Voit käynnistää TINACloudin valitsemalla tai napauttamalla alla olevia esimerkkipiirejä ja valitsemalla Interactive DC -tilan niiden analysoimiseksi verkossa.
Saat edullisen pääsyn TINACloudiin muokata esimerkkejä tai luoda omia piirejäsi

KIRCHHOFFIN LAIT

MESH- JA LOOP-KESTÄVÄT MENETELMÄT

Kirchhoffin yhtälöiden koko joukkoa voidaan yksinkertaistaa merkittävästi tässä luvussa kuvatulla solmupotentiaalimenetelmällä. Tätä menetelmää käyttämällä Kirchhoffin jännitelaki täyttyy automaattisesti, ja tarvitsemme vain solmuyhtälöiden kirjoittamisen myös Kirchhoffin nykyisen lain täyttämiseksi. Kirchhoffin jännitelain tyydyttäminen saavutetaan käyttämällä solmupotentiaaleja (joita kutsutaan myös solmu- tai solmujännitteiksi) suhteessa tiettyyn solmuun, jota kutsutaan viite solmu. Toisin sanoen kaikki piirin jännitteet ovat suhteessa jännitteeseen referenssisolmu, jolla normaalisti katsotaan olevan 0 potentiaalia. On helppo nähdä, että näiden jännitemääritelmien avulla Kirchhoffin jännitelaki täyttyy automaattisesti, koska silmukkayhtälöiden kirjoittaminen näillä potentiaaleilla johtaa identiteettiin. Huomaa, että piirille, jolla on N solmua, sinun tulisi kirjoittaa vain N - 1 yhtälöä. Normaalisti vertailusolmun solmuyhtälö jätetään pois.

Piirissä olevien kaikkien virtojen summa on nolla, koska jokainen virta virtaa solmusta sisään ja ulos. Siksi N: nnen solmun yhtälö ei ole riippumaton aikaisemmista N-1-yhtälöistä. Jos sisällyttäisimme kaikki N-yhtälöt, meillä olisi ratkaisematon yhtälöjärjestelmä.

Solmupotentiaalimenetelmä (jota kutsutaan myös solmuanalyysiksi) on menetelmä, joka parhaiten soveltuu tietokonesovelluksiin. Useimmat piirianalyysiohjelmat - mukaan lukien TINA - perustuvat tähän menetelmään.

Solmujen analyysin vaiheet:

1. Valitse vertailusolmu, jolla on 0 solmun potentiaalia, ja merkitse jokainen jäljellä oleva solmu merkillä V₁, V₂ or j₁, j₂ja niin edelleen.

2. Sovelletaan Kirchhoffin nykyistä lakia jokaisessa solmussa referenssisolmua lukuun ottamatta. Käytä Ohmin lakia ilmaisemaan tuntemattomat virrat solmupotentiaalista ja jännitelähteen jännitteistä tarvittaessa. Oletetaan kaikkien tuntemattomien virtojen kohdalla sama viitesuunta (esim. Osoittamalla solmusta ulos) jokaiselle Kirchhoffin nykyisen lain sovellukselle.

3. Ratkaise tuloksena olevat solmun yhtälöt solmujännitteille.

4. Määritä mahdolliset virta- tai jännitepiirit piirin jännitteiden avulla.

Kuvailkaamme vaihetta 2 kirjoittamalla solmun yhtälö solmulle V₁seuraavan piirin fragmentista:

Ensin etsi virta solmusta V1 solmuun V2. Käytämme Ohmin lakia R1: ssä. Jännite R1: n välillä on V₁ - V₂ - V_S1

Ja nykyinen R1in kautta (ja solmusta V1 solmuun V2) on

Huomaa, että tällä virralla on vertailusuunta osoittaen V: stä₁ solmu. Käyttämällä solmua osoittavien virtojen sopimusta, se tulisi ottaa huomioon solmuyhtälössä positiivisella merkillä.

Haaran nykyinen lauseke V: n välillä₁ Ja V₃tulee olemaan samanlainen, mutta koska V_S2 on vastakkaiseen suuntaan V: sta_S1 (mikä tarkoittaa solmun potentiaalia V: n välillä_S2 Ja R₂ on V₃-V_S2), nykyinen on

Lopuksi ilmoitetun referenssisuunnan takia_S2 pitäisi olla positiivinen merkki ja minä_S1 negatiivinen merkki solmuyhtälössä.

Solmuyhtälö:

Katsotaanpa nyt täydellinen esimerkki osoittaaksesi solmupotentiaalimenetelmän käyttöä.

Etsi jännite V ja virrat alla olevien piirien vastuksien läpi

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Koska tässä piirissä on vain kaksi solmua, voimme vähentää ratkaisun yhden tuntemattoman määrän määrittämiseen.Valitsemalla alempi solmu referenssisolmuna, tuntematon solmun jännite on ratkaisemme jännite, V.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Ylemmän solmun solmuyhtälö:

Numeerisesti:

Kerro 30: lla: 7.5 + 3 V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Siten: V = 10 V

{TINAn tulkin ratkaisu}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]

#Pythonin ratkaisu!
tuonti numpy nimellä n, sympy nimellä s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Kirjoita kertoimien matriisi:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Kirjoita vakioiden matriisi:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])

V= n.linalg.solve(A,b)[0]
tulosta ("%.3f"%V)
#Symbolinen ratkaisu sympy ratkaisulla
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
tulostaa (sol)

Nyt määritetään virrat vastuksien kautta. Tämä on helppoa, koska samoja virroja käytetään yllä olevassa solmuyhtälössä.

{TINAn tulkin ratkaisu}
{Käytä solmupotentiaalia!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]
{Vastojen virrat}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]

Voimme tarkistaa tuloksen TINA: lla yksinkertaisesti kytkemällä TINA: n vuorovaikutteinen DC-tila päälle tai käyttämällä Analysis / DC Analysis / Nodal Volitudes -komentoa.

Seuraavaksi ratkaistaan ongelma, jota käytettiin jo viimeisenä esimerkkinä Kirchhoffin lait luku

Etsi piirin kunkin elementin jännitteet ja virrat.

Valitaan alempi solmu vertailusolmuksi, jolla on 0 potentiaalia, solmujännite N₂ on yhtä suuri kuin V_S3,: j₂ = siksi meillä on vain yksi tuntematon solmujännite. Voit muistaa, että aikaisemmin, käyttämällä joitain Kirchhoffin yhtälöitä, jopa joidenkin yksinkertaistamisten jälkeen, meillä oli lineaarinen yhtälöjärjestelmä 4 tuntematonta.

Solmun yhtälöiden kirjoittaminen solmulle N₁, merkitsemme solmun jännite N₁ by j₁

Ratkaistava yksinkertainen yhtälö on:

Numeerisesti:

Kerro 330: lla, saamme:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

Laskennan jälkeen j_1,piirin muut määrät on helppo laskea.

Virrat:

I_S3 I =_R1 - Minä_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A

Ja jännitteet:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 V

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Voit huomata, että solmupotentiaalimenetelmällä tarvitset silti ylimääräistä laskelmaa piirin virtojen ja jännitteiden määrittämiseksi. Nämä laskelmat ovat kuitenkin hyvin yksinkertaisia, paljon yksinkertaisempia kuin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen kaikille piirimäärille samanaikaisesti.

Voimme tarkistaa tuloksen TINA: lla yksinkertaisesti kytkemällä TINA: n vuorovaikutteinen DC-tila päälle tai käyttämällä Analysis / DC Analysis / Nodal Volitudes -komentoa.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Katsotaanpa lisää esimerkkejä.

Esimerkki 1

Etsi nykyinen I.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Tässä piirissä on neljä solmua, mutta koska meillä on ihanteellinen jännitelähde, joka määrittää solmun jännitteen positiivisella navalla, meidän pitäisi valita sen negatiivinen napa referenssisolmuksi. Siksi meillä on todella vain kaksi tuntematonta solmupotentiaalia: j₁ ja j₂ .

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Potentiaalien solmujen yhtälöt j₁ ja j₂:

Numeerisesti:

joten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on:

Tämän ratkaisemiseksi kerrotaan ensimmäinen yhtälö 3: lla ja toinen 2: lla ja lisätään sitten kaksi yhtälöä:

11j₁= 220

ja siten j₁= 20V, j₂=(50 + 5j₁) / 6 = 25 V

Lopuksi tuntematon nykyinen:

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisu voidaan myös laskea käyttämällä Cramerin sääntö.

Kuvaillaan Cramerin säännön käyttöä ratkaisemalla yllä oleva järjestelmä uudelleen.

1. Täytä tuntemattomien kertoimien matriisi:

2. Laske arvo D-matriisin determinantti.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Aseta oikean puolen arvot tuntemattoman muuttujan kertoimien sarakkeeseen ja laske sitten determinantin arvo:

4.Vaihda uudet löydetyt determinantit alkuperäisen determinantin avulla, jotta löydettäisiin seuraavat suhteet:

Siten j₁ = 20 V ja j₂ = 25 V

Voit tarkistaa tuloksen TINA: lla kytkemällä TINA: n vuorovaikutteinen DC-tila päälle tai käyttämällä Analyysi / DC-analyysi / Solmujännitteet -komentoa. Huomaa, että Jännitetappi TINA-komponentti, voit näyttää suoraan solmupotentiaalit olettaen, että Maa komponentti on kytketty referenssisolmuun.

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

{TINAn tulkin ratkaisu}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
end;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Pythonin ratkaisu!
tuonti numpy nimellä n
#Meillä on järjestelmä
#llineaariset yhtälöt
#haluamme ratkaista fi1:lle, fi2:lle:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Kirjoita kertoimien matriisi:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Kirjoita vakioiden matriisi:
b=n.taulukko([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
tulosta("fi1= %.3f"%fi1)
tulosta("fi2= %.3f"%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
tulosta("I= %.3f"%I)

Esimerkki 2.

Etsi vastuksen R jännite₄.

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm

Voit analysoida online-yhteyden napsauttamalla tai napauttamalla yllä olevaa piiriä tai napsauttamalla tätä linkkiä Tallenna kohdassa Windows

Tässä tapauksessa on käytännöllistä valita jännitelähteen V negatiivinen napa_S2 referenssisolmuna, koska sitten V: n positiivinen napa_S2 jännitelähteellä on V_S2 = 150 solmun potentiaalia. Tämän valinnan takia vaadittu V-jännite on vastapäätä solmun N solmujännitettä_4;siksi V₄ = - V.

Yhtälöt:

Emme esitä täällä käsinlaskelmia, koska yhtälöt voidaan helposti ratkaista TINA-tulkin avulla.

{TINAn tulkin ratkaisu}
{Käytä solmupotentiaalia!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
end;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Pythonin ratkaisu!
tuonti numpy nimellä n
#Käytä solmupotentiaalimenetelmää!
#Meillä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jonka haluamme ratkaista
#V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Kirjoita kertoimien matriisi:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Kirjoita vakioiden matriisi:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
tulosta("V= %.4f"%V)

Tuloksen tarkistamiseksi TINA kytke vain TINA: n vuorovaikutteinen DC-tila päälle tai käytä Analysis / DC Analysis / Nodal Volitudes -komentoa. Huomaa, että meidän on asetettava muutama jännitetappi solmuihin osoittamaan solmun jännitteet.