COMPLEX NUMBERS

Voit käynnistää TINACloudin valitsemalla tai napauttamalla alla olevia esimerkkipiirejä ja valitsemalla Interactive DC -tilan niiden analysoimiseksi verkossa.
Saat edullisen pääsyn TINACloudiin muokata esimerkkejä tai luoda omia piirejäsi

MESH- JA LOOP-KESTÄVÄT MENETELMÄT

VAIHTOEHTOJA KOSKEVAT PERIAATTEET

Tässä ja seuraavissa luvuissa esitämme erittäin tärkeän aiheen: AC tai vaihtovirta. Vaihtovirran nimi ei ole kovin tarkka ja tavallisesti kattaa piirit, joissa on sinimuotoisia jännitteitä ja virtoja; vaihtovirta voi kuitenkin tarkoittaa myös mitä tahansa mielivaltaista virran aaltomuotoa. Verkkojännitteen merkitys on, että tällaista jännitettä käytetään pääasiassa sähkökäyttöön kotitalouksissa ja teollisuudessa kaikkialla maailmassa. Se on myös perusta monille elektroniikan, tietoliikenteen ja teollisuuden sovelluksille.

Sinisoidisten aaltomuotojen ja niihin liittyvien piirien käsittelemiseksi käytämme yksinkertaista ja tyylikästä menetelmää, jota kutsutaan vaiheiden menetelmiksi. Phasorit perustuvat monimutkaisten numeroiden ominaisuuksiin, jotka ovat ihanteellisia sinimuotoisten määrien esittämiselle. Tässä luvussa me tiivistämme tärkeimmät tiedot monimutkaisista numeroista ja niiden toiminnasta. Näytämme myös, miten TINA: n tulkki helpottaa laskelmien tekemistä monimutkaisilla numeroilla.

Monimutkaiset numerot koostuvat kahdesta osasta, a todellinen osax), joka on todellinen numero ja niin kutsuttu kuvitteellinen osa (y), joka on todellinen luku kerrottuna , kuvitteellinen yksikkö. Monimutkainen numero zsiksi voidaan kuvata seuraavasti:

z = x + jy

jossa .

Esimerkkejä monimutkaisista numeroista:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Monimutkaiset numerot otettiin alun perin käyttöön XNUMX-luvulla edustamaan polynomien juuria, joita ei voitu esittää yksinomaan todellisilla lukuilla. Esimerkiksi yhtälön x juuret²+ 2x + 2 = 0 voidaan kuvata vain nimellä ja , tai käyttämällä merkintää , z₁= 1 + j ja z₂= 1- j. Käyttämällä uutta merkintää lausekkeiden ominaisuuksien tutkimiseen, matemaatikot pystyivät todistamaan lauseet ja ratkaisemaan ongelmat, joita siihen saakka oli ollut vaikeaa tai jopa mahdotonta ratkaista. Tämä johti monimutkaisten algebran ja monimutkaisten toimintojen kehittämiseen, joita nykyään käytetään laajalti matematiikassa ja tekniikassa.

Kompleksilukujen geometrinen esitys

Suorakulmainen muoto

Koska monimutkainen luku voidaan aina jakaa sen todellisiin ja monimutkaisiin osiin, voimme esittää kompleksimäärän pisteenä kaksiulotteisessa tasossa. Kompleksiluvun todellinen osa on pisteen projektio todelliselle akselille, ja luvun kuvitteellinen osa on projektio kuvitteelliseen akseliin. Kun kompleksiluku esitetään todellisten ja kuvitteellisten osien summana, sanotaan, että se on suorakulmainen or algebrallinen muoto.

Seuraava kuva esittää kompleksiluvun z = 2 + 4j

Polaarinen ja eksponentiaalinen muoto

Kuten yllä olevasta kuvasta voidaan nähdä, pistettä A voisi myös edustaa nuolen pituus, r (jota kutsutaan myös absoluuttiseksi arvoksi, suuruudeksi tai amplitudiksi) ja sen kulma (tai vaihe), φ suhteessa vastapäivään positiiviseen vaaka-akseliin. Tämä on napa- kompleksiluvun muodossa. Sitä merkitään nimellä r ∠ φ.

Seuraava askel on erittäin tärkeä. Myös polaarisessa muodossa oleva kompleksiluku voidaan kirjoittaa räjähdysmäinen muoto:

Tämä yksinkertainen lauseke on erottuva siinä mielessä, että sen eksponentissa on kuvitteellinen luku tavanomaisen reaaliluvun sijasta. Tämä monimutkainen eksponentiaalinen käyttäytyy hyvin eri tavalla kuin eksponentiaalinen funktio todellisella argumentilla. Vaikka e^x kasvaa nopeasti suuruudeltaan, kun x> 0 kasvaa, ja pienenee, kun x <0, funktio on sama suuruusluokka (z = 1) mille tahansa φ. Lisäksi sen monimutkaiset arvot sijaitsevat yksikköympyrällä.

Eulerin kaava tarjoaa yhdistävän linkin kompleksisten numeroiden suorakulmaisten, polaaristen ja eksponentiaalisten muotojen välillä:

z = x + jy = uudelleen ^jφ = r (cos φ + j synti φ )

jossa

ja φ = tan^-1(Y / x).

Yllä oleva esimerkki z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

siksi .

Tai päinvastoin:

Sinun on oltava taitava käyttämään molempia lomakkeita sovelluksesta riippuen. Esimerkiksi summaaminen tai vähentäminen on selvästi helpompaa tehdä, kun numerot ovat suorakaiteen muotoisia, kun taas kertoaminen ja jakaminen on helpompaa, kun numerot ovat eksponentiaalisessa muodossa.

Toiminnot, joissa on monimutkaisia numeroita

Operaatiot, jotka voidaan suorittaa kompleksilukuilla, ovat samanlaisia kuin reaaliluvut. Säännöt ja eräät uudet määritelmät on esitetty yhteenvetona alla.

Toiminnot j: n kanssa

Toiminnot j seuraa yksinkertaisesti kuvitteellisen yksikön määritelmää,

Jotta voisit työskennellä nopeasti ja tarkasti, sinun tulee muistaa nämä säännöt:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Todiste:

j² = -1 yksinkertaisesti seuraa määritelmästä , Koska

1 /j, kerrotaan 1 /jby j / j = 1 ja saat j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Monimutkainen konjugaatti

Kompleksin monimutkainen konjugaatti on helposti johdettavissa ja on melko tärkeä. Kompleksiluvun monimutkaisen konjugaatin saamiseksi suorakulmaisessa muodossa yksinkertaisesti vaihda kuvitteellisen osan merkki. Jos haluat tehdä numeron eksponentiaalimuodossa, muuta kompleksiluvun kulman merkkiä säilyttäen samalla absoluuttisen arvonsa.

Kompleksin kompleksin konjugaatti z on usein merkitty z^*.

Kun otetaan huomioon monimutkainen numero z= A + jb, sen kompleksikonjugaatti on z^*= a- jb.

If z annetaan eksponenttisessa muodossa, , sen kompleksikonjugaatti on

Käyttäen yllä olevia määritelmiä on helppo nähdä, että monimutkainen luku, joka on kerrottu sen kompleksikonjugaatilla, antaa kompleksiluvun absoluuttisen arvon neliön:

ZZ^* = r²= a^{2 +}b²

Lisäämällä tai vähentämällä minkä tahansa kompleksiluvun ja sen konjugaatin saamme myös seuraavat suhteet:

z + z ^* = 2a

siksi

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Samalla lailla:

z - z ^* =j2b

siksi

Olen(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Todiste:

tai kertomalla todelliset ja kuvitteelliset osat ja käyttämällä j²= -1

ZZ^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - a + jb =j2b

Numeeriset esimerkit:

Suorakulmaisessa muodossa:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 + 16 = 25

Polaarisessa muodossa

z = 5 - 53.13 °

z ^* = 5 - 53.13 °

Eksponenttisessa muodossa:

Yhteen-ja vähennyslasku

Kompleksien lukujen lisääminen ja vähennys on suoraviivaista - meidän on lisättävä vain todellinen ja kuvitteellinen osa erikseen. Esimerkiksi, jos

z₁ = 3 - 4j ja z₂= 2 + 3j

sitten

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Meidän on tietenkin käytettävä suorakaiteen muotoa näihin toimintoihin. Jos numerot annetaan eksponentiaalisessa tai polaarisessa muodossa, meidän on muutettava ne ensin suorakaiteen muotoon käyttämällä Eulerin kaavaa, kuten aiemmin on annettu.

Kertolasku

Kompleksilukujen kertomiseen on kaksi menetelmää -

Monimutkaisten numeroiden kertominen suorakulmaisessa muodossa

Operaation suorittamiseksi kerrotaan vain yhden numeron todelliset ja kuvitteelliset osat vuorotellen toisen numeron todellisilla ja kuvitteellisilla osilla ja käytä identiteettiä j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Kun kompleksiluvut annetaan numeerisesti, edellä olevaa kaavaa ei tarvitse käyttää. Anna esimerkiksi

z₁ = 3 - 4j ja z₂= 2 + 3j

Komponenttien suora kertominen:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

tai käyttäen kaavaa: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Uskomme, että olet todennäköisempää tehdä virheen, jos käytät kaavaa kuin jos kerrotat komponentit suoraan.

{TINAn tulkin ratkaisu}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z1=kompleksi('3-4j')
z2=kompleksi('2+3j')
tulosta (“z1*z2=”,z1*z2)

Polaaristen tai eksponentiaalisten muodossa olevien kompleksilukujen kertominen

Voit suorittaa tämän toiminnon kertomalla absoluuttiset arvot ja lisäämällä kahden kompleksiluvun kulmat. Päästää:

Sitten käytetään eksponenttitoimintojen kertolaskua:

tai polaarisessa muodossa

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Huomaa: Olemme jo käyttäneet tätä sääntöä laskettaessa ZZ ^*edellä. Koska konjugaatin kulmalla on vastakkainen merkki alkuperäisestä kulmasta, kompleksi luku kerrottuna omalla konjugaatilla on aina todellinen luku; nimittäin sen absoluuttisen arvon neliö: ZZ ^*= r²

Anna esimerkiksi:

z₁ = 5 ~ 30 ° ja z₂ = 4 - 60 °

sitten

z₁z₂ = 20 - 30 °

tai eksponentiaalisesti

Kertominen on ilmeisesti yksinkertaisempaa, kun numerot ovat polaarisessa tai eksponentiaalisessa muodossa.

Jos kompleksiluvut on kuitenkin annettu suorakulmaisessa muodossa, sinun tulee harkita kertolaskutoimituksen suorittamista yllä esitetyllä tavalla, koska on olemassa lisävaiheita, jos muunnat numerot polaarimuotoon ennen niiden kertomista. Toinen huomioon otettava tekijä on, haluatko vastausten olevan suorakaiteen muotoisia vai polaarisia / eksponentiaalisia. Jos esimerkiksi kaksi numeroa ovat suorakaiteen muotoisia, mutta haluat niiden tuotteen polaarimuodossa, on järkevää muuttaa ne välittömästi ja kertoa ne.

Divisioona

Kompleksilukujen jakamiseen on kaksi tapaa -

Monimutkaisten numeroiden jakaminen suorakulmaisena

Operaatio suoritetaan kertomalla osoitin ja nimittäjä nimittäjän konjugaatiolla. Nimittäjästä tulee todellinen luku ja jako pelkistetään kahden kompleksinumeron kertomiseen ja jakamiseen todellisella numerolla, nimittäjän absoluuttisen arvon neliöllä.

Esimerkiksi anna:

z₁ = 3 - 4j ja z₂= 2 + 3j

Tarkistetaan tämä tulos TINA: n tulkki:

{TINAn tulkin ratkaisu}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z1=kompleksi('3-4j')
z2=kompleksi('2+3j')
tulosta (“z1/z2=”,z1/z2)

Polaaristen tai eksponentiaalisten muodossa olevien monimutkaisten numeroiden jakaminen

Voit suorittaa toiminnon jakamalla absoluuttiset arvot (suuruudet) ja vähentämällä nimittäjän kulman lukijan kulmasta. Päästää:

sitten käyttämällä eksponentiaalisten toimintojen jakamisen sääntöä

tai polaarisessa muodossa

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Anna esimerkiksi:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° ja z ₂ = 2 ∠ -60 °

sitten

z ₁ / z₂ = 2.5 - 90 °

tai eksponentiaalisesti ja suorakaiteen muotoisina

Tarkistetaan tämä tulos TINA: n tulkki:

{TINAn tulkin ratkaisu}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z1=5*(c.exp(kompleksi(0,m.radiaanit(30))))
z2=2*(c.exp(kompleksi(0,m.radiaanit(-60))))
tulosta (“z1/z2=”,z1/z2)

Jako on selvästi yksinkertaisempaa, kun luvut ovat polaarisessa tai eksponentiaalisessa muodossa.

Jos kompleksiluvut on kuitenkin annettu suorakulmaisessa muodossa, sinun tulee harkita jakamisen suorittamista suoraan kompleksin konjugaattimenetelmällä, kuten yllä on esitetty, koska on olemassa lisävaiheita, jos muunnat numerot polaarimuotoon ennen jakamista. Toinen huomioon otettava tekijä on, haluatko vastausten olevan suorakaiteen muotoisia vai polaarisia / eksponentiaalisia. Esimerkiksi, jos nämä kaksi numeroa ovat suorakulmaisia, mutta haluat niiden osamäärän polaarimuodossa, on järkevää muuttaa ne välittömästi ja jakaa ne sitten.

Kuvittakaamme nyt monimutkaisten numeroiden käyttöä numeerisempien ongelmien avulla. Kuten tavallista, tarkistamme ratkaisumme käyttämällä TINA: n tulkkia. Tulkki toimii radiaaneilla, mutta sillä on vakiotoiminnot radiaanien muuntamiseksi asteiksi tai päinvastoin.

Esimerkki 1 Etsi polaarinen esitys:

z = 12 - j 48

tai 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINAn tulkin ratkaisu}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
kaari (z) = [- 1.3258]
radtodeg (kaari (z)) = [- 75.9638]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z=12-kompleksi(48j)
tulosta ("abs(z)=",abs(z))
print("kaari(z)=",c.vaihe(z))
print("asteet(kaari(z))=",m.aste(c.phase(z)))

Esimerkki 2 Etsi suorakulmainen esitys:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINAn tulkin ratkaisu}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z=25*c.exp(kompleksi(0,m.radiaanit(125)))
tulosta ("z=",z)
tulosta ("real(z)=",z.real)
tulosta("imag(z)=",z.imag)

Esimerkki 3 Etsi seuraavien monimutkaisten numeroiden polaarinen esitys:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Kaikkien neljän numeron absoluuttiset arvot ovat samat, koska absoluuttinen arvo on riippumaton merkeistä. Vain kulmat ovat erilaisia.

{TINAn tulkin ratkaisu}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
kaari (z1) = [1.3258]
radtodeg (kaari (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
kaari (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (kaari (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
kaari (z3) = [1.8158]
radtodeg (kaari (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
kaari (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (kaari (z4)) = [- 104.0362]

#Pythonin ratkaisu:
tuo matematiikka muodossa m
tuonti cmath nimellä c

z1=kompleksi('12+48j')
tulosta("abs(z1)=",abs(z1))
print("kaari(z1)=",c.vaihe(z1))
print("asteet(kaari(z1))=",m.degrees(c.phase(z1)))

z2=kompleksi('12-48j')
tulosta("abs(z2)=",abs(z2))
print("kaari(z2)=",c.vaihe(z2))
print("asteet(kaari(z2))=",m.degrees(c.phase(z2)))

z3=kompleksi('-12+48j')
tulosta("abs(z3)=",abs(z3))
print("kaari(z3)=",c.vaihe(z3))
print("asteet(kaari(z3))=",m.degrees(c.phase(z3)))

z4=kompleksi('-12-48j')
tulosta("abs(z4)=",abs(z4))
print("kaari(z4)=",c.vaihe(z4))
print("asteet(kaari(z4))=",m.degrees(c.phase(z4)))

TINA-valokaari () -toiminto määrittää minkä tahansa kompleksiluvun kulman sijoittamalla sen automaattisesti oikein yhteen neljästä kvadrantista.

Ole kuitenkin varovainen rusketuksen avulla^-1 toiminto kulman löytämiseksi, koska se on rajoitettu paluukulmiin vain ensimmäisessä ja neljännessä neljänneksessä (–90 °φ<90 °).

Koska z₁sijaitsee koordinaattijärjestelmän ensimmäisessä neljänneksessä, laskenta on:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = rusketus^-1(4) = 75.96 °

Koska z₄sijaitsee koordinaattijärjestelmän kolmannessa neljänneksessä, tan^-1ei palauta kulmaa oikein. Kulman laskenta on:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° tai -360 ° +255.96 ° = - 104.04 °, mikä on sama kuin TINA on laskenut.

z₂sijaitsee koordinaattijärjestelmän neljännessä neljänneksessä Kulman laskenta on:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,on kuitenkin koordinaattijärjestelmän 2nd-kvadrantissa, niin ruskea^-1ei palauta kulmaa oikein. Kulman laskenta on:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Esimerkki 4 Meillä on kaksi monimutkaista numeroa: z₁= 4 - j 6 ja z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Löytää z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Ensinnäkin ratkaisemme ongelman käyttämällä TINA: n tulkkia

{TINAn tulkin ratkaisu}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Huomaa, miten TINA käsittelee vaivattomasti eri muodoissa annettuja kahta monimutkaista numeroa.

Ratkaisu on monimutkaisempi ilman tulkkia. Jotta voimme verrata erilaisia kertolasku- ja jakamismenetelmiä, määritetään ensin polaarimuoto z₁ ja suorakulmainen muoto z₂.

Seuraavaksi löydämme neljä ratkaisua, jotka käyttävät ensin helpointa muotoa: suorakulmainen summaamiseen ja vähentämiseen sekä eksponentiaalinen kertolaskuun ja jakamiseen: