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La Teorema de Fourier establece que cualquier forma de onda periódica se puede sintetizar agregando términos seno y coseno apropiadamente ponderados de varias frecuencias. El teorema está bien cubierto en otros libros de texto, por lo que solo resumiremos los resultados y mostraremos algunos ejemplos.

Deje que nuestra función periódica sea f (t) = f (t ±nT) donde T es el tiempo de un período yn es un número entero.

w₀= 2p/ T La frecuencia angular fundamental.

Por el Teorema de Fourier, la función periódica se puede escribir como la siguiente suma:

donde

A_n y B_n son el Coeficientes de Fourier y la suma es la series de Fourier.

Otra forma, probablemente un poco más práctica:

donde

A₀ = C₀ es el DC o valor promedio, A₁, B₁ y C₁ son los componentes fundamentales, y los otros son los términos armónicos.

Si bien es posible que solo se requieran unos pocos términos para aproximar algunas formas de onda, otros requerirán muchos términos.

En general, cuantos más términos se incluyen, mejor es la aproximación, pero para formas de onda que contienen pasos, como impulsos rectangulares, el Fenómeno de Gibbs entra en juego. A medida que aumenta el número de términos, el exceso se concentra en un período de tiempo cada vez menor.

An Incluso función f (t) = f (-t) (simetría de eje) requiere solo términos coseno.

An Función impar f (t) = - f (-t) (simetría de puntos) requiere solo términos sinusoidales.

Una forma de onda con simetría de espejo o de media onda Sólo tiene odd armónicos en su representación de Fourier.

Aquí no trataremos con la expansión de la serie de Fourier, sino que solo usaremos una suma dada de senos y cosenos como una excitación para un circuito.

En los capítulos anteriores de este libro, tratamos la excitación sinusoidal. Si el circuito es lineal, el teorema de superposición es válida. Para una red con excitación periódica no senoidal, la superposición nos permite calcule las corrientes y los voltajes debidos a cada término sinusoidal de Fourier uno a la vez. Cuando todos se calculan, finalmente resumimos los componentes armónicos de la respuesta.

Es un poco complicado determinar los diferentes términos de los voltajes y corrientes periódicas y, de hecho, puede producir una sobrecarga de información. En la práctica, nos gustaría simplemente hacer mediciones. Podemos medir los diferentes términos armónicos usando un analizador de armónicos, analizador de espectro, analizador de ondas o analizador de Fourier. Todos estos son complicado y probablemente produzca más datos de los necesarios. A veces es suficiente describir una señal periódica solo por sus valores promedio. Pero hay varios tipos de mediciones promedio.

PROMEDIO VALORES

Promedio simple or DC El término se vio en la representación de Fourier como A₀

Este promedio se puede medir con instrumentos como el Deprez Instrumentos DC.

Valor efectivo or rms (raíz cuadrada media) tiene la siguiente definición:

Este es el valor promedio más importante porque el calor disipado en las resistencias es proporcional al valor efectivo. Muchos voltímetros digitales y algunos analógicos pueden medir el valor efectivo de voltajes y corrientes.

Media absoluta

Este promedio ya no es importante; Los instrumentos anteriores midieron esta forma de promedio.

Si conocemos la representación de Fourier de una forma de onda de voltaje o corriente, también podemos calcular los valores promedio de la siguiente manera:

Promedio simple or DC El término se vio en la representación de Fourier como A₀ = C₀

Valor efectivo or rms (raíz cuadrática media) es, después de integrar la serie de Fourier del voltaje:

La factor klirr es una relación muy importante de los valores promedio:

Es la relación del valor efectivo de los términos armónicos más altos. al valor efectivo del armónico fundamental:

Parece haber una contradicción aquí: resolvemos la red en términos de componentes armónicos, pero medimos cantidades promedio.

Ilustremos el método con ejemplos simples:

ejemplo 1

Encuentre la función de tiempo y el valor efectivo (rms) del voltaje v_C(T)

Intenta usar el teorema de superposición para resolver el problema.

El primer paso es encontrar la función de transferencia en función de la frecuencia. Para simplificar, use la sustitución: s = j w

Ahora sustituya los valores de los componentes y s = jk w₀donde k = 0; 1; 3 en este ejemplo y w₀= 30 krad / s. En V, A, ohm, mUnidades F y Mrad / s:

Es útil usar una tabla para organizar los pasos de la solución numérica:

Podemos resumir los pasos de la solución de superposición en otra tabla. Como ya hemos visto, para encontrar el valor pico complejo de un componente, debemos multiplicar el valor pico complejo del componente de la excitación por el valor de la función de transferencia compleja.:

Y finalmente podemos dar la función de tiempo conociendo los valores pico complejos de los componentes:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

El valor eficaz (eficaz) de la tensión es:

Como puede ver, el instrumento de medición de TINA mide este valor rms.

ejemplo 2

Encuentre la función de tiempo y el valor efectivo (rms) de la corriente i (t)

Intenta resolver el problema usando el teorema de superposición.

Ahora sustituya los valores numéricos y s = jk w_0,donde k = 0; 1; 3 en este ejemplo.

En V, A, ohm, mUnidades F y Mrad / s:

Es útil usar una tabla durante la solución numérica:

Podemos resumir los pasos de la superposición en otra tabla. Como ya hemos visto, para encontrar el valor pico de un componente, debemos multiplicar el valor pico complejo de ese componente de la excitación por el valor de la función de transferencia compleja. Use los valores pico complejos de los componentes de la excitación:

Y finalmente, conociendo los valores máximos complejos de los componentes, podemos establecer la función de tiempo:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [UN]

TEl valor eficaz de la corriente:

A menudo puede hacer una comprobación de cordura para parte de la solución. Por ejemplo, un condensador puede tener un voltaje de CC pero no una corriente de CC.

ejemplo 3

Obtenga la función de tiempo de la tensión V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohmios, L = 25 mH, y

El primer paso es encontrar la función de transferencia:

Sustituyendo valores numéricos en unidades V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Fusionando las dos tablas:

k V Sk		V abk
0 50		50
1 80		79.3 correo-j66.3
2 30 ej60		29.7 correo-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

y el valor eficaz: