Überlagerungssatz

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Der Überlagerungssatz gibt an, dass in einer linearen Schaltung mit mehreren Quellen der Strom und die Spannung für jedes Element in der Schaltung die Summe der Ströme und Spannungen sind, die von jeder Quelle erzeugt werden, die unabhängig wirkt.

Um den Beitrag jeder Quelle unabhängig zu berechnen, müssen alle anderen Quellen entfernt und ersetzt werden, ohne das Endergebnis zu beeinflussen. Beim Entfernen einer Spannungsquelle muss deren Spannung auf Null gesetzt werden, was dem Ersetzen der Spannungsquelle durch einen Kurzschluss entspricht. Beim Entfernen einer Stromquelle muss ihr Strom auf Null gesetzt werden, was dem Ersetzen der Stromquelle durch einen offenen Stromkreis entspricht.

Wenn Sie die Beiträge aus den Quellen zusammenfassen, sollten Sie darauf achten, deren Zeichen zu berücksichtigen. Es ist am besten, jeder unbekannten Größe eine Referenzrichtung zuzuweisen, sofern diese nicht bereits angegeben ist.
Die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom wird als algebraische Summe der Beiträge der Quellen berechnet. Wenn ein Beitrag von einer Quelle dieselbe Richtung wie die Referenzrichtung hat, hat er ein positives Vorzeichen in der Summe. Wenn es die entgegengesetzte Richtung hat, dann ein negatives Vorzeichen.

Beachten Sie, dass wenn die Spannungs- oder Stromquellen einen Innenwiderstand haben, dieser im Stromkreis verbleiben und dennoch berücksichtigt werden muss. In TINA können Sie den Gleichspannungs- und Stromquellen einen Innenwiderstand zuweisen, während Sie dasselbe Schaltplansymbol verwenden. Wenn Sie den Überlagerungssatz veranschaulichen und gleichzeitig Quellen mit Innenwiderstand verwenden möchten, sollten Sie daher nur die Quellenspannung (oder den Quellstrom) auf Null setzen, wodurch der Quelleninnenwiderstand intakt bleibt. Alternativ können Sie die Quelle durch einen Widerstand ersetzen, der dem Innenwiderstand entspricht.

Um den Überlagerungssatz mit Schaltungsströmen und -spannungen verwenden zu können, müssen alle Komponenten linear sein. Das heißt, für alle Widerstandskomponenten muss der Strom proportional zur angelegten Spannung sein (gemäß dem Ohmschen Gesetz).

Beachten Sie, dass der Überlagerungssatz nicht auf die Leistung anwendbar ist, da die Leistung keine lineare Größe ist. Die an eine Widerstandskomponente gelieferte Gesamtleistung muss unter Verwendung des Gesamtstroms durch oder der Gesamtspannung über der Komponente bestimmt werden und kann nicht durch eine einfache Summe der von den Quellen unabhängig erzeugten Leistungen bestimmt werden.

Lassen Sie uns die Überlagerungsmethode anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.


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Bestimmen Sie die Spannung am Widerstand R.

Folgen Sie der Methode Schritt für Schritt:

Berechnen Sie zunächst V ', die von der Spannungsquelle V erzeugte SpannungS, unter Verwendung der Spannungsteilung:
V '= VS * R / (R + R1) = 10 * 10 / (10 + 10) = 5 V.

Bestimmen Sie als nächstes die von der Stromquelle I verursachte SpannungS. Da es die entgegengesetzte Richtung hat,
V "= -IS * R * R1/ (R + R1) = -2 * 10 * 10 / (10 + 10) = -10 V.

Schließlich


die unbekannte Spannung ist die Summe von V 'und V ": V = V' + V" = 5 + (-10) = -5 V.

Beachten Sie, dass die Vorzeichen der Teilantworten V 'und V' 'eine wichtige Rolle bei der Lösung spielten. Achten Sie darauf, die richtigen Zeichen zu bestimmen und zu verwenden.

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
{Unter Verwendung des Überlagerungssatzes}
V1: = - Ist * R * R1 / (R + R1);
V1 = [- 10]
V2: = Vs * R / (R + R1);
V2 = [5]
V: = V1 + V2;
V = [- 5]
#Lösung von Python!
#Verwendung des Superpositionssatzes:
V1=-Is*R*R1/(R+R1)
print(“V1= %.3f”%V1)
V2=Vs*R/(R+R1)
print(“V2= %.3f”%V2)
V=V1+V2
print(“V1= %.3f”%V)

Beispiel 1

Finden Sie die Ströme, die von den Amperemeter angezeigt werden.


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Die folgende Abbildung zeigt die Schritte der Überlagerungsmethode für die Lösung.

Im ersten Schritt (linke Seite der Abbildung oben) berechnen wir die Beiträge I1' und ich2'produziert von der Quelle V2. Im zweiten Schritt (rechte Seite der Abbildung) berechnen wir die Beiträge I1'' und ich2'' von der Quelle V produziert1.

Ich finde1'Zuerst sollten wir berechnen R13 (der Gesamtwiderstand der parallel geschalteten R1 und R3) und dann die Spannungsteilung verwenden, um V zu berechnen13die gemeinsame Spannung zwischen diesen beiden Widerständen. Schließlich, um ich zu berechnen1'(der Strom durch R.1), sollten wir das Ohmsche Gesetz verwenden und V teilen13 durch R1.

