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El conjunto completo de ecuaciones de Kirchhoff puede simplificarse significativamente mediante el método de potencial de nodo descrito en este capítulo. Usando este método, la ley de voltaje de Kirchhoff se satisface automáticamente, y solo necesitamos escribir ecuaciones de nodo para satisfacer también la ley actual de Kirchhoff. La satisfactoria ley de voltaje de Kirchhoff se logra mediante el uso de potenciales de nodo (también llamados voltajes de nodo o nodo) con respecto a un nodo particular llamado referencia nodo. En otras palabras, todos los voltajes en el circuito son relativos a la nodo de referencia, que normalmente se considera que tiene potencial 0. Es fácil ver que con estas definiciones de voltaje, la ley de voltaje de Kirchhoff se satisface automáticamente, ya que escribir ecuaciones de bucle con estos potenciales conduce a la identidad. Tenga en cuenta que para un circuito que tiene N nodos, debe escribir solo N - 1 ecuaciones. Normalmente, se omite la ecuación de nodo para el nodo de referencia.
La suma de todas las corrientes en el circuito es cero ya que cada corriente fluye dentro y fuera de un nodo. Por lo tanto, la ecuación del enésimo nodo no es independiente de las ecuaciones N-1 anteriores. Si incluyéramos todas las N ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones sin solución.
El método del potencial de nodo (también llamado análisis nodal) es el método que mejor se adapta a las aplicaciones informáticas. La mayoría de los programas de análisis de circuitos, incluido TINA, se basan en este método.
Los pasos del análisis nodal:
1. Elija un nodo de referencia con potencial de nodo 0 y etiquete cada nodo restante con V1, V2 or j1, j2y así sucesivamente.
2. Aplicar la ley actual de Kirchhoff en cada nodo, excepto el nodo de referencia. Use la ley de Ohm para expresar corrientes desconocidas de potenciales de nodo y voltajes de fuente de voltaje cuando sea necesario. Para todas las corrientes desconocidas, asuma la misma dirección de referencia (por ejemplo, señalando el nodo) para cada aplicación de la ley actual de Kirchhoff.
3. Resuelva las ecuaciones de nodo resultantes para los voltajes de nodo.
4. Determine cualquier corriente o voltaje solicitado en el circuito utilizando los voltajes de nodo.
Vamos a ilustrar el paso 2 escribiendo la ecuación de nodo para el nodo V1 del siguiente fragmento de circuito:
Primero, encuentre la corriente del nodo V1 al nodo V2. Usaremos la Ley de Ohm en R1. El voltaje a través de R1 es V1 - V2 - VS1
Y la corriente a través de R1 (y del nodo V1 al nodo V2) es
Tenga en cuenta que esta corriente tiene una dirección de referencia que apunta hacia afuera de la V1 nodo. Usando la convención para corrientes que apuntan desde un nodo, debe tenerse en cuenta en la ecuación del nodo con un signo positivo.
La expresión actual de la rama entre V1 Y V3 será similar, pero desde VS2 está en la dirección opuesta de VS1 (lo que significa el potencial del nodo entre VS2 Y R2 es V3-VS2), la corriente es
Finalmente, debido a la dirección de referencia indicada, yoS2 debería tener un signo positivo y yoS1 Un signo negativo en la ecuación de nodo.
La ecuación de nodo:
Ahora veamos un ejemplo completo para demostrar el uso del método de potencial de nodo.
Encuentre el voltaje V y las corrientes a través de las resistencias en el circuito a continuación
Como solo tenemos dos nodos en este circuito, podemos reducir la solución a la determinación de una cantidad desconocida. el nodo inferior como nodo de referencia, el voltaje del nodo desconocido es el voltaje para el que estamos resolviendo, V.
La ecuación nodal para el nodo superior:
Numéricamente:
Multiplica por 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0
Por lo tanto: V = 10 V
Sys v
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fin;
V = [10]
importar numpy como n, sympy como s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Escribe la matriz de los coeficientes:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Escribe la matriz de las constantes:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
imprimir(“%.3f”%V)
#Solución simbólica con sympy solve
V= s.símbolos('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
imprimir(sol)
Ahora determinemos las corrientes a través de las resistencias. Esto es fácil, ya que se utilizan las mismas corrientes en la ecuación nodal anterior.
{¡Usa el método de potencial de nodo!}
Sys v
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fin;
V = [10]
{Las corrientes de las resistencias}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]
Podemos verificar el resultado con TINA simplemente activando el modo interactivo DC de TINA o utilizando el comando Análisis / Análisis DC / Voltajes nodales.
A continuación, solucionemos el problema que ya se usó como el último ejemplo de Las leyes de kirchhoff capítulo
Encuentra los voltajes y corrientes de cada elemento del circuito.
Al elegir el nodo inferior como nodo de referencia de potencial 0, el voltaje nodal de N2 será igual a VS3,: j2 = por lo tanto, solo tenemos un voltaje nodal desconocido. Puede recordar que anteriormente, utilizando el conjunto completo de ecuaciones de Kirchhoff, incluso después de algunas simplificaciones, teníamos un sistema lineal de ecuaciones de 4 incógnitas.
Escribiendo las ecuaciones de nodo para el nodo N1, denotemos el voltaje nodal de N1 by j1
La simple ecuación a resolver es:
Numéricamente:
Multiplicando por 330, obtenemos:
3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
Despues de calcular j1, Es fácil calcular las otras cantidades en el circuito.
Las corrientes
IS3 = IR1 - YoR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A
Y los voltajes:
VIs = j1 = 285 V
VR1= (j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V
VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V
VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V
Puede observar que con el método de potencial de nodo todavía necesita algunos cálculos adicionales para determinar las corrientes y los voltajes del circuito. Sin embargo, estos cálculos son muy simples, mucho más simples que resolver sistemas de ecuaciones lineales para todas las cantidades de circuitos simultáneamente.
Podemos verificar el resultado con TINA simplemente activando el modo interactivo DC de TINA o usando el comando Análisis / Análisis DC / Voltajes nodales.
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Veamos más ejemplos.
ejemplo 1
Encuentra el actual I.
En este circuito hay cuatro nodos, pero como tenemos una fuente de voltaje ideal que determina el voltaje del nodo en su polo positivo, deberíamos elegir su polo negativo como nodo de referencia. Por lo tanto, realmente solo tenemos dos potenciales de nodo desconocidos: j1 y j2 .
Las ecuaciones para los nodos de potenciales. j1 y j2:
Numéricamente:
Para resolver esto, multiplique la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, luego agregue las dos ecuaciones:
11j1 = 220
y por lo tanto j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V
Finalmente la corriente desconocida:
La solución de un sistema de ecuaciones lineales también se puede calcular usando Regla de Cramer.
Vamos a ilustrar el uso de la regla de Cramer resolviendo el sistema anterior nuevamente.
1. Rellena la matriz de los coeficientes de incógnitas:
2. Calcular el valor de la determinante de la matriz D.
| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22
3. Coloque los valores del lado derecho en la columna de los coeficientes de la variable desconocida y luego calcule el valor del determinante:
4.Divide los determinantes recién encontrados por el determinante original, para encontrar las siguientes razones:
Por lo tanto j1 = 20 V y j2 = 25 V
Para verificar el resultado con TINA, simplemente active el modo interactivo DC de TINA o use el comando Análisis / Análisis DC / Voltajes nodales. Tenga en cuenta que el uso de Pin de voltaje componente de TINA, puede mostrar directamente los potenciales de nodo suponiendo que el Polo a Tierra El componente está conectado al nodo de referencia.
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
fin;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
importar números como n
#Tenemos un sistema de
#ecuaciones lineales que
#queremos resolver para fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Escribe la matriz de los coeficientes:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Escribe la matriz de las constantes:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Es]])
x=n.finalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
imprimir(“fi1= %.3f”%fi1)
imprimir(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
imprimir(“Yo= %.3f”%Yo)
Ejemplo 2.
Encuentra el voltaje de la resistencia R4.
R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm
En este caso, es práctico elegir el polo negativo de la fuente de voltaje VS2 como el nodo de referencia porque entonces el polo positivo de la VS2 La fuente de voltaje tendrá VS2 = Potencial de 150 nodos. Sin embargo, debido a esta elección, el voltaje V requerido es opuesto al voltaje del nodo N4; por lo tanto V4 = - V.
Las ecuaciones:
Aquí no presentamos los cálculos manuales, ya que las ecuaciones pueden ser resueltas fácilmente por el intérprete de TINA.
{¡Usa el método de potencial de nodo!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
fin;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
importar números como n
# ¡Utilice el método de potencial de nodo!
#Tenemos un sistema de ecuaciones lineales que queremos resolver.
#para V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Escribe la matriz de los coeficientes:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Escribe la matriz de las constantes:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
imprimir(“V= %.4f”%V)
Para verificar el resultado con, TINA simplemente active el modo interactivo DC de TINA o use el comando Análisis / Análisis DC / Voltajes nodales. Tenga en cuenta que tenemos que colocar algunos pines de voltaje en los nodos para mostrar los voltajes de los nodos.
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