NP, Sympy als S
#Symbolische Lösung mit numpy.solve
#Gleichungen:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Lösen für:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
drucken(sol)

#Eine weitere Lösungsmethode mit numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1]
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Lösung des reduzierten Gleichungssystems mit dem Interpreter:

{Lösung des reduzierten Gleichungssystems durch den TINA-Interpreter}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Wir können auch Ausdrücke für die Spannungen eingeben und vom TINA-Interpreter berechnen lassen:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Wir können das Ergebnis mit TINA überprüfen, indem wir einfach den interaktiven DC-Modus von TINA einschalten oder Analyse / DC-Analyse / Knotenspannungen verwenden