Mit einer ähnlichen Gegenleistung für alle Mengen:

Und

Zum Schluss das Ergebnis:

Sie können die Richtigkeit der Schritte mit TINA wie in den obigen Abbildungen gezeigt überprüfen.

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
{Verwenden Sie die Überlagerungsmethode!}
{Wir verwenden einen doppelten Index, weil
Der Interpreter lässt das 'und "nicht als Index zu.
der zweite Index bedeutet die erste oder zweite Messung}
I11:=V2*R1*R3/(R1+R3)/(R2+R1*R3/(R1+R3))/R1;
I21:=V2*R1*R3/(R1+R3)/(R2+R1*R3/(R1+R3))/R3;
I31:=-V2/(R2+R1*R3/(R1+R3));
I12:=-V1/(R1+R2*R3/(R2+R3));
I22:=V1*R2/(R2+R3)/(R1+R2*R3/(R2+R3));
I32:=V1*R3/(R2+R3)/(R1+R2*R3/(R2+R3));
I1: = I11 + I12;
I1 = [50m]
I2: = I21 + I22;
I2 = [250m]
I3: = I31 + I32;
I3 = [- 300m]
#Lösung von Python! #Verwenden Sie die Überlagerungsmethode!
#Wir verwenden einen doppelten Index, weil
#Python lässt das „und“ nicht als Index zu.
#Der zweite Index bedeutet die erste oder zweite Messung
I11=V2*R1*R3/(R1+R3)/(R2+R1*R3/(R1+R3))/R1
I21=V2*R1*R3/(R1+R3)/(R2+R1*R3/(R1+R3))/R3
I31=-V2/(R2+R1*R3/(R1+R3))
I12=-V1/(R1+R2*R3/(R2+R3))
I22=V1*R2/(R2+R3)/(R1+R2*R3/(R2+R3))
I32=V1*R3/(R2+R3)/(R1+R2*R3/(R2+R3))
I1=I11+I12
print(“I1= %.3f”%I1)
I2=I21+I22
print(“I2= %.3f”%I2)
I3=I31+I32
print(“I3= %.3f”%I3)

Beispiel 2

Finden Sie die Spannung V und den Strom I.


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Die Abbildung zeigt, wie Sie den Superpositionsatz anwenden können:

{Lösung von TINAs Dolmetscher!}
{Verwendung der Überlagerungsmethode!}
I1: = Ist * R1 / (R1 + R1);
I2: = - Vs / (R1 + R1)
I: = I1 + I2;
I = [0]
V1: = 0;
V2: = Vs;
V: = V1 + V2;
V = [2]
#Lösung von Python!
#Verwendung der Überlagerungsmethode:
I1=Is*R1/(R1+R1)
I2=-Vs/(R1+R1)
I=I1+I2
print(“I= %.3f”%I)
V1 = 0
V2=Vs
V=V1+V2
print(“V= %.3f”%V)

Beispiel 3

Finden Sie die Spannung V.


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Und die Überlagerung:

{Lösung durch den TINA-Dolmetscher}
{Überlagerungstheorem verwenden}
V1:=Vs1*R2*R4/(R2+R4)/(R1+R2*R4/(R2+R4));
V1 = [50]
V2:=Is1*R2*R4*R1/(R2+R4)/(R1+R2*R4/(R2+R4));
V2 = [10]
V3:=Vs2*R1*R2/(R1+R2)/(R4+R1*R2/(R1+R2));
V3 = [60]
V: = V1 + V2 + V3;
V = [120]
#Lösung von Python!
#Verwendung des Superpositionssatzes:
V1=Vs1*R2*R4/(R2+R4)/(R1+R2*R4/(R2+R4))
print(“V1= %.3f”%V1)
V2=Is1*R2*R4*R1/(R2+R4)/(R1+R2*R4/(R2+R4))
print(“V2= %.3f”%V2)
V3=Vs2*R1*R2/(R1+R2)/(R4+R1*R2/(R1+R2))
print(“V3= %.3f”%V3)
V = V1 + V2 + V3
print(“V= %.3f”%V)

Sie können sehen, dass die Verwendung des Überlagerungssatzes für Schaltungen, die mehr als zwei Quellen enthalten, ziemlich kompliziert ist. Je mehr Quellen sich in der Schaltung befinden, desto mehr Schritte sind erforderlich. Dies ist bei den anderen, fortgeschritteneren Methoden, die in späteren Kapiteln beschrieben werden, nicht unbedingt der Fall. Wenn Sie bei der Überlagerung eine Schaltung dreimal oder öfter analysieren müssen, ist es allzu einfach, ein Zeichen zu verwechseln oder einen anderen Fehler zu machen. Wenn die Schaltung also mehr als zwei Quellen hat - es sei denn, dies ist sehr einfach -, ist es besser, die Kirchhoff-Gleichungen und ihre vereinfachten Versionen zu verwenden, die später beschriebenen Methoden für Knotenspannungen oder Maschenströme.

Während der Überlagerungssatz zur Lösung einfacher praktischer Probleme nützlich sein kann, liegt seine Hauptanwendung in der Theorie der Schaltungsanalyse, wo er zum Beweis anderer Sätze verwendet wird.


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