KIRCHHOFFI SEADUSED AC CIRCUITSis

Klõpsake või puudutage allpool asuvaid näidisahelaid, et kutsuda TINACloud ja valige interaktiivne alalisrežiim nende analüüsimiseks võrgus.
Saate madala hinnaga juurdepääsu TINACloud'ile, et muuta näiteid või luua oma ahelaid

THÉVENIN JA NORTON EQUIVALENT CIRCUITS

NODE POTENTSIAALNE JA KESKMINE JOOKSEV MEETOD AC CIRCUITSis

Nagu me juba nägime, saab sinusoidaalse ergutusega ahelaid lahendada kasutades keerukad takistused elementide ja keeruline tipp or keeruline rms väärtused voolude ja pingete jaoks. Kirchhoffi seaduste kompleksväärtuste versiooni kasutades saab vahelduvvooluahelate lahendamiseks sarnaselt alalisvooluahelatele kasutada sõlmede ja võrgusilma analüüsi tehnikaid. Selles peatükis näitame seda Kirchhoffi seaduste näidete kaudu.

Näiteks 1

Leidke voolu i amplituud ja faasinurk_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pjalga; i (t) = I_SM cos 2pjalga; V_SM = 10 V; I_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohm; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Kokku on meil 10 tundmatut pinget ja voolu, nimelt: i, i_C1,_R,_L,_C2sisse_C1sisse_Rsisse_Lsisse_C2 ja v_IS. (Kui kasutame pingete ja voolude keerukaid tipp- või ruutväärtusi, on meil kokku 20 tegelikku võrrandit!)

Võrrandid:

Silmus või võrgusilma võrrandid: M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_IsM = 0

Ohmi seadused V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

N noodli võrrand₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

seeriaelementide puhul I = I_C1M

Võrrandisüsteemi lahendades leiate tundmatu voolu:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°)

Nii suure keerukate võrrandite süsteemi lahendamine on väga keeruline, nii et me pole seda üksikasjalikult näidanud. Iga keeruline võrrand viib kahe reaalse võrrandini, seega näitame lahendust ainult TINA tõlgi abil arvutatud väärtuste põhjal.

TINA tõlki kasutav lahendus:

{TINA tõlgi lahendus}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Kas: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr = Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2- on {N1}
{Ohmi reeglid}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
lõppu;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * kaar (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]

#Pythoni lahendus
import sympy kui s
import cmath kui c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formaat(Z)
om=20000*c.pi
Vs = 10
on = 1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols ('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
print (Ivs)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

Lahendus kasutades TINA:

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Selle probleemi käsitsi lahendamiseks töötage keerukate takistustega. Näiteks R, L ja C₂ on ühendatud paralleelselt, nii et saate vooluahelat lihtsustada, arvutades nende paralleelne ekvivalent. || tähendab impedantside paralleelset ekvivalenti:

Arvuliselt:

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Impedantsi kasutav lihtsustatud vooluring:

Võrrandid järjestatud kujul: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Seal on neli tundmatut- I; I_Z; V_C1; V_Z - ja meil on neli võrrandit, seega on lahendus võimalik.

Ekspress I pärast teiste tundmatute asendamist võrranditest:

Arvuliselt

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Vastavalt TINA tõlgi tulemusele.

{Lahendus, kasutades impedantsi Z}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Kas: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys ma
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
lõppu;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * kaar (I) / pi = [79.9613]

#Pythoni lahendus
import sympy kui s
import cmath kui c
Replus = lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
Vs = 10
on = 1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[kompleks(Z) Z jaoks korteežis(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print("abs(I)=",cp(abs(I)))
print(“180*c.faas(I)/c.pi=”,cp(180*c.faas(I)/c.pi))

Voolu ajafunktsioon on siis järgmine:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°)

Kirchhoffi praegust reeglit saate kontrollida faasiskeemide abil. Allolev pilt töötati välja sõlme võrrandi kontrollimisega i-s_Z = i + i_G1vorm. Esimesel diagrammil on kujutatud parallelogrammreegli abil lisatud faasid, teises - faasori liitmise kolmnurkreeglit.

