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Como ya hemos visto, los circuitos con excitación sinusoidal se pueden resolver utilizando impedancias complejas por los elementos y pico complejo or integraciones valores rms para las corrientes y tensiones. Usando la versión de valores complejos de las leyes de Kirchhoff, se pueden emplear técnicas de análisis nodal y de malla para resolver circuitos de CA de una manera similar a los circuitos de CC. En este capítulo mostraremos esto a través de ejemplos de las leyes de Kirchhoff.
ejemplo 1
Encuentre la amplitud y el ángulo de fase de la corriente ivs(T) if
vS(t) = VSM cos 2ppie; i (t) = ISM cos 2ppie; VSM = 10 V; yoSM = 1 A; f = 10 kHz;
En total, tenemos 10 voltajes y corrientes desconocidos, a saber: i, iC1, yR, yL, yC2, VC1, VR, VL, VC2 y VIS. (Si utilizamos valores complejos de pico o rms para los voltajes y corrientes, ¡tenemos en total 20 ecuaciones reales!)
Las ecuaciones:
Ecuaciones de lazo o malla: para M1 – VSM +VC1M+VRM = 0
M2 – VRM + VLM = 0
M3 – VLM + VC2M = 0
M4 – VC2M + VIsmo = 0
Leyes de ohm VRM = R *IRM
VLM = j*w* L *ILM
IC1M = j*w*C1*VC1M
IC2M = j*w*C2*VC2M
Ecuación nodal para N1 – IC1M – ISM + IRM + ILM +IC2M = 0
para elementos de la serie I = IC1MResolviendo el sistema de ecuaciones puedes encontrar la corriente desconocida:
ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A
Resolver un sistema tan grande de ecuaciones complejas es muy complicado, por lo que no lo hemos mostrado en detalle. Cada ecuación compleja conduce a dos ecuaciones reales, por lo que mostramos la solución solo por los valores calculados con el intérprete de TINA.
La solución usando el intérprete de TINA:
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Es: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr{M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis{M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{Reglas de Ohm}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
fin;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * arc (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]
importar Sympy como s
importar cmath como c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
om=20000*c.pi
vs=10
es=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
imprimir(ivs)
imprimir(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.fase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.fase(Ivs)/c.pi))
La solución usando TINA:
Para resolver este problema a mano, trabaje con las impedancias complejas. Por ejemplo, R, L y C2 están conectados en paralelo, por lo que puede simplificar el circuito calculando su equivalente en paralelo. || significa el equivalente paralelo de las impedancias:
Numéricamente:
El circuito simplificado que usa la impedancia:
Las ecuaciones en forma ordenada: I + IG1 = IZ
VS = VC1 +VZ
VZ = Z · IZ
I = j w C1· VC1
Hay cuatro incógnitas I; IZ; VC1; VZ - y tenemos cuatro ecuaciones, por lo que es posible una solución.
Express I Después de sustituir las otras incógnitas de las ecuaciones:
Numéricamente
Según el resultado del intérprete de TINA.
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Es: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sistema I
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
fin;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * arco (I) / pi = [79.9613]
importar Sympy como s
importar cmath como c
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
vs=10
es=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
imprimir('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complejo(Z) para Z en tupla(s.linsolve(A,I))[0]][0]
imprimir(“Yo=”,cp(Yo))
imprimir(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.fase(I)/c.pi=”,cp(180*c.fase(I)/c.pi))
La función de tiempo de la corriente, entonces, es:
i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A
Puede verificar la regla actual de Kirchhoff usando diagramas de fasores. La siguiente imagen fue desarrollada verificando la ecuación del nodo en iZ = i + iG1 formar. El primer diagrama muestra los fasores agregados por la regla de paralelogramo, el segundo ilustra la regla triangular de la suma de fasores.
Ahora demostremos KVR usando la función de diagrama fasorial de TINA. Dado que el voltaje de la fuente es negativo en la ecuación, conectamos el voltímetro "al revés". El diagrama fasorial ilustra la forma original de la regla de voltaje de Kirchhoff.
El primer diagrama fasorial usa la regla del paralelogramo, mientras que el segundo usa la regla triangular.
Para ilustrar KVR en la forma VC1 + VZ - VS = 0, conectamos nuevamente el voltímetro a la fuente de voltaje hacia atrás. Puedes ver que el triángulo fasorial está cerrado.
ejemplo 2
Encuentre los voltajes y corrientes de todos los componentes si:
vS(t) = 10 cos wtelevisión, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;
C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.
Deje que las incógnitas sean los valores máximos complejos de los voltajes y corrientes de elementos 'pasivos', así como la corriente de la fuente de voltaje (iVS ) y el voltaje de la fuente de corriente (vIS ) En total, hay doce incógnitas complejas. Tenemos tres nodos independientes, cuatro bucles independientes (marcados como MI), y cinco elementos pasivos que se pueden caracterizar por cinco "leyes de Ohm" - en total hay 3 + 4 + 5 = 12 ecuaciones:
Ecuaciones nodales para N1 IVsM = IR1M + IC2M
para N2 IR1M = ILM + IC1M
para N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = IR2M
Ecuaciones de bucle para M1 VSM V =C2M + VR2M
para M2 VSM V =C1M + VR1M+ VR2M
para M3 VLM V =C1M
para M4 VR2M V =Ismo
Leyes de ohm VR1M = R1*IR1M
VR2M = R2*IR2M
IC1m = j *w*C1*VC1M
IC2m = j *w*C2*VC2M
VLM = j *w* L * ILM
No olvide que cualquier ecuación compleja puede conducir a dos ecuaciones reales, por lo que el método de Kirchhoff requiere muchos cálculos. Es mucho más sencillo resolver las funciones de tiempo de los voltajes y corrientes usando un sistema de ecuaciones diferenciales (no discutido aquí). Primero mostramos los resultados calculados por el intérprete de TINA:
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
fin;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (arco (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (arc (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (arc (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (arc (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (arc (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (arc (vL)) = [65.1092]
importar Sympy como s
importar matemáticas como m
importar cmath como c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formato(Z)
f = 10000
vs=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
imprimir(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
imprimir(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
imprimir(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
imprimir(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
imprimir(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
imprimir(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
imprimir(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
imprimir(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
imprimir(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+grados(fase(ivs))=”,cp(180+m.grados(c.fase(ivs))))
imprimir(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“grados(fase(vis))=”,cp(m.grados(c.fase(vis))))
print(“grados(fase(vr1))=”,cp(m.grados(c.fase(vr1))))
print(“grados(fase(vr2))=”,cp(m.grados(c.fase(vr2))))
print(“grados(fase(ic1))=”,cp(m.grados(c.fase(ic1))))
print(“grados(fase(ic2))=”,cp(m.grados(c.fase(ic2))))
print(“grados(fase(vc2))=”,cp(m.grados(c.fase(vc2))))
print(“grados(fase(vc1))=”,cp(m.grados(c.fase(vc1))))
print(“grados(fase(iL))=”,cp(m.grados(c.fase(iL))))
print(“grados(fase(vL))=”,cp(m.grados(c.fase(vL))))
Ahora intenta simplificar las ecuaciones a mano usando la sustitución. Primer sustituto eq.9. en la ecuación 5.
VS V =C2 + R2 IR2 a)
entonces eq.8 y eq.9. en eq 5.
VS V =C1 + R2 IR2 + R1 IR1 segundo.)
entonces eq 12., eq. 10. y yoL de eq. 2 en eq.6.
VC1 V =L = jwLIL = jwL (IR1 - YoC1) = jwLIR1 - jwLjwC1 VC1
Expreso vC1
c.)
Expreso vC2 de la ecuación 4. y eq.5. y sustituir eq.8., eq.11. y VC1:
re.)
Sustituya eq.2., 10., 11. y d.) En eq.3. y expreso yoR2
IR2 = IC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS
mi.)
Ahora sustituya d.) Y e.) En la ecuación 4 y exprese IR1
Numéricamente:
La función de tiempo de iR1 es el siguiente:
iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA
Los voltajes medidos: 
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