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Muchos circuitos son demasiado complejos para ser resueltos usando las reglas para circuitos en serie o en paralelo o las técnicas para la conversión a circuitos más simples descritos en capítulos anteriores. Para estos circuitos necesitamos métodos de solución más generales. El método más general está dado por las leyes de Kirchhoff, que permiten el cálculo de todos los voltajes y corrientes de circuitos mediante una solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Hay dos Leyes de Kirchhoff, la ley de voltaje y el actual ley. Estas dos leyes se pueden usar para determinar todos los voltajes y corrientes de los circuitos.
La ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) establece que la suma algebraica del voltaje aumenta y el voltaje cae alrededor de un bucle debe ser cero.
Un bucle en la definición anterior significa una ruta cerrada en el circuito; es decir, una ruta que sale de un nodo en una dirección y regresa a ese mismo nodo desde otra dirección.
En nuestros ejemplos, usaremos la dirección de las agujas del reloj para los bucles; sin embargo, se obtendrán los mismos resultados si se usa la dirección en sentido antihorario.
Para aplicar KVL sin error, tenemos que definir la llamada dirección de referencia. La dirección de referencia de los voltajes desconocidos apunta del signo + al signo - de los voltajes supuestos. Imagina usar un voltímetro. Coloque la sonda positiva del voltímetro (generalmente roja) en el terminal de referencia + del componente. Si el voltaje real es positivo, está en la misma dirección que asumimos, y tanto nuestra solución como el voltímetro mostrarán un valor positivo.
Al derivar la suma algebraica de los voltajes, debemos asignar un signo más a esos voltajes donde la dirección de referencia concuerda con la dirección del bucle y los signos negativos en el caso contrario.
Otra forma de establecer la ley de voltaje de Kirchhoff es: el voltaje aplicado de un circuito en serie es igual a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.
El siguiente breve ejemplo muestra el uso de la ley de voltaje de Kirchhoff.
Encuentre el voltaje a través de la resistencia R2, Dado que la tensión de la fuente, VS = 100 V y que el voltaje a través de la resistencia R1 es V1 = 40 V.
La figura a continuación se puede crear con TINA Pro Versión 6 y superior, en la que las herramientas de dibujo están disponibles en el editor de esquemas.
La solución usando la ley de voltaje de Kirchhoff: -VS + V1 + V2 = 0 o VS V =1 + V2
por lo tanto: V2 V =S - V1 = 100-40 = 60V
Tenga en cuenta que normalmente no conocemos los voltajes de las resistencias (a menos que las midamos), y necesitamos usar ambas leyes de Kirchhoff para la solución.
La ley actual de Kirchhoff (KCL) establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de cualquier nodo en un circuito es cero.
A continuación, damos un signo + a las corrientes que salen de un nodo y un signo - a las corrientes que entran en un nodo.
Aquí hay un ejemplo básico que demuestra la ley actual de Kirchhoff.
Encontrar el actual yo2 si la fuente actual IS = 12 A, y yo1 = 8 A.
Usando la ley actual de Kirchhoff en el nodo circundado: -IS + I1 + I2 = 0, por lo tanto: I2= IS - Yo1 = 12 - 8 = 4 A, Como puedes comprobar usando TINA (siguiente figura).
En el siguiente ejemplo, utilizaremos las leyes de Kirchhoff más la ley de Ohm para calcular la corriente y el voltaje a través de las resistencias.
En la figura a continuación, observará el Flecha de voltaje por encima de las resistencias. Este es un nuevo componente disponible en Versión 6 de TINA y funciona como un voltímetro. Si lo conecta a través de un componente, la flecha determina la dirección de referencia (para comparar con un voltímetro, imagine colocar la sonda roja en la cola de la flecha y la sonda negra en la punta). Cuando ejecuta el análisis de CC, el voltaje real del componente se mostrará en la flecha.
Para comenzar a usar la ley actual de Kirchhoff, vemos que las corrientes a través de todos los componentes son las mismas, así que denotemos esa corriente por I.
De acuerdo con la ley de voltaje de Kirchhoff: VS V =1+V2+V3
Ahora usando la ley de Ohm: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3
Y a partir de aquí la corriente del circuito:
I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A
Finalmente los voltajes de las resistencias:
V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V
Los mismos resultados se verán en las flechas de voltaje simplemente ejecutando el análisis de CC interactivo de TINA.
En este siguiente circuito, más complejo, también usamos las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm, pero descubrimos que la mayoría de las veces resolvemos un sistema lineal de ecuaciones.
El número total de aplicaciones independientes de las leyes de Kirchhoff en un circuito es el número de ramas del circuito, mientras que el número total de incógnitas (la corriente y el voltaje de cada rama) es el doble. Sin embargo, al usar también la ley de Ohm en cada resistencia y En las ecuaciones simples que definen los voltajes y las corrientes aplicadas, obtenemos un sistema de ecuaciones donde el número de incógnitas es el mismo que el número de ecuaciones.
Encuentra las corrientes de rama I1, I2, I3 en el circuito de abajo.
El conjunto de ecuaciones sigue:
La ecuación nodal para el nodo en círculo:
– I1 – I2 - Yo3 = 0
o multiplicando por -1
I1 + I2 + I3 = 0
Las ecuaciones de bucle (usando la dirección de las agujas del reloj) para el bucle L1, que contiene V1, R1 Y R3
-V1+I1*R1-I3*R3 = 0
y para el bucle L2, que contiene V2, R2 Y R3
I3*R3 - Yo2*R2 +V2 = 0
Sustituyendo los valores de los componentes:
I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 –20 * I2 + 16 = 0
Expreso yo1 usando la ecuación nodal: I1 = -I2 - Yo3
luego sustitúyelo en la segunda ecuación:
-V1 - (YO2 + I3) * R1 -YO3*R3 = 0 or –8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0
Expreso yo2 y sustitúyalo en la tercera ecuación, a partir de la cual ya puede calcular I3:
I2 = - (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40
I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0
Y: I3 = - (V2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)
Por lo tanto I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A y I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A
o: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.
Ahora resolvamos las mismas ecuaciones con el intérprete de TINA:
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
fin;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]
importar numpy como np,sympy como s
#Tenemos un sistema lineal de
#ecuaciones que queremos resolver:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0
I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
imprimir(sol)
A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])
b= np.matriz([0,V1,-V2])
x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
# I1
imprimir(“I1= %.3f”%x[0])
# I2
imprimir(“I2= %.3f”%x[1])
# I3
imprimir(“I3= %.3f”%x[2])
Finalmente, vamos a revisar el resultados utilizando TINA:
A continuación, analicemos el siguiente circuito aún más complejo y determinemos sus corrientes y tensiones de derivación.
Denotemos los voltajes y corrientes desconocidos agregando flechas de voltaje y corriente a los componentes, y también muestremos los bucles (L1, L2, L3) y los nodos (N1, N2) donde usaremos las ecuaciones de Kirchhoff.
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Aquí está el conjunto de Ecuaciones de Kirchhoff para los bucles (usando la dirección de las agujas del reloj) y los nodos.
-IL + IR1 - Yos = 0 (para N1)
- YoR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)
-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (para L1)
-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (para L2)
-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)
Aplicando la ley de Ohm:
VL = IL*RL
VR1 =IR1*R1
VR2 = IR2*R2
VR3 = - yoL*R3
Esto es 9 incógnitas y 9 ecuaciones. La forma más fácil de resolver esto es usar los TINA
Interprete. Sin embargo, si se nos presiona para usar cálculos manuales, notamos que este conjunto de ecuaciones se puede reducir fácilmente a un sistema de 5 incógnitas sustituyendo las últimas 4 ecuaciones en las ecuaciones de bucle L1, L2, L3. Además, al agregar ecuaciones (L1) y (L2), podemos eliminar VIs , reduciendo el problema a un sistema de ecuaciones 4 para las incógnitas 4 (IL, IR1 IR2, Is3) Cuando hemos encontrado estas corrientes, podemos determinar fácilmente VL VR1, VR2, Y VR3 utilizando las últimas cuatro ecuaciones (ley de Ohm).
Sustituyendo VL ,VR1,VR2 ,VR3 :
-IL + IR1 - Yos = 0 (para N1)
- YoR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)
-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (para L1)
-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (solo para L2)
- YoR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)
Añadiendo (L1) y (L2) obtenemos
-IL + IR1 - Yos = 0 (para N1)
- YoR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)
-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)
- YoR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)
Después de sustituir los valores de los componentes, la solución a estas ecuaciones viene fácilmente.
-IL+IR1 - 2 = 0 (para N1)
-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (para N2)
-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (L2)
-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (para L3)
de L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)
de N2 IS3 - YoR1 = - 5.25 (II)
de L1+L2 me 110L + 30 IR1 = -150 (III)
y para N1 IR1 - YoL = 2 (IV)
Multiplica (IV) por –30 y agrega a (III) me 140L = -210 por lo tanto IL = - 1.5 A
Sustituir IL en (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A
y yoR1 dentro (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A
Y los voltajes: VR1 = IR1*R1 = 15 V; VR2 = IR2*R2 = 210 V;
VR3 = - yoL*R3= 135 V; VL = IL*RL = - 30 V; VIs V =S1+VR3-VL = 285 V
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
fin;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]
#Hacha=b
importar numpy como np,sympy como s
#Solución simbólica usando numpy.solve
#Ecuaciones:
#IL=-Es+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Resolver:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2
IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Es+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
imprimir(sol)
#Otro método para resolver usando numpy.linalg
A=np.matriz(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])
b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])
x=np.linalg.solve(A,b)
#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
imprimir(“IL= %.3f”%x[0])
imprimir(“IR1= %.3f”%x[1])
imprimir(“IR2= %.3f”%x[2])
imprimir(“Es3= %.3f”%x[3])
imprimir(“Vis= %.3f”%x[4])
imprimir(“VL= %.3f”%x[5])
imprimir(“VR1= %.3f”%x[6])
imprimir(“VR2= %.3f”%x[8])
imprimir(“VR3= %.3f”%x[7])
Solución del conjunto reducido de ecuaciones utilizando el intérprete:
| {Solución del conjunto reducido de ecuaciones del intérprete de TINA} Sys Il, Ir1, Ir2, Is3 -Il + Ir1-2 = 0 -Ir1 + Ir2 + Is3 = 0 -120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0 -40 * Ir2 + 210 = 0 fin; Il = [- 1.5] Ir1 = [500m] Ir2 = [5.25] Is3 = [- 4.75] |
También podemos ingresar expresiones para los voltajes y hacer que el intérprete de TINA los calcule:
| Il: = - 1.5; Ir1: = 0.5; Ir2: = 5.25; Is3: = - 4.75; Vl: = Il * RL; Vr1: = Ir1 * R1 Vr2: = Ir2 * R2; Vr3: = - Il * R3; VIs: = Vs1-Vl + Vr3; Vl = [- 30] Vr1 = [15] Vr2 = [210] Vr3 = [135] VIs = [285] |
 |
Podemos verificar el resultado con TINA simplemente activando el modo interactivo de CC de TINA o usando Análisis / Análisis de CC / Voltajes nodales
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