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FORMES D'ONDES PÉRIODIQUES

RÉSEAUX DE PONT

^{La plupart des fonctions intéressantes des circuits alternatifs - impédance complexe, fonction de transfert de tension et rapport de transfert de courant - dépendent de la fréquence. La dépendance d'une grandeur complexe à la fréquence peut être représentée sur un plan complexe (diagramme de Nyquist) ou sur des plans réels comme des tracés séparés de la valeur absolue (tracé d'amplitude) et de la phase (tracé de phase).}

^{Les tracés de Bode utilisent une échelle verticale linéaire pour le tracé d'amplitude, mais comme des unités dB sont utilisées, l'effet est que l'échelle verticale est tracée en fonction du logarithme de l'amplitude. L'amplitude A est présentée comme 20log10 (A). L'échelle horizontale de fréquence est logarithmique.}

^{Aujourd'hui, peu d'ingénieurs dessinent des graphiques de Bode à la main, en s'appuyant plutôt sur des ordinateurs. TINA dispose d'installations très avancées pour les parcelles de Bode. Néanmoins, la compréhension des règles de dessin des tracés de Bode améliorera votre maîtrise des circuits. Dans les paragraphes qui suivent, nous présenterons ces règles et comparerons les courbes d'approximation en ligne droite esquissées avec les courbes exactes de TINA.}

^{La fonction à esquisser est généralement un fraction ou un rapport avec un polynôme numérateur et un polynôme dénominateur. La première étape consiste à trouver les racines des polynômes. Les racines du numérateur sont les zéros de la fonction tandis que les racines du dénominateur sont les pôles.}

^{Les tracés de Bode idéalisés sont des tracés simplifiés composés de segments linéaires. Les points terminaux de ces segments rectilignes projetés sur l'axe des fréquences tombent sur le pôle et les fréquences nulles. Les pôles sont parfois appelés fréquence de coupurees du réseau. Pour les expressions plus simples, nous substituons s à la fréquence: jw = s.}

^{Parce que les quantités tracées sont tracées sur une échelle logarithmique, les courbes appartenant aux différents termes du produit peuvent être ajoutées.}

^{Voici un résumé des principes importants des graphiques de Bode et des règles pour les dessiner.}

^{La 3 dB Le point sur un tracé de Bode est spécial, représentant la fréquence à laquelle l'amplitude a augmenté d'une valeur constante de 3 dB. En convertissant A en dB en A en volts / volt, nous résolvons 3 dB = 20 log10 A et obtenons log10 A = 3/20 et donc L’ –3 dB le point implique que A est 1 / 1.41 = 0.7.}

^{Une fonction de transfert typique ressemble à ceci:}

Nous allons maintenant voir comment les fonctions de transfert comme celles ci-dessus peuvent être rapidement esquissées (gain de la fonction de transfert en dB par rapport à la fréquence en Hz). L'axe vertical étant représenté en dB, il s'agit d'une échelle logarithmique. En se rappelant que le produit des termes de la fonction de transfert sera considéré comme la somme des termes du domaine logarithmique, nous verrons comment esquisser les termes individuels séparément, puis les ajouter graphiquement pour obtenir le résultat final.

La courbe de la valeur absolue d'un terme de premier ordre s présente une pente en dB / décade 20 traversant l’axe horizontal à w = 1. La phase de ce terme est de 90° à n'importe quelle fréquence. La courbe de K *s a également une pente de 20 dB / décade, mais il traverse l'axe à w = 1 / K; c'est-à-dire où la valeur absolue du produit ½K*s ½= 1.

Le terme suivant de premier ordre (dans le deuxième exemple), s^-1 = 1 / s, est similaire: sa valeur absolue a une pente -20 dB / décade; sa phase est - 90° à n'importe quelle fréquence; et il traverse la w-axis à w = 1. De même, la valeur absolue du terme K /s a une pente de -20 dB / décennie; la phase est -90° à n'importe quelle fréquence; mais il traverse la w axe à w = K, où la valeur absolue de la fraction

½K/s ½= 1.

Le prochain terme de premier ordre à esquisser est 1 + ST. Le tracé de l'amplitude est une ligne horizontale jusqu'à ce que w₁ = 1 / T, après quoi il monte à 20 dB / décennie. La phase est égale à zéro aux petites fréquences, 90° à hautes fréquences et 45° at w₁ = 1 / T. Une bonne approximation pour la phase est qu'elle est nulle jusqu'à 0.1 *w₁ = 0.1 / T et est près de 90° au-dessus de 10 *w₁ = 10 / T. Entre ces fréquences, le diagramme de phase peut être approximé par un segment rectiligne qui relie les points (0.1 *w₁; 0) et (10 *w₁; 90°).

Le dernier terme de premier ordre, 1 / (1 + sT), a une pente –20 dB / décade commençant à la fréquence angulaire w₁= 1 / T. La phase est 0 aux petites fréquences, -90° aux hautes fréquences, et -45° at w₁ = 1 / T. Entre ces fréquences, le diagramme de phase peut être approximé par une droite qui relie les points (0.1 *w₁; 0) et (10 *w₁; - 90°).

Un facteur multiplicateur constant dans la fonction est tracé comme une ligne horizontale parallèle à w-axe.

Les polynômes de second ordre avec des racines conjuguées complexes conduisent à un tracé de Bode plus compliqué qui ne sera pas considéré ici.

Exemple 1

Trouvez l'impédance équivalente et esquissez-la.

