NOMBRES COMPLEXES

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MÉTHODES ET MÉTHODES DE COURANT DE BOUCLE

PRINCIPES DU COURANT ALTERNATIF

Dans ce chapitre et les suivants, nous présenterons un sujet très important: le courant alternatif ou le courant alternatif. Le nom de courant alternatif n’est pas très précis et couvre normalement les circuits avec des tensions et des courants sinusoïdaux; Cependant, courant alternatif peut également signifier toute forme d'onde de courant arbitraire. L'importance de la tension alternative réside dans le fait que ce type de tension est utilisé comme principale source d'énergie électrique dans les maisons et l'industrie à travers le monde. C'est également la base de nombreuses applications électroniques, de télécommunication et industrielles.

Pour manipuler les formes d'onde sinusoïdales et les circuits qui leur sont associés, nous allons utiliser une méthode simple et élégante appelée méthode des phaseurs. Les phaseurs sont basés sur les propriétés des nombres complexes, qui sont idéales pour représenter des quantités sinusoïdales. Dans ce chapitre, nous allons résumer les principaux faits concernant les nombres complexes et leurs opérations. Nous montrerons également comment l'interpréteur de TINA facilite les calculs avec des nombres complexes.

Les nombres complexes se composent de deux parties, une partie réelle (x), qui est un nombre réel, et un soi-disant partie imaginaire (y), qui est un nombre réel multiplié par , l'unité imaginaire. Le nombre complexe zpeut donc être décrit comme suit:

z = x + jy

De .

Exemples de nombres complexes:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Les nombres complexes ont été initialement introduits au XVIIe siècle pour représenter les racines des polynômes qui ne pouvaient pas être représentés avec des nombres réels seuls. Par exemple, les racines de l'équation x²+ 2x + 2 = 0 ne peut être décrit que comme et , ou en utilisant la notation , z₁= 1 + j et z₂= 1- j. En utilisant la nouvelle notation pour étudier les propriétés des expressions, les mathématiciens ont pu prouver des théorèmes et résoudre des problèmes jusque-là difficiles, voire impossibles à résoudre. Cela a conduit à l'élaboration d'une algèbre complexe et de fonctions complexes, qui sont désormais largement utilisées en mathématiques et en ingénierie.

Représentation géométrique des nombres complexes

Forme rectangulaire

Puisqu'un nombre complexe peut toujours être séparé en ses parties réelles et complexes, nous pouvons représenter un nombre complexe comme un point sur un plan bidimensionnel. La partie réelle d'un nombre complexe est la projection du point sur l'axe réel, et la partie imaginaire du nombre est la projection sur l'axe imaginaire. Lorsqu'un nombre complexe est représenté comme la somme des parties réelles et imaginaires, nous disons qu'il est en rectangulaire or forme algébrique.

La figure suivante montre le nombre complexe z = 2 + 4j

Forme polaire et exponentielle

Comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessus, le point A pourrait également être représenté par la longueur de la flèche, r (également appelé valeur absolue, amplitude ou amplitude) et son angle (ou phase), φ par rapport dans le sens antihoraire à l'axe horizontal positif. C'est le polaire forme d'un nombre complexe. Il est noté r ∠ φ.

La prochaine étape est très importante. Un nombre complexe sous forme polaire peut également être écrit en exponentiel forme:

Cette expression simple se distingue en ce qu'elle a un nombre imaginaire dans l'exposant au lieu du nombre réel habituel. Cette exponentielle complexe se comporte très différemment de la fonction exponentielle avec un argument réel. Alors que e^x croît rapidement en grandeur pour augmenter x> 0 et diminue pour x <0, la fonction a la même grandeur (z = 1) pour tout φ. De plus, ses valeurs complexes se situent sur le cercle unitaire.

La formule d'Euler fournit un lien unificateur entre les formes rectangulaires, polaires et exponentielles des nombres complexes:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j sans φ )

et φ = bronzage^-1(y / x).

Pour notre exemple ci-dessus, z = 2 + 4j:

φ = bronzage^-1(4 / 2) = 63.4 °

donc .

Ou vice versa:

Vous devrez être capable d'utiliser les deux formulaires, selon l'application. Par exemple, l'addition ou la soustraction sont évidemment plus faciles à faire lorsque les nombres sont sous forme rectangulaire, tandis que la multiplication et la division sont plus faciles à faire lorsque les nombres sont sous forme exponentielle.

Opérations avec des nombres complexes

Les opérations qui peuvent être effectuées avec des nombres complexes sont similaires à celles des nombres réels. Les règles et quelques nouvelles définitions sont résumées ci-dessous.

Opérations avec j

Les opérations avec j il suffit de suivre la définition de l'unité imaginaire,

Pour pouvoir travailler rapidement et avec précision, vous devez mémoriser ces règles:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Preuve:

j² = -1 découle simplement de la définition de , Depuis

Pour 1 /j, on multiplie 1 /jby j / j = 1 et obtenez j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Conjugaison compliquée

Le complexe conjugué d'un nombre complexe est facilement dérivé et est très important. Pour obtenir le conjugué complexe d'un nombre complexe sous forme rectangulaire, changez simplement le signe de la partie imaginaire. Pour le faire pour un nombre sous forme exponentielle, modifiez le signe de l'angle du nombre complexe tout en conservant sa valeur absolue.

Le complexe conjugué d'un nombre complexe z est souvent noté par z^*.

Vu le nombre complexe z= a + jb, son complexe conjugué est z^*= a– jb.

If z est donné sous forme exponentielle, , son complexe conjugué est

En utilisant les définitions ci-dessus, il est facile de voir qu'un nombre complexe multiplié par son complexe conjugué donne le carré de la valeur absolue du nombre complexe:

zz^* = r²= A²⁺b²

De plus, en ajoutant ou en soustrayant un nombre complexe et son conjugué, nous obtenons les relations suivantes:

z + z ^* = 2a

donc

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

De même:

z - z ^* =j2b

donc

Je suis(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Preuve:

ou en multipliant les parties réelles et imaginaires et en utilisant j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a²⁺b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Exemples numériques:

Sous forme rectangulaire:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Sous forme polaire

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

Sous forme exponentielle:

Addition et soustraction

L'addition et la soustraction de nombres complexes sont simples: il suffit d'ajouter séparément les parties réelle et imaginaire. Par exemple, si

z₁ = 3 - 4j et z₂= 2 + 3j

puis

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j au 3 Févrierj = 1 - j7

Évidemment, nous devons utiliser la forme rectangulaire pour ces opérations. Si les nombres sont donnés sous forme exponentielle ou polaire, nous devons d'abord les transformer en forme rectangulaire en utilisant la formule d'Euler, comme indiqué précédemment.

Multiplier

Il existe deux méthodes pour multiplier les nombres complexes -

Multiplication de nombres complexes donnée sous forme rectangulaire

Pour effectuer l'opération, il suffit de multiplier les parties réelles et imaginaires d'un nombre à tour de rôle par les parties réelles et imaginaires de l'autre nombre et d'utiliser l'identité j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (une₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = A₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Lorsque les nombres complexes sont donnés numériquement, il n’est pas nécessaire d’utiliser la formule ci-dessus. Par exemple, laissez

z₁ = 3 - 4j et z₂= 2 + 3j

Avec multiplication directe des composants:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

ou en utilisant la formule: z₁z₂ = A₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Nous pensons que vous êtes plus susceptible de faire une erreur si vous utilisez la formule que si vous multipliez les composants directement.

{Solution par l'interprète de TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z1=complexe('3-4j')
z2=complexe('2+3j')
imprimer("z1*z2=",z1*z2)

Multiplication de nombres complexes donnée sous forme polaire ou exponentielle

Pour effectuer cette opération, multipliez les valeurs absolues et ajoutez les angles des deux nombres complexes. Laisser:

Puis en utilisant la règle de multiplication de fonctions exponentielles:

ou sous forme polaire

z₁ z₂ = r₁ r₂ φ₁+ φ₂

Remarque: nous avons déjà utilisé cette règle lorsque nous avons calculé zz ^*au dessus de. Puisque l'angle du conjugué a le signe opposé de l'angle d'origine, un nombre complexe multiplié par son propre conjugué est toujours un nombre réel; à savoir, le carré de sa valeur absolue: zz ^*= r²

Par exemple, laissez:

z₁ = 5 ∠ 30 ° et z₂ = 4 ∠ -60 °

puis

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

ou sous forme exponentielle

La multiplication est évidemment plus simple lorsque les nombres sont sous forme polaire ou exponentielle.

Cependant, si les nombres complexes sont donnés sous forme rectangulaire, vous devriez envisager d'effectuer la multiplication directement comme indiqué ci-dessus, car il existe des étapes supplémentaires si vous convertissez les nombres en forme polaire avant de les multiplier. Un autre facteur à considérer est de savoir si vous voulez que les réponses soient sous forme rectangulaire ou sous forme polaire / exponentielle. Par exemple, si les deux nombres sont sous forme rectangulaire mais que vous souhaitez que leur produit soit sous forme polaire, il est logique de les convertir immédiatement, puis de les multiplier.

Division

Il existe deux méthodes pour la division des nombres complexes -

Division de nombres complexes donnée sous forme rectangulaire

Pour effectuer l'opération, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient un nombre réel et la division est réduite à la multiplication de deux nombres complexes et une division par un nombre réel, le carré de la valeur absolue du dénominateur.

