MESH- UND LOOP-STROM-METHODEN

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Eine andere Möglichkeit, den vollständigen Satz von Kirchhoff-Gleichungen zu vereinfachen, ist die Netz- oder Schleifenstrommethode. Mit dieser Methode wird das aktuelle Gesetz von Kirchhoff automatisch erfüllt, und die von uns geschriebenen Schleifengleichungen erfüllen auch das Spannungsgesetz von Kirchhoff. Die Erfüllung des Kirchhoffschen Stromgesetzes wird erreicht, indem jeder unabhängigen Schleife der Schaltung geschlossene Stromschleifen zugewiesen werden, die als Maschen- oder Schleifenströme bezeichnet werden, und diese Ströme verwendet werden, um alle anderen Größen der Schaltung auszudrücken. Da die Schleifenströme geschlossen sind, muss der Strom, der in einen Knoten fließt, auch aus dem Knoten herausfließen. Das Schreiben von Knotengleichungen mit diesen Strömen führt also zur Identität.

Betrachten wir zunächst die Methode der Maschenströme.

Wir stellen zunächst fest, dass die Netzstrommethode nur für "planare" Schaltungen anwendbar ist. Planare Schaltkreise haben keine sich kreuzenden Drähte, wenn sie in einer Ebene gezeichnet werden. Wenn Sie eine Schaltung neu zeichnen, die nicht planar zu sein scheint, können Sie häufig feststellen, dass sie tatsächlich planar ist. Verwenden Sie für nicht planare Schaltungen die Schleifenstrommethode später in diesem Kapitel beschrieben.

Um die Idee der Maschenströme zu erklären, stellen Sie sich die Zweige der Schaltung als „Fischernetz“ vor und weisen Sie jedem Maschennetz einen Maschenstrom zu. (Manchmal wird auch gesagt, dass in jedem „Fenster“ der Schaltung eine geschlossene Stromschleife zugewiesen ist.)

Das schematische Diagramm Das "Fischernetz" oder die Grafik der Rennstrecke

Die Technik der Darstellung der Schaltung durch eine einfache Zeichnung, genannt a Graphist ziemlich mächtig. Schon seit Kirchhoffs Gesetze hängen nicht von der Art der Komponenten ab. Sie können die konkreten Komponenten ignorieren und sie durch einfache Liniensegmente ersetzen, die als Geäst des Graphen. Die Darstellung von Schaltkreisen durch Graphen ermöglicht es uns, die Techniken der Mathematik anzuwenden Graphentheorie. Dies hilft uns, die topologische Natur einer Schaltung zu untersuchen und die unabhängigen Schleifen zu bestimmen. Kommen Sie später auf diese Seite zurück, um mehr über dieses Thema zu erfahren.

Die Schritte der Netzstromanalyse:

1. Weisen Sie jedem Netz einen Netzstrom zu. Obwohl die Richtung beliebig ist, ist es üblich, die Richtung im Uhrzeigersinn zu verwenden.
   

2. Wenden Sie das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) um jedes Netz in der gleichen Richtung wie die Netzströme an. Wenn ein Widerstand zwei oder mehr Maschenströme aufweist, wird der Gesamtstrom durch den Widerstand als algebraische Summe der Maschenströme berechnet. Mit anderen Worten, wenn ein durch den Widerstand fließender Strom die gleiche Richtung wie der Maschenstrom der Schleife hat, hat er ein positives Vorzeichen, andernfalls ein negatives Vorzeichen in der Summe. Spannungsquellen werden wie gewohnt berücksichtigt. Wenn ihre Richtung mit dem Maschenstrom übereinstimmt, wird ihre Spannung in den KVL-Gleichungen als positiv oder ansonsten negativ angenommen. Normalerweise fließt bei Stromquellen nur ein Maschenstrom durch die Quelle, und dieser Strom hat die gleiche Richtung wie der Strom der Quelle. Ist dies nicht der Fall, verwenden Sie die allgemeinere Schleifenstrommethode, die später in diesem Absatz beschrieben wird. Es ist nicht erforderlich, KVL-Gleichungen für Schleifen zu schreiben, die Netzströme enthalten, die Stromquellen zugewiesen sind.
   

3. Lösen Sie die resultierenden Schleifengleichungen für die Maschenströme.
   

4. Bestimmen Sie den angeforderten Strom oder die angeforderte Spannung im Stromkreis anhand der Maschenströme.

Lasst uns illustrieren die Methode anhand des folgenden Beispiels:

Finden Sie den Strom I in der Schaltung unten.

Wir sehen, dass diese Schaltung zwei Maschen (oder ein linkes und ein rechtes Fenster) enthält. Weisen wir die Maschenströme J im Uhrzeigersinn zu₁ und J.₂ zu den Maschen. Dann schreiben wir die KVL-Gleichungen und drücken die Spannungen an den Widerständen nach dem Ohmschen Gesetz aus:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Numerisch:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J.₁* 2 + J₂* 14 = 0

Express J.₁ aus der ersten Gleichung: J₁ = und dann in die zweite Gleichung einsetzen: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

mit 17 multiplizieren: 102 - 24 + 4 * J.₂ + 238 * J.₂ = 0 daher J₂ =

und J.₁ =

Zum Schluss der benötigte Strom:

Lassen Sie uns die Ergebnisse mit TINA überprüfen:

Als nächstes lösen wir das vorherige Beispiel noch einmal, aber mit dem allgemeineren Methode der Schleifenströme. Mit dieser Methode werden die geschlossenen Stromschleifen aufgerufen Schleifenströme, sind nicht unbedingt den Maschen der Schaltung zugeordnet, sondern willkürlich unabhängige Schleifen. Sie können sicherstellen, dass die Schleifen unabhängig sind, indem Sie mindestens eine Komponente in jeder Schleife haben, die in keiner anderen Schleife enthalten ist. Bei planaren Schaltungen entspricht die Anzahl der unabhängigen Schleifen der Anzahl der Maschen, was leicht zu erkennen ist.

Eine genauere Methode zum Bestimmen der Anzahl unabhängiger Schleifen ist wie folgt.

Gegeben eine Schaltung mit b Niederlassungen und N Knoten. Die Anzahl der unabhängigen Schleifen l ist:

l = b - N + 1

Dies folgt aus der Tatsache, dass die Anzahl der unabhängigen Kirchhoff-Gleichungen gleich den Zweigen in der Schaltung sein muss, und wir wissen bereits, dass es nur gibt N-1 unabhängige Knotengleichungen. Daher ist die Gesamtzahl der Kirchhoffschen Gleichungen

b = N-1 + l und daher l = b - N + 1

Diese Gleichung folgt auch aus dem Grundsatz der Graphentheorie, der später an dieser Stelle beschrieben wird.

Lösen wir nun das vorherige Beispiel noch einmal, aber einfacher, indem wir die Schleifenstrommethode verwenden. Mit dieser Methode können wir Schleifen in Netzen oder anderen Schleifen verwenden, aber lassen Sie uns die Schleife mit J behalten₁ im linken Netz der Schaltung. Für die zweite Schleife wählen wir jedoch die Schleife mit J._2, wie in der Abbildung unten gezeigt. Der Vorteil dieser Wahl ist, dass J.₁ ist gleich dem angeforderten Strom I, da dies der einzige Schleifenstrom ist, der durch R1 fließt. Dies bedeutet, dass wir J2 nicht berechnen müssen überhaupt. Beachten Sie, dass im Gegensatz zu „realen“ Strömen die physikalische Bedeutung von Schleifenströmen davon abhängt, wie wir sie der Schaltung zuordnen.

Die KVL-Gleichungen:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

und der erforderliche Strom: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Drücken Sie J2 aus der zweiten Gleichung aus:

In die erste Gleichung einsetzen:

Daher: J1 = I = 1 A

Weitere Beispiele.

Beispiel 1

Finden Sie den Strom I in der Schaltung unten.

Beachten Sie, dass die Richtung dieses Schleifenstroms ist nicht im Uhrzeigersinn, da seine Richtung von der Stromquelle bestimmt wird. Da dieser Schleifenstrom jedoch bereits bekannt ist, besteht keine Notwendigkeit, die KVL-Gleichung für die Schleife zu schreiben, in der I_S1 ist genommen

Daher ist die einzige zu lösende Gleichung:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Ich - ich_S1) = 0

daher

Ich = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Numerisch

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Sie können dieses Ergebnis auch über das Menü Analyse / Symbolische Analyse / DC-Ergebnis generieren, indem Sie die symbolische Analyse von TINA aufrufen:

Oder Sie können die KVL-Gleichung durch den Interpreter lösen:

Das folgende Beispiel hat 3 Stromquellen und ist mit der Methode der Schleifenströme sehr einfach zu lösen.

Beispiel 2

Finden Sie die Spannung V.

In diesem Beispiel können wir drei Schleifenströme so auswählen, dass jeder nur eine Stromquelle durchläuft. Daher sind alle drei Schleifenströme bekannt, und wir müssen nur die unbekannte Spannung V verwenden, indem wir sie verwenden.

Erstellen der algebraischen Summe der Ströme durch R₃:

V = (I_S3 - Ich_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Sie können dies mit TINA überprüfen:.

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Als nächstes wollen wir noch einmal ein Problem angehen, das wir bereits in der EU gelöst haben Kirchhoffsche Gesetze und Knotenpotentialmethode Kapitel.

Beispiel 3

Finden Sie die Spannung V des Widerstands R₄.

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R₁ = R₃ = 100 Ohm, R₂ = R₄ = 50 Ohm, R₅ = 20 Ohm, R₆ = 40 Ohm, R₇ = 75 Ohm.

Für dieses Problem waren in den vorherigen Kapiteln mindestens 4 Gleichungen erforderlich.

Um dieses Problem mit der Methode der Schleifenströme zu lösen, haben wir vier unabhängige Schleifen, aber mit der richtigen Wahl der Schleifenströme ist einer der Schleifenströme gleich dem Quellstrom Is.

Basierend auf den in der obigen Abbildung gezeigten Schleifenströmen lauten die Schleifengleichungen:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - ICH_S*R₆ -ICH₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Ich₃* (R₁+R₂) - ICH_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + Ich_S* (R₂ +R₄ + R₆) - ICH₄* (R₅ + R₆) - Ich₂* (R₁ + R₂) = 0

Die unbekannte Spannung V kann durch die Schleifenströme ausgedrückt werden:

V = R₄ * (ICH₂ + I₃)

Numerisch:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

–100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I.₃)

Wir können die Cramer-Regel verwenden, um dieses Gleichungssystem zu lösen:

I₄ = D₃/D

wobei D die Determinante des Systems ist. D_4, die Determinante für mich_4, wird durch Ersetzen der rechten Seite des Systems gebildet, wobei die Säule von I platziert wird₄Koeffizienten.

Das Gleichungssystem in geordneter Form:

- 60 * I.₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

So bestimmend D:

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

Sie können die Antwort über das von TINA berechnete Ergebnis bestätigen.

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In diesem Beispiel ist jeder unbekannte Schleifenstrom ein Zweigstrom (I1, I3 und I4); Daher ist es einfach, das Ergebnis durch Vergleich mit den DC-Analyseergebnissen von TINA zu überprüfen.