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VERBUNDENE INDUKTOREN

KÖRPERGRUNDSTÜCKE

Das Fourier-Theorem gibt an, dass jede periodische Wellenform durch Hinzufügen entsprechend gewichteter Sinus- und Cosinus-Terme verschiedener Frequenzen synthetisiert werden kann. Der Satz wird in anderen Lehrbüchern ausführlich behandelt, daher werden wir nur die Ergebnisse zusammenfassen und einige Beispiele zeigen.

Unsere periodische Funktion sei f (t) = f (t ±nT) wobei T die Zeit einer Periode und n eine ganze Zahl ist.

w₀= 2p/ T die Grundwinkelfrequenz.

Durch die Fourier-Satz, Die periodische Funktion kann wie folgt geschrieben werden:

woher

A_n und B_n sind die Fourierkoeffizienten und die Summe ist das die Fourierreihe.

Eine andere Form, wahrscheinlich etwas praktischer:

woher

A₀ = C₀ ist der Gleichstrom oder Durchschnittswert A.₁, B₁ und C₁ sind die grundlegenden Komponenten, und die anderen sind die harmonischen Begriffe.

Während möglicherweise nur wenige Terme erforderlich sind, um einige Wellenformen zu approximieren, erfordern andere viele Terme.

Im Allgemeinen ist die Approximation umso besser, je mehr Terme enthalten sind. Bei Wellenformen, die Schritte enthalten, wie z. B. Rechteckimpulse, gilt jedoch die Gibbs-Phänomen kommt ins Spiel. Mit zunehmender Anzahl von Begriffen konzentriert sich das Überschwingen in einem immer kürzeren Zeitraum.

An gleiche Funktion f (t) = f (-t) (Achsensymmetrie) erfordert nur Kosinus-Terme.

An komische Funktion f (t) = - f (-t) (Punktsymmetrie) erfordert nur Sinusausdrücke.

Eine Wellenform mit Spiegel- oder Halbwellensymmetrie hat nur ungerade Harmonische in ihrer Fourier-Darstellung.

Hier werden wir uns nicht mit der Erweiterung der Fourier-Reihe befassen, sondern nur eine gegebene Summe von Sinus und Cosinus als Anregung für eine Schaltung verwenden.

In den früheren Kapiteln dieses Buches haben wir uns mit sinusförmiger Erregung befasst. Wenn die Schaltung linear ist, wird die Überlagerungssatz ist gültig. Für ein Netzwerk mit nicht sinusförmiger periodischer Anregung erlaubt uns die Überlagerung Berechnen Sie die Ströme und Spannungen für jeden Fourier-Sinus-Term einzeln. Wenn alle berechnet sind, fassen wir schließlich die harmonischen Komponenten der Antwort zusammen.

Es ist etwas kompliziert, die verschiedenen Terme der periodischen Spannungen und Ströme zu bestimmen, und tatsächlich kann es zu einer Überlastung von Informationen kommen. In der Praxis möchten wir einfach nur Messungen durchführen. Wir können die verschiedenen harmonischen Terme mit a messen harmonischer Analysator, Spektrumanalysator, Wellenanalysator oder Fourier-Analysator. All dies sind kompliziert und wahrscheinlich mehr Daten als nötig liefern. Manchmal reicht es aus, ein periodisches Signal nur anhand seiner Durchschnittswerte zu beschreiben. Es gibt jedoch verschiedene Arten von Durchschnittsmessungen.

DURCHSCHNITTLICH WERTE

Einfacher Durchschnitt or DC Begriff wurde in der Fourier-Darstellung als A gesehen₀

Dieser Durchschnitt kann mit Instrumenten wie dem Deprez gemessen werden Gleichstrominstrumente.

Effektiver Wert or rms (quadratischer Mittelwert) hat die folgende Definition:

Dies ist der wichtigste Durchschnittswert, da die in Widerständen abgegebene Wärme proportional zum effektiven Wert ist. Viele digitale und einige analoge Voltmeter können den effektiven Wert von Spannungen und Strömen messen.

Absoluter Durchschnitt

Dieser Durchschnitt ist nicht mehr wichtig; frühere Instrumente haben diese Form des Durchschnitts gemessen.

Wenn wir die Fourier-Darstellung einer Spannungs- oder Stromwellenform kennen, können wir die Durchschnittswerte auch wie folgt berechnen:

Einfacher Durchschnitt or DC Begriff wurde in der Fourier-Darstellung als A gesehen₀ = C₀

Effektiver Wert or rms (quadratischer Mittelwert) ist nach Integration der Fourier-Reihe der Spannung:

Das Klirrfaktor ist ein sehr wichtiges Verhältnis der Durchschnittswerte:

Es ist das Verhältnis des effektiven Wertes der Terme höherer Harmonischer zum effektiven Wert der Grundharmonischen:

Hier scheint es einen Widerspruch zu geben - wir lösen das Netzwerk in Bezug auf harmonische Komponenten, aber wir messen Durchschnittsgrößen.

Lassen Sie uns die Methode anhand einfacher Beispiele veranschaulichen:

Beispiel 1

Finden Sie die Zeitfunktion und den effektiven (Effektiv-) Wert der Spannung v_C(T)

Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern

wenn R = 5 Ohm, C = 10 mF und v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + 30 cos (3 w₀t - 90 °)) V, wobei die Grundwinkelfrequenz ist w₀= 30 krad / s.

Versuchen Sie, den Überlagerungssatz zu verwenden, um das Problem zu lösen.

Der erste Schritt besteht darin, die Übertragungsfunktion als Funktion der Frequenz zu finden. Verwenden Sie der Einfachheit halber die Substitution: s = j w

Ersetzen Sie nun die Komponentenwerte und s = jk w₀wobei k = 0; 1; 3 in diesem Beispiel und w₀= 30 krad / s. In V, A, Ohm, mF- und Mrad / s-Einheiten:

Es ist hilfreich, eine Tabelle zu verwenden, um die Schritte der numerischen Lösung zu organisieren:

k	W (jk) =
0
1
3

Wir können die Schritte der Überlagerungslösung in einer anderen Tabelle zusammenfassen. Wie wir bereits gesehen haben, sollten wir, um den komplexen Spitzenwert einer Komponente zu finden, den komplexen Spitzenwert der Komponente der Anregung mit dem Wert der komplexen Übertragungsfunktion multiplizieren:

k	V	W	V_Ck
0	100	1	100
1	200	0.55e^-j56.3^°	110e^-j56.3^°
3	30e^-j90^°	0.217e^-j77.5^°	6.51e^-j167.5^°

Und schließlich können wir der Zeitfunktion die komplexen Spitzenwerte der Komponenten kennen:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Der effektive Effektivwert der Spannung beträgt:

Wie Sie sehen, misst das Messgerät von TINA diesen Effektivwert.

Beispiel 2

Finden Sie die Zeitfunktion und den effektiven (Effektivwert) Wert des Stroms i (t)

Klicken Sie auf die Schaltung oben, um die Online-Analyse durchzuführen, oder klicken Sie auf diesen Link, um unter Windows zu speichern

wenn R = 5 Ohm, C = 10 mF und v (t) = (100 + 200 cos (w₀t) + 30 cos (3w₀t - 90 °)) V wobei die Grundwinkelfrequenz ist w₀= 30 krad / s.

Versuchen Sie, das Problem mit dem Überlagerungssatz zu lösen.

Die Schritte der Lösung sind ähnlich wie in Beispiel 1, aber die Übertragungsfunktion ist unterschiedlich.

Ersetzen Sie nun die numerischen Werte und s = jk w_0,wobei k = 0; 1; 3 in diesem Beispiel.

In V, A, Ohm, mF- und Mrad / s-Einheiten:

Es ist hilfreich, während der numerischen Lösung eine Tabelle zu verwenden:

k	W (jk) =
0
1
3

Wir können die Schritte der Überlagerung in einer anderen Tabelle zusammenfassen. Wie wir bereits gesehen haben, sollten wir, um den Spitzenwert einer Komponente zu finden, den komplexen Spitzenwert dieser Komponente der Anregung mit dem Wert der komplexen Übertragungsfunktion multiplizieren. Verwenden Sie die komplexen Spitzenwerte der Komponenten der Anregung:

k	V_Sk	W(jk)	I_k
0	100	0	0
1	200	0.162 und^j33.7^°	32.4 und^j33.7^°
3	30 und^-j90^°	0.195 und^j12.5^°	5.85 und^-j77.5^°

Und schließlich können wir, wenn wir die komplexen Spitzenwerte der Komponenten kennen, die Zeitfunktion angeben:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [EIN]

TDer Effektivwert des Stroms:

Sie können häufig einen Sanity Check für einen Teil der Lösung durchführen. Beispielsweise kann ein Kondensator eine Gleichspannung haben, jedoch keinen Gleichstrom.

Beispiel 3

Erhalten Sie die Zeitfunktion der Spannung V._ab if R₁= 12 Ohm, R₂ = 14 Ohm, L = 25 mH und