Par exemple, laissez:

z₁ = 3 - 4j et z₂= 2 + 3j

Vérifions ce résultat avec l'interprète de TINA:

{Solution par l'interprète de TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z1=complexe('3-4j')
z2=complexe('2+3j')
imprimer("z1/z2=",z1/z2)

Division des nombres complexes donnée sous forme polaire ou exponentielle

Pour effectuer l'opération, divisez les valeurs absolues (magnitudes) et soustrayez l'angle du dénominateur de l'angle du numérateur. Laisser:

puis en utilisant la règle de division des fonctions exponentielles

ou sous forme polaire

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Par exemple, laissez:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° et z ₂ = 2 ∠ -60 °

puis

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

ou sous forme exponentielle et rectangulaire

Vérifions ce résultat avec l'interprète de TINA:

{Solution par l'interprète de TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z1=5*(c.exp(complexe(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complexe(0,m.radians(-60))))
imprimer("z1/z2=",z1/z2)

La division est évidemment plus simple lorsque les nombres sont sous forme polaire ou exponentielle.

Cependant, si les nombres complexes sont donnés sous forme rectangulaire, vous devriez envisager d'effectuer la division directement en utilisant la méthode du conjugué complexe comme indiqué ci-dessus, car il existe des étapes supplémentaires si vous convertissez les nombres en forme polaire avant de les diviser. Un autre facteur à considérer est de savoir si vous voulez que les réponses soient sous forme rectangulaire ou sous forme polaire / exponentielle. Par exemple, si les deux nombres sont sous forme rectangulaire, mais que vous souhaitez leur quotient sous forme polaire, il est logique de les convertir immédiatement, puis de les diviser.

Illustrons maintenant l’utilisation des nombres complexes par davantage de problèmes numériques. Comme d'habitude, nous allons vérifier nos solutions en utilisant l'interpréteur de TINA. L'interprète fonctionne avec des radians, mais il a des fonctions standard pour la conversion de radians en degrés ou vice-versa.

Exemple 1 Trouvez la représentation polaire:

z = 12 - j 48

ou 49.48 ∠ - 75.96 °

{Solution par l'interprète de TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z=12-complexe(48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print("arc(z)=",c.phase(z))
print("degrés(arc(z))=",m.degrés(c.phase(z)))

Exemple 2 Trouvez la représentation rectangulaire:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Solution par l'interprète de TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z=25*c.exp(complexe(0,m.radians(125)))
imprimer("z=",z)
print("real(z)=",z.real)
print("imag(z)=",z.imag)

Exemple 3 Trouver la représentation polaire des nombres complexes suivants:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Les valeurs absolues des quatre nombres sont identiques car la valeur absolue est indépendante des signes. Seuls les angles sont différents.

{Solution par l'interprète de TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Solution par Python :
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c

z1=complexe('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
print("arc(z1)=",c.phase(z1))
print("degrés(arc(z1))=",m.degrés(c.phase(z1)))

z2=complexe('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
print("arc(z2)=",c.phase(z2))
print("degrés(arc(z2))=",m.degrés(c.phase(z2)))

z3=complexe('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
print("arc(z3)=",c.phase(z3))
print("degrés(arc(z3))=",m.degrés(c.phase(z3)))

z4=complexe('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
print("arc(z4)=",c.phase(z4))
print("degrés(arc(z4))=",m.degrés(c.phase(z4)))

La fonction arc () de TINA détermine l'angle de tout nombre complexe, le plaçant automatiquement correctement dans l'un des quatre quadrants.

Soyez prudent, cependant, en utilisant le bronzage^-1 pour trouver l'angle, car elle est limitée à renvoyer les angles uniquement dans les premier et quatrième quadrants (–90 °φ<90 °).

Depuis que z₁est situé dans le premier quadrant du système de coordonnées, le calcul est le suivant:

α₁ = bronzage^-1(48 / 12) = bronzage^-1(4) = 75.96 °

Depuis que z₄est situé dans le troisième quadrant du système de coordonnées, tan^-1ne retourne pas l'angle correctement. Le calcul de l'angle est:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ou -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, ce qui est le même que calculé par TINA.

z₂est situé dans le quatrième quadrant du système de coordonnées. Le calcul de l'angle est le suivant:

α₂ = bronzage^-1(-48 / 12) = bronzage^-1(-4) = -75.96 °

z_3,cependant, se trouve dans le quadrant 2nd du système de coordonnées, donc tan^-1ne retourne pas l'angle correctement. Le calcul de l'angle est:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Exemple 4 Nous avons deux nombres complexes: z₁= 4 - j 6 et z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Trouvez z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Tout d'abord, nous résolvons le problème en utilisant l'interpréteur de TINA

{Solution par l'interprète de TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degré (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Remarquez comment TINA gère sans effort les deux nombres complexes donnés sous des formes différentes.

La solution est plus compliquée sans l'interprète. Afin de pouvoir comparer les différentes méthodes de multiplication et de division, nous allons d'abord déterminer la forme polaire de z₁ et la forme rectangulaire de z₂.

Ensuite, nous trouvons les quatre solutions en utilisant d'abord les formes les plus simples: rectangulaire pour l'addition et la soustraction, et exponentielle pour la multiplication et la division: