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Der vollständige Satz der Kirchhoffschen Gleichungen kann durch die in diesem Kapitel beschriebene Methode des Knotenpotentials erheblich vereinfacht werden. Mit dieser Methode wird das Spannungsgesetz von Kirchhoff automatisch erfüllt, und wir müssen nur Knotengleichungen schreiben, um auch das aktuelle Gesetz von Kirchhoff zu erfüllen. Das Erfüllen des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes wird erreicht, indem Knotenpotentiale (auch als Knoten- oder Knotenspannungen bezeichnet) in Bezug auf einen bestimmten Knoten, der als bezeichnet wird, verwendet werden Referenz Knoten. Mit anderen Worten sind alle Spannungen in der Schaltung relativ zu Referenzknoten, was normalerweise als 0 Potential angesehen wird. Es ist leicht zu erkennen, dass mit diesen Spannungsdefinitionen das Spannungsgesetz von Kirchhoff automatisch erfüllt wird, da das Schreiben von Schleifengleichungen mit diesen Potentialen zur Identität führt. Beachten Sie, dass Sie für eine Schaltung mit N Knoten nur N - 1 Gleichungen schreiben sollten. Normalerweise wird die Knotengleichung für den Referenzknoten weggelassen.
Die Summe aller Ströme in der Schaltung ist Null, da jeder Strom in einen Knoten hinein und aus diesem heraus fließt. Daher ist die N-te Knotengleichung nicht unabhängig von den vorherigen N-1-Gleichungen. Wenn wir alle N Gleichungen einbeziehen würden, hätten wir ein unlösbares Gleichungssystem.
Die Knotenpotentialmethode (auch Knotenanalyse genannt) ist die für Computeranwendungen am besten geeignete Methode. Die meisten Schaltungsanalyseprogramme - einschließlich TINA - basieren auf dieser Methode.
Die Schritte der Knotenanalyse:
1. Wählen Sie einen Referenzknoten mit 0 Knotenpotential und beschriften Sie jeden verbleibenden Knoten mit V1, V2 or j1, j2und so weiter.
2. Wenden Sie das aktuelle Kirchhoffsche Gesetz an jedem Knoten mit Ausnahme des Referenzknotens an. Verwenden Sie das Ohmsche Gesetz, um bei Bedarf unbekannte Ströme aus Knotenpotentialen und Spannungsquellenspannungen auszudrücken. Nehmen Sie für alle unbekannten Ströme für jede Anwendung des aktuellen Gesetzes von Kirchhoff dieselbe Referenzrichtung an (z. B. Ausweisen aus dem Knoten).
3. Lösen Sie die resultierenden Knotengleichungen für die Knotenspannungen.
4. Bestimmen Sie den angeforderten Strom oder die angeforderte Spannung in der Schaltung anhand der Knotenspannungen.
Lassen Sie uns Schritt 2 veranschaulichen, indem wir die Knotengleichung für Knoten V schreiben1 des folgenden Schaltungsfragments:
Ermitteln Sie zunächst den Strom von Knoten V1 zu Knoten V2. Wir werden das Ohmsche Gesetz bei R1 anwenden. Die Spannung an R1 beträgt V.1 - V2 - VS1
Und der Strom durch R1 (und vom Knoten V1 zum Knoten V2) ist
Beachten Sie, dass dieser Strom eine Referenzrichtung hat, die aus dem V heraus zeigt1 Knoten. Unter Verwendung der Konvention für Ströme, die aus einem Knoten heraus zeigen, sollte sie in der Knotengleichung mit einem positiven Vorzeichen berücksichtigt werden.
Der aktuelle Ausdruck des Zweigs zwischen V.1 und V3 wird ähnlich sein, aber da V.S2 ist in die entgegengesetzte Richtung von VS1 (was das Potential des Knotens zwischen V bedeutetS2 und R2 ist V3-VS2) ist der Strom
Schließlich, wegen der angegebenen Referenzrichtung, ichS2 sollte ein positives Vorzeichen haben und ichS1 ein negatives Vorzeichen in der Knotengleichung.
Die Knotengleichung:
Sehen wir uns nun ein vollständiges Beispiel an, um die Verwendung der Knotenpotentialmethode zu demonstrieren.
Finden Sie die Spannung V und die Ströme durch die Widerstände in der Schaltung unten
Da wir nur zwei Knoten in dieser Schaltung haben, können wir die Lösung auf die Bestimmung einer unbekannten Größe reduzieren. Durch Auswahl der untere Knoten als Referenzknoten, die unbekannte Knotenspannung ist die Spannung, nach der wir suchen, V.
Die Knotengleichung für den oberen Knoten:
Numerisch:
Mit 30 multiplizieren: 7.5 + 3 V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0
Daher: V = 10 V
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]
Numpy als n importieren, Sympy als s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Schreiben Sie die Matrix der Koeffizienten auf:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Schreiben Sie die Matrix der Konstanten auf:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
print(“%.3f”%V)
#Symbolische Lösung mit Sympy Solve
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
drucken(sol)
Bestimmen wir nun die Ströme durch die Widerstände. Dies ist einfach, da in der obigen Knotengleichung dieselben Ströme verwendet werden.
{Knotenpotentialmethode verwenden!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]
{Die Ströme der Widerstände}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]
Wir können das Ergebnis mit TINA überprüfen, indem wir einfach den interaktiven DC-Modus von TINA aktivieren oder den Befehl Analyse / DC-Analyse / Knotenspannungen verwenden.
Als nächstes lösen wir das Problem, das bereits als letztes Beispiel für das verwendet wurde Kirchhoffsche Gesetze Kapitel
Finden Sie die Spannungen und Ströme jedes Elements der Schaltung.
Wählen Sie den unteren Knoten als Referenzknoten mit 0 Potential, die Knotenspannung von N.2 wird gleich V seinS3,: j2 = daher haben wir nur eine unbekannte Knotenspannung. Sie werden sich vielleicht daran erinnern, dass wir zuvor unter Verwendung des vollständigen Satzes von Kirchhoff-Gleichungen auch nach einigen Vereinfachungen ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten hatten.
Schreiben der Knotengleichungen für Knoten N1bezeichnen wir die Knotenspannung von N.1 by j1
Die einfache Gleichung lautet:
Numerisch:
Multipliziert mit 330 erhalten wir:
3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
Nach der Berechnung j1, Es ist einfach, die anderen Größen in der Schaltung zu berechnen.
Die Strömungen:
IS3 = IchR1 - IchR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A.
Und die Spannungen:
VIs = j1 = 285 V
VR1= (j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V
VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V.
VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V.
Möglicherweise stellen Sie fest, dass Sie bei der Knotenpotentialmethode noch einige zusätzliche Berechnungen benötigen, um die Ströme und Spannungen der Schaltung zu bestimmen. Diese Berechnungen sind jedoch sehr einfach und viel einfacher als das gleichzeitige Lösen linearer Gleichungssysteme für alle Schaltungsgrößen.
Wir können das Ergebnis mit TINA überprüfen, indem wir einfach den interaktiven DC-Modus von TINA einschalten oder den Befehl Analyse / DC-Analyse / Knotenspannungen verwenden.
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Schauen wir uns weitere Beispiele an.
Beispiel 1
Finde das aktuelle I.
In dieser Schaltung gibt es vier Knoten, aber da wir eine ideale Spannungsquelle haben, die die Knotenspannung an ihrem positiven Pol bestimmt, sollten wir ihren negativen Pol als Referenzknoten wählen. Daher haben wir wirklich nur zwei unbekannte Knotenpotentiale: j1 und j2 .
Die Gleichungen für die Potentialknoten j1 und j2:
Numerisch:
Um dies zu lösen, multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit 2 und addieren Sie dann die beiden Gleichungen:
11j1 = 220
und daher j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V.
Endlich der unbekannte Strom:
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann auch mit berechnet werden Cramer-Regel.
Lassen Sie uns die Verwendung der Cramer-Regel veranschaulichen, indem wir das obige System erneut lösen.
1. Füllen Sie die Matrix der Koeffizienten von Unbekannten aus:
2. Berechnen Sie den Wert der Determinante der D-Matrix.
| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22
3. Platziere die Werte der rechten Seite in die Spalte der Koeffizienten der unbekannten Variablen und berechne dann den Wert der Determinante:
4. Teilen Sie die neu gefundenen Determinanten durch die ursprüngliche Determinante, um die folgenden Verhältnisse zu finden:
Daher j1 = 20 V und j2 = 25 V
Um das Ergebnis mit TINA zu überprüfen, schalten Sie einfach den interaktiven DC-Modus von TINA ein oder verwenden Sie den Befehl Analyse / DC-Analyse / Knotenspannungen. Beachten Sie, dass mit der Spannungsstift Komponente von TINA können Sie die Knotenpotentiale direkt anzeigen, vorausgesetzt, dass die Boden Komponente ist mit dem Referenzknoten verbunden.
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
end;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
numpy als n importieren
#Wir haben ein System von
#llineare Gleichungen, die
#wir wollen nach fi1, fi2 auflösen:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Schreiben Sie die Matrix der Koeffizienten auf:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Schreiben Sie die Matrix der Konstanten auf:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)
Beispiel 2.
Ermitteln Sie die Spannung des Widerstands R4.
R1 = R3 = 100 Ohm, R2 = R4 = 50 Ohm, R5 = 20 Ohm, R6 = 40 Ohm, R7 = 75 Ohm
In diesem Fall ist es praktisch, den negativen Pol der Spannungsquelle V zu wählenS2 als Referenzknoten, weil dann der positive Pol des V.S2 Spannungsquelle wird V habenS2 = 150 Knotenpotential. Aufgrund dieser Wahl ist die erforderliche V-Spannung jedoch der Knotenspannung des Knotens N entgegengesetzt4; daher V4 = - V.
Die Gleichungen:
Die Handberechnungen werden hier nicht vorgestellt, da die Gleichungen mit dem TINA-Interpreter leicht gelöst werden können.
{Knotenpotentialmethode verwenden!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
end;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
numpy als n importieren
#Verwenden Sie die Knotenpotentialmethode!
#Wir haben ein System linearer Gleichungen, das wir lösen wollen
#für V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Schreiben Sie die Matrix der Koeffizienten auf:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Schreiben Sie die Matrix der Konstanten auf:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)
Um das Ergebnis mit zu überprüfen, schalten Sie TINA einfach den interaktiven DC-Modus von TINA ein oder verwenden Sie den Befehl Analyse / DC-Analyse / Knotenspannungen. Beachten Sie, dass wir einige Spannungsstifte an den Knoten platzieren müssen, um die Knotenspannungen anzuzeigen.
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