COMPLEX ZENBAKIAK

Egin klik beheko edo Idatzi beheko zirkuituak TINACloud deitzeko eta hautatu Lineako DC interaktiboa hautatzeko.
Eskuratu TINACloud-era kostu txikia adibide horiek editatzeko edo zure zirkuituak sortzeko

BERMUDAK ETA LOZOKO EGUNERAKO METODOAK

ALDAKETAKO EGUNERAKO PRINTZIPIOAK

Honetan eta hurrengo kapituluetan, oso gai garrantzitsua aurkeztuko dugu: AC, edo Txandaka. Ordezko izena ez da oso zehatza eta normalean zirkuituak estaltzen ditu tentsio eta korronte sinusoidaleekin; hala ere, korronte alternatiboak uneko uneko uhin forma esan nahi du. AC tentsioaren garrantzia tentsio mota hau mundu osoko etxeetan eta industriako energia elektriko nagusietarako erabiltzen da. Elektronika, telekomunikazio eta industria aplikazio ugariren oinarria ere bada.

Uhin-forma sinusoidalei eta horiei lotutako zirkuituak kudeatzeko, metodo sinple eta dotore bat erabiliko dugu fibrore metodoa. Fasoreek zenbaki konplexuen propietateetan oinarritzen dira, hau da, kantitate sinusoidalei dagokienez idealak dira. Kapitulu honetan, zenbaki konplexuen eta haien eragiketen inguruko gertakarien laburpena egingo dugu. Era berean, TINA-ren Interpretatzaileak zenbaki konplexuekin kalkuluak erraz egitea erakutsiko dugu.

Zenbaki konplexuak bi zati ditu: a benetako parte (x), zenbaki erreala da, eta deiturikoa irudimenezko zatia (y), zenbaki errealak biderkatuta , irudimenezko unitatea. Zenbaki konplexua zberaz, honela deskribatu daiteke:

z = x + jy

non .

Zenbaki konplexuen adibideak:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Zenbaki konplexuak XVII. Mendean sortu ziren jatorriz zenbaki errealekin soilik ezin ziren polinomioen erroak irudikatzeko. Adibidez, x ekuazioaren erroak²+ 2x + 2 = 0 soilik deskribatu daiteke , edo idazkera erabiliz , z₁= 1 + j z₂= 1- j. Adierazpen berria erabiliz, adierazpenen propietateak ikertzeko, matematikariek teoremak frogatu eta ordura arte konpondu ezinezkoak ziren arazoak konpontzeko gai izan ziren. Honek aljebra eta funtzio konplexuak landu zituen, gaur egun matematikan eta ingeniaritzan oso erabiliak.

Zenbaki konplexuen irudikapen geometrikoa

Forma angeluzuzena

Zenbaki konplexua beti bere zati erreal eta konplexutan bereiz daitekeenez, zenbaki konplexua bi dimentsiotako plano batean adieraz dezakegu. Zenbaki konplexu baten zati erreala puntua ardatz errealaren gainean proiektatzea da, eta zenbakiaren irudimenekoa irudiaren ardatzaren gaineko proiekzioa da. Zenbaki konplexua zati erreal eta irudizkoen batuketa gisa irudikatzen denean, barruan dagoela esaten dugu angeluzuzenak or forma algebraikoa.

Hurrengo irudian zenbaki konplexua erakusten da z = 2 + 4j

Forma polarra eta esponentziala

Goiko irudian ikus daitekeen bezala, A puntua geziaren luzerarekin ere irudikatu liteke, r (balio absolutua, magnitudea edo anplitudea ere deitzen zaio), eta haren angelua (edo fasea), φ erlatiboa erlojuaren noranzkoan ardatz horizontal positiboarekin. Hau da polar zenbaki konplexu baten forma. R ∠ gisa adierazten da φ.

Hurrengo urratsa oso garrantzitsua da. Polar forma kopuru konplexu bat ere idatz daiteke esponentzialean inprimakia:

Adierazpen sinple hau bereizgarria da, irudizko zenbaki bat duelako osagaian, benetako zenbaki arruntaren ordez. Esponentzial konplexu hau argumentu erreala duen funtzio esponentzialen oso desberdina da. E bitartean^x magnitude bizkor hazten da x> 0 handitzeko eta gutxitzen da x <0, funtzioa magnitude bera du (z = 1) any edozeinentzat. Gainera, haren balio konplexuak unitate zirkuluan daude.