Nüüd demonstreerime KVR-i, kasutades TINA faasiskeemi funktsiooni. Kuna lähtekoha pinge on võrrandis negatiivne, ühendasime voltmeeter tagasi. Faasiskeem illustreerib Kirchhoffi pingereegli algvormi.

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Esimeses faasiskeemis kasutatakse parallelogrammi reeglit, teises aga kolmnurgareeglit.

KVR illustreerimiseks kujul V_C1 + V_Z - V_S = 0, ühendasime uuesti voltmeetri pingeallikaga tahapoole. Näete, et faaskolmnurk on suletud.

Pange tähele, et TINA võimaldab teil baasfunktsioonina kasutada siinus- või koosinusfunktsiooni. Sõltuvalt valitud funktsioonist võivad faasiskeemidel nähtavad komplekssed amplituudid erineda 90º võrra. Põhifunktsiooni saate määrata jaotises Vaade 'Valikud' Vahelduvvoolu baasfunktsioon. Oma näidetes kasutasime alusena alati koosinusfunktsiooni.

Näiteks 2

Leidke kõigi komponentide pinged ja voolud, kui:

v_S(t) = 10 cos wTV, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.

Klõpsa / koputage ülaltoodud ahelat, et analüüsida on-line või klõpsa sellel lingil, et salvestada Windowsis

Olgu tundmatud „passiivsete” elementide pingete ja voolude ning pingeallika voolu komplekssed tippväärtused (i_VS) ja vooluallika pinge (v_IS). Kokku on kaksteist keerulist tundmatut. Meil on kolm sõltumatut sõlme, neli sõltumatut silmust (tähistatud M-ga)_I) ja viis passiivset elementi, mida saab iseloomustada viie “Ohmi seadusega” - kokku on 3 + 4 + 5 = 12 võrrandit:

Noodli võrrandid N jaoks₁ I_VsM = I_R1M + I_C2M

N jaoks₂ I_R1M = I_LM + I_C1M

N jaoks₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = I_R2M

Loop võrrandid M jaoks₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

M jaoks₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

M jaoks₃ V_LM = V_C1M

M jaoks₄ V_R2M = V_IsM

Ohmi seadused V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Ärge unustage, et mis tahes keeruline võrrand võib viia kahe reaalse võrrandini, nii et Kirchhoffi meetod nõuab palju arvutusi. Palju lihtsam on lahendada pingete ja voolude ajafunktsioonide jaoks diferentsiaalvõrrandite süsteemi abil (siin ei käsitleta seda). Kõigepealt näitame TINA tõlgi arvutatud tulemusi:

{TINA tõlgi lahendus}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
lõppu;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (kaar (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (kaar (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (kaar (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (kaar (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (kaar (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (kaar (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (kaar (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (kaar (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (kaar (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (kaar (vL)) = [65.1092]

#Pythoni lahendus
import sympy kui s
importida matemaatikat kui m
import cmath kui c
cp= lambda Z : “{:.4f}”.formaat(Z)
f = 10000
Vs = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+kraadi(faas(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print("degrees(phase(vis))=",cp(m.degrees(c.phase(vis))))
print(“degrees(phase(vr1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print(“degrees(phase(vr2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print(“degrees(phase(ic1))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print(“degrees(phase(ic2))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print(“degrees(phase(vc2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc2))))
print(“degrees(phase(vc1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vc1))))
print("kraadid(faas(iL))=",cp(m.degrees(c.phase(iL))))
print(“kraadid(faas(vL))=”,cp(m.degrees(c.phase(vL))))

Proovige nüüd võrrandeid käsitsi asendamise abil lihtsustada. Esimene asendaja ekv.9. arvesse ekvivalenti 5.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2a.)

siis eq.8 ja eq.9. arvesse eq 5.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

siis ekv. 12., ekv. 10. ja mina_Lekv. 2 arvesse eq.6.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - Mina_C1) = jwLI_R1 - jwL jwC₁ V_C1