Vous pouvez utiliser l'analyse TINA pour obtenir l'équation de l'impédance équivalente en choisissant Analyse - Analyse symbolique - Transfert AC.

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L'impédance totale: Z (s) = R + sL = R (1 + sL / R)

… Et la fréquence de coupure: w₁ = R / L = 5 / 0.5 = 10 rad / s f₁ = 1.5916 Hz

La fréquence de coupure peut être considérée comme le point +3 dB dans le tracé de Bode. Ici, le point à 3 dB signifie 1.4 * R = 7.07 ohms.

Vous pouvez également demander à TINA de tracer les caractéristiques d'amplitude et de phase chacune sur son propre graphique:

Notez que le tracé de l'impédance utilise une échelle verticale linéaire, non logarithmique, nous ne pouvons donc pas utiliser la tangente de 20 dB / décade. Dans les tracés d'impédance et de phase, l'axe des x est le w axe mis à l'échelle pour la fréquence en Hz. Pour le diagramme d'impédance, l'axe y est linéaire et affiche l'impédance en ohms. Pour le diagramme de phase, l'axe y est linéaire et affiche la phase en degrés.

Exemple 2

Trouver la fonction de transfert pour V_C/V_S.Esquissez le tracé de Bode de cette fonction.

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Nous obtenons la fonction de transfert en utilisant la division de tension:

La fréquence de coupure: w₁ = 1 / RC = 1 / 5 * 10^-6 = 200 krad / s f₁ = 31.83 kHz

L'une des caractéristiques fortes de TINA est son analyse symbolique: Analyse - «Analyse symbolique» - Transfert AC ou transfert AC semi-symbolique. Ces analyses vous donnent la fonction de transfert du réseau soit sous forme symbolique complète, soit sous forme semi-symbolique. Sous forme semi-symbolique, les valeurs numériques des valeurs des composants sont utilisées et la seule variable restante est s.

TINA dessine le tracé de Bode réel, pas une approximation linéaire. Pour trouver la fréquence de coupure réelle, utilisez le curseur pour localiser le point –3 dB.

Dans ce deuxième tracé, nous avons également utilisé les outils d'annotation de TINA pour dessiner les segments linéaires.

Encore une fois, l'axe y est linéaire et affiche le rapport de tension en dB ou la phase en degrés. Le x- ou w-l'axe représente la fréquence en Hz.

Dans le troisième exemple, nous illustrons comment nous obtenons la solution en ajoutant les différents termes.

Exemple 3

Trouver la caractéristique de transfert de tension W = V₂/V_S et dessinez ses diagrammes de Bode.
Trouvez la fréquence où la magnitude de W est minimale.
Obtenez la fréquence où l'angle de phase est égal à 0.

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La fonction de transfert peut être trouvée en utilisant «Analyse symbolique» «Transfert AC» dans le menu d'analyse de TINA.

Ou avec «transfert AC semi-symbolique».

Manuellement, en utilisant des unités Mohm, nF, kHz:

Trouvez d'abord les racines:

les zéros w₀₁ = 1 / (R₁C₁) = 10³ rad / s et w₀₂ = 1 / (R₂C₂) = 2 * 10³ rad / s

f₀₁ = 159.16 Hz et f₀₂ = 318.32 Hz

et poteaux w_P1 = 155.71 rad / s et w_P2 = 12.84 krad / s

f_P1= 24.78 Hz et f_P2 = 2.044 kHz

La fonction de transfert sous une forme dite «normale»:

La deuxième forme normalisée est plus pratique pour dessiner le tracé de Bode.

Tout d'abord, trouvez la valeur de la fonction de transfert à f = 0 (DC). Par inspection, c'est 1 ou 0 dB. Il s'agit de la valeur de départ de notre approximation linéaire de W (s). Tracez un segment de ligne horizontale de DC au premier pôle ou zéro, au niveau 0 dB.

Ensuite, triez les pôles et les zéros par fréquence croissante:

f_P1= 24.78 Hz

f₀₁ = 159.16 Hz

f₀₂ = 318.32 Hz

f_P2 = 2.044 kHz

Maintenant au premier pôle ou zéro (il se trouve que c'est un pôle, f_P1), tracez une ligne, dans ce cas, tombant à 20 dB / décennie.

Au pôle suivant ou zéro, f₀₁dessiner un segment de ligne de niveau reflétant l'effet combiné du pôle et de zéro (leurs pentes s'annulent).

À f₀₂, le deuxième et le dernier zéro, tracent un segment de ligne montante (20 dB / décennie) pour refléter l'effet combiné du pôle / zéro / zéro.

À f_P2, le deuxième et le dernier pôle, modifient la pente du segment ascendant en une ligne de niveau, reflétant l'effet net de deux zéros et de deux pôles.

Les résultats sont présentés sur le tracé d'amplitude de Bode qui suit, où les segments de droite sont représentés sous la forme de fines lignes point à point.

Ensuite, nous dessinons la ligne épaisse de chaux pour résumer ces segments.

Enfin, nous avons la fonction Bode calculée de TINA tracée en marron.

Vous pouvez voir que lorsqu'un pôle est très proche d'un zéro, l'approximation en ligne droite s'écarte un peu de la fonction réelle. Notez également le gain minimum dans le tracé de Bode ci-dessus. Avec un réseau quelque peu compliqué comme celui-ci, il est difficile de trouver le gain minimum à partir de l'approximation en ligne droite, bien que la fréquence à laquelle le gain minimum se produit puisse être vue.