Euleren formulak lotura bateratzaileak eskaintzen ditu zenbaki konplexuen forma angeluzuzeneko, polar eta esponentzialen artean:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j gabe φ )

non

φ = tan^-1(Y / x).

Goiko adibidearentzat, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

hortaz .

Edo alderantziz:

Bi inprimakiak erabiltzeko ohitura izan beharko duzu, aplikazioaren arabera. Adibidez, batuketak edo kenketak errazago egiten dira zenbakiak forma laukizuzenean daudenean, eta biderketa eta zatiketa errazagoak dira zenbakiak forma esponentzialetan daudenean.

Zenbaki konplexuak dituzten eragiketak

Zenbaki konplexuekin egin daitezkeen eragiketak zenbaki errealen antzekoak dira. Arauak eta zenbait definizio berri jarraian laburbiltzen dira.

Operazioak j

Eragiketak j besterik gabe, irudimenezko unitatearen definizioari jarraituz

Azkar eta zehaztasunez lan egiteko gai izan, arau hauek ikasi beharko dituzu:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

froga:

j² = -1, besterik gabe, definizioaren ondorioz geroztik

1 /j, 1 / biderkatzen dugujby j / j = 1 eta lortu j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Konjugatu konplexua

Zenbaki konplexu baten konjugatu konplexua erraz eratorri eta oso garrantzitsua da. Zenbaki konplexu baten konjugatu konplexua inprimaki angeluzuzenean lortzeko, aldatu irudimenezko zatia. Esponentzialean zenbaki batentzat egiteko, aldatu zenbaki konplexuaren angeluaren zeinua, bere balio absolutua bera mantenduz.

Zenbaki konplexu baten konjugatu konplexua z askotan adierazten da z^*.

Zenbaki konplexua kontuan hartuta z= + A jb, bere konjugazio konplexua da z^*= a- jb.

If z esponentzialean ematen da , bere konjugatu konplexua da

Goiko definizioak erabiliz, erraza da bere konjugatu konplexuaz biderkatutako zenbaki konplexu bat zenbaki konplexuaren balio absolutuaren laukia ematen duela:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Halaber, zenbaki konplexu eta bere konjokatua gehitzean edo kentzean, honako harreman hauek lortzen ditugu:

z + z ^* = 2a

hortaz

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Era berean:

z - z ^* =j2b

hortaz

im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

froga:

edo benetako eta irudimenezko zatiak biderkatuz eta erabiltzea j²= -1

zz^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = + A jb + a - jb = 2a

z - z^*= + A jb - a + jb =j2b

Zenbakizko adibideak:

Forma angeluzuzena:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Inprimaki polarean

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Esponentzialean:

Batuketa eta kenketa

Zenbaki konplexuen batuketa eta kenketa zuzena da; zati errealak eta irudimenekoak soilik gehitu behar ditugu. Adibidez, bada

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

ondoren

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j 3 +j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Jakina, operazio hauetarako forma laukizuzena erabili beharko genuke. Zenbakiak forma esponentzial edo polarrean ematen badira, lehenik forma laukizuzenean eraldatu beharko ditugu Eulerren formula erabilita, lehen esan bezala.

Biderketako

Zenbaki konplexuak biderkatzeko bi metodo daude -

Forma angeluzuzenean emandako zenbaki konplexuen biderketa

Eragiketa burutzeko, besterik gabe, biderkatu zenbaki bateko zati errealak eta imaginarioak beste zenbakiaren zati errealak eta imaginarioak erabiliz eta erabili identitatea j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Zenbaki konplexuak zenbakizkoak ematen direnean, ez da beharrezkoa goiko formula erabili. Adibidez, utzi

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

Osagaien zuzeneko biderketa batekin:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

edo formula erabiliz: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Uste dugu gehiago litekeena dela errorea egitea formula osagaiak zuzenean biderkatzen badituzu baino.

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z1=konplexua('3-4j')
z2=konplexua('2+3j')
inprimatu ("z1*z2=",z1*z2)

Forma polar edo esponentzialean emandako zenbaki konplexuen biderkapena

Eragiketa hau egiteko, balio absolutuak biderkatu eta bi zenbaki konplexuen angeluak gehitu. Demagun:

Ondoren, funtzio esponentzialen biderketaren araua erabiliz:

edo forma polarean

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+₂

Oharra: kalkulatu dugunean, dagoeneko arau hau erabili dugu zz ^*gainetik. Konjugatuen angeluak jatorrizko angeluaren kontrako zeinuak dituenez, konjugatu propioak biderkatutako zenbaki konplexua beti da benetako zenbakia; hots, bere balio absolutuaren karratua: zz ^*= r²

Adibidez, utzi:

z₁ = 5 ∠ 30 ° eta z₂ = 4 ∠ -60 °

ondoren

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

edo esponentzialki

Biderketa errazagoa da zenbakiak polar edo esponentzialean daudenean.

Hala ere, zenbaki konplexuak forma laukizuzenean ematen badira, biderkadura zuzenean burutzea pentsatu beharko zenuke, izan ere, pauso osagarriak daude zenbakiak forma polarra bihurtuz gero biderkatu aurretik. Kontuan hartu beharreko beste faktore bat da erantzunak forma laukizuzenean edo forma polar / esponentziala izan nahi duzun ala ez. Adibidez, bi zenbakiak forma laukizuzenean badaude baina haien produktua forma polarrean nahi baduzu, zentzua du berehala bihurtzea eta gero biderkatzea.

Division

Zenbaki konplexuak banatzeko bi metodo daude -

Forma angeluzuzenean emandako zenbaki konplexuen banaketa

Eragiketa burutzeko, biderkatu zenbakitzailea eta izendatzailea izendatzailearen konjugatuaren arabera. Izendatzailea zenbaki erreala bihurtzen da eta zatiketa bi zenbaki konplexu eta zatiki bat zenbaki erreal baten biderkatzera murrizten da, izendatzailearen balio absolutuaren karratua.

Adibidez, utzi:

z₁ = 3 - 4j z₂= 2 + 3j

Bilatu emaitza hau TINA-ren interpretatzailearekin:

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z1=konplexua('3-4j')
z2=konplexua('2+3j')
inprimatu ("z1/z2=",z1/z2)

Forma polar edo esponentzialean emandako zenbaki konplexuen banaketa

Eragiketa egiteko, balioak (magnitudeak) absolutuak banatu eta izendatzailearen angelua zenbakitzailearen angelutik kentzen da. Demagun:

ondoren, funtzio esponentzialen banaketa araua erabiltzen da

edo forma polarean

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Adibidez, utzi:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° eta z ₂ = 2 ∠ -60 °

ondoren

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

edo forma esponentzial eta angeluzuzenean

Bilatu emaitza hau TINA-ren interpretatzailearekin:

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z1=5*(c.exp(konplexua(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.esp(konplexua(0,m.radians(-60))))
inprimatu ("z1/z2=",z1/z2)

Zatiketa sinpleagoa da, jakina, zenbakiak forma polar edo esponentzialak direnean.

Dena den, zenbaki konplexuak forma laukizuzenean ematen badira, zatiketa zuzenean burutzea kontuan hartu beharko duzu konjugatu konplexuaren metodoa goian erakusten den moduan, izan ere, pauso osagarriak daude zenbakiak banatu aurretik forma polarra bihurtuz gero. Kontuan hartu beharreko beste faktore bat da erantzunak forma laukizuzenean edo forma polar / esponentziala izan nahi duzun ala ez. Adibidez, bi zenbakiak forma laukizuzenean badaude, baina haien zatidura forma polarrean nahi baduzu, zentzua du berehala bihurtzea eta gero banatzea.

Orain, zenbaki konplexuen erabilera zenbakizko arazo gehiagok erakusten digute. Ohikoa den bezala, gure soluzioak egiaztatuko ditugu TINA-ren Interpretariarekin. Interpreteak radianez funtzionatzen du, baina funtzio estandarrak ditu radianak graduetara edo alderantziz bihurtzeko.

Adibidea 1 Aurkitu polar ordezkaritza:

z = 12 - j 48

edo 49.48 ∠ - 75.96 °

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z: = 12-J * 48;
abs (z) = [49.4773]
arkua (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arku (z)) = [- 75.9638]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z=12-konplexua (48j)
inprimatu ("abs(z)=",abs(z))
inprimatu ("arkua(z)=",c.fasea(z))
inprimatu(“gradu(arku(z))=”,m.gradu(c.fase(z)))

Adibidea 2 Bilatu irudikapen angeluzuzena:

z = EZ e ^j¹²⁵ ^°

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z=25*c.exp(konplexua(0,m.radians(125)))
inprimatu ("z=",z)
inprimatu("erreala (z)=",z.reala)
inprimatu(“imag(z)=",z.imag)

Adibidea 3 Bilatu honako zenbaki konplexuen irudikapen polarra:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Lau zenbaki guztien balio absolutuak berdinak dira, balio absolutua zeinuetatik independentea delako. Angeluak bakarrik desberdinak dira.

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arkua (z1) = [1.3258]
radtodeg (arku (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-J * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arkua (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arku (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arkua (z3) = [1.8158]
radtodeg (arku (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-J * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arkua (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arku (z4)) = [- 104.0362]

#Python-en irtenbidea:
inportatu matematika m gisa
inportatu cmath gisa c

z1=konplexua('12+48j')
inprimatu ("abs(z1)=",abs(z1))
inprimatu ("arkua (z1) =", c.fasea (z1))
inprimatu("graduak(arkua(z1))=",m.graduak(c.fasea(z1)))

z2=konplexua('12-48j')
inprimatu ("abs(z2)=",abs(z2))
inprimatu ("arkua (z2) =", c.fasea (z2))
inprimatu("graduak(arkua(z2))=",m.graduak(c.fasea(z2)))

z3=konplexua('-12+48j')
inprimatu ("abs(z3)=",abs(z3))
inprimatu ("arkua (z3) =", c.fasea (z3))
inprimatu("graduak(arkua(z3))=",m.graduak(c.fasea(z3)))

z4=konplexua('-12-48j')
inprimatu ("abs(z4)=",abs(z4))
inprimatu ("arkua (z4) =", c.fasea (z4))
inprimatu("graduak(arkua(z4))=",m.graduak(c.fasea(z4)))

TINAren arku () funtzioak zenbaki konplexuen angelua zehazten du eta automatikoki behar bezala kokatzen da lau koadranteetako batean.

Kontuz ibili tanak erabiliz^-1 funtzioa angelua aurkitzeko, lehen eta laugarren koadranteetan (–90 °) angeluetara itzultzera mugatuta baitagoφ<90 °).

Geroztik z₁koordenatu sistemako lehen koadranean dago, kalkulua hau da:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Geroztik z₄Koordenatu sistemaren hirugarren laukian dago^-1ez du angelua behar bezala itzultzen. Angeluaren kalkulua:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° edo -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, hau da, TINAk kalkulatutako berdina.

z₂koordenatu sistemaren laugarren laukian kokatzen da

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Hala ere, 2nd koordenatu sistemako laukian dago hain tan^-1ez du angelua behar bezala itzultzen. Angeluaren kalkulua:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Adibidea 4 Bi zenbaki konplexu ditugu: z₁= 4 - j 6 eta z₂ = EZ e^j⁴⁵ ^° .

Aurki z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Lehenik eta behin arazoa TINA-ren Interpretatzailea erabiliz konpontzen dugu

{Irtenbidea TINAren interpretearen eskutik}
z1: = 4-J * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Ohar zaitez TINA-k modu errazetan kudeatzen dituen bi zenbaki konplexuak forma desberdinetan.

Irtenbidea konplikatuagoa da interpreterik gabe. Biderketa eta zatiketa metodo ezberdinak alderatu ditzagun, lehenengo forma polarra zehaztuko dugu z₁ eta forma laukizuzena z₂.

Jarraian, lau irtenbide aurkitzen ditugu formarik errazenak erabiliz: laukizuzenak batuketak eta kenketak egiteko, eta biderkadura eta zatiketarako esponentzialak: