LOIS DE KIRCHHOFF

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De nombreux circuits sont trop complexes pour être résolus en utilisant les règles des circuits série ou parallèle ou les techniques de conversion en circuits plus simples décrites dans les chapitres précédents. Pour ces circuits, nous avons besoin de méthodes de solution plus générales. La méthode la plus générale est donnée par les lois de Kirchhoff, qui permettent le calcul de toutes les tensions et courants des circuits par une solution d'un système d'équations linéaires.

Il y en a deux Lois de Kirchhoff, la loi de tension et le courant loi. Ces deux lois peuvent être utilisées pour déterminer toutes les tensions et courants des circuits.

La loi de tension de Kirchhoff (KVL) stipule que la somme algébrique de la tension augmente et que la tension chute autour d'une boucle doit être nulle.

Une boucle dans la définition ci-dessus signifie un chemin fermé dans le circuit; c'est-à-dire un chemin qui quitte un nœud dans une direction et revient à ce même nœud à partir d'une autre direction.

Dans nos exemples, nous utiliserons le sens horaire pour les boucles; cependant, les mêmes résultats seront obtenus si le sens antihoraire est utilisé.

Afin d'appliquer KVL sans erreur, nous devons définir la direction dite de référence. La direction de référence des tensions inconnues va du signe + au signe - des tensions supposées. Imaginez utiliser un voltmètre. Vous placeriez la sonde positive du voltmètre (généralement rouge) à la borne de référence + du composant. Si la tension réelle est positive, elle est dans la même direction que nous l'avons supposé, et notre solution et le voltmètre afficheront une valeur positive.

Lors de la dérivation de la somme algébrique des tensions, nous devons attribuer un signe plus aux tensions où la direction de référence correspond à la direction de la boucle, et des signes négatifs dans le cas contraire.

Une autre façon d'énoncer la loi de tension de Kirchhoff est la suivante: la tension appliquée d'un circuit série est égale à la somme des chutes de tension aux bornes des éléments série.

Le court exemple suivant montre l'utilisation de la loi de tension de Kirchhoff.

Trouver la tension aux bornes de la résistance R2, étant donné que la tension de source, VS = 100 V et que la tension aux bornes de la résistance R1 est V1 = 40 V.

La figure ci-dessous peut être créée avec TINA Pro version 6 et supérieure, dans laquelle des outils de dessin sont disponibles dans l'éditeur de schémas.


La solution utilisant la loi de tension de Kirchhoff: -VS + V1 + V2 = 0 ou VS = V1 + V2

Par conséquent: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V

Notez que normalement nous ne connaissons pas les tensions des résistances (sauf si nous les mesurons), et nous devons utiliser les deux lois de Kirchhoff pour la solution.

La loi actuelle de Kirchhoff (KCL) stipule que la somme algébrique de tous les courants entrant et sortant d'un nœud dans un circuit est nulle.

Dans ce qui suit, nous donnons un signe + aux courants quittant un nœud et un signe - aux courants entrant dans un nœud.

Voici un exemple de base démontrant la loi actuelle de Kirchhoff.


Trouver le courant I2 si le courant source IS = 12 A, et moi1 = 8 A.


En utilisant la loi actuelle de Kirchhoff au noeud encerclé: -IS + I1 + I2 = 0, d'où: I2= IS - JE1 = 12 - 8 = 4 A, comme vous pouvez vérifier en utilisant TINA (figure suivante).

Dans l'exemple suivant, nous utiliserons les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm pour calculer le courant et la tension aux bornes des résistances.

Dans la figure ci-dessous, vous remarquerez Flèche de tension au-dessus des résistances. Ceci est un nouveau composant disponible dans Version 6 de TINA et fonctionne comme un voltmètre. Si vous le connectez à travers un composant, la flèche détermine la direction de référence (pour comparer à un voltmètre, imaginez placer la sonde rouge à l'extrémité de la flèche et la sonde noire à la pointe). Lorsque vous exécutez une analyse CC, la tension réelle sur le composant s'affiche sur la flèche.


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Pour commencer à utiliser la loi actuelle de Kirchhoff, nous voyons que les courants à travers toutes les composantes sont les mêmes, alors notons ce courant par I.

Selon la loi de tension de Kirchhoff: VS = V1+V2+V3

Maintenant, en utilisant la loi d'Ohm: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3

Et d'ici le courant du circuit:

I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Enfin les tensions des résistances:

V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V

Les mêmes résultats seront visibles sur les flèches de tension en exécutant simplement l'analyse DC interactive de TINA.


Dans ce circuit suivant, plus complexe, nous utilisons également les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm, mais nous constatons que nous résolvons le plus un système linéaire d'équations.

Le nombre total d'applications indépendantes des lois de Kirchhoff dans un circuit est le nombre de branches de circuit, tandis que le nombre total d'inconnues (le courant et la tension de chaque branche) est le double. Cependant, en utilisant également la loi d'Ohm à chaque résistance et les équations simples définissant les tensions et courants appliqués, on obtient un système d'équation où le nombre d'inconnues est le même que le nombre d'équations.

Trouver les courants de branche I1, I2, I3 dans le circuit ci-dessous.


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L'ensemble des équations est le suivant:

L'équation nodale pour le noeud encerclé:

- I1 - I2 - JE3 = 0

ou en multipliant par -1

I1 + I2 + I3 = 0

Les équations de boucle (en utilisant le sens horaire) pour la boucle L1, contenant V1R1 Et R3

-V1+I1*R1-I3*R3 = 0

et pour la boucle L2, contenant V2R2 Et R3

I3*R3 - JE2*R2 +V2 = 0

En substituant les valeurs du composant:

I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 –20 * I2 + 16 = 0

Express I1 en utilisant l'équation nodale: I1 = -I2 - JE3

puis substituez-le dans la deuxième équation:

-V1 - (JE2 + I3) * R1 -JE3*R3 = 0 or –8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0

Express I2 et le substituer dans la troisième équation, à partir de laquelle vous pouvez déjà calculer I3:

I2 = - (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40

I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0

Et: I3 = - (V2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Donc I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A pour I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Ou: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.

Maintenant, résolvons les mêmes équations avec l'interpréteur de TINA:

{Solution par l'interprète de TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
fin;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

Enfin, vérifions la résultats avec TINA:


Ensuite, analysons le circuit suivant encore plus complexe et déterminons ses courants et tensions de dérivation.


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Notons les tensions et courants inconnus en ajoutant des flèches de tension et de courant aux composants, et montrons également les boucles (L1, L2, L3) et les nœuds (N1, N2) où nous utiliserons les équations de Kirchhoff.


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Voici l'ensemble de Équations de Kirchhoff pour les boucles (dans le sens horaire) et les nœuds.

-IL + IR1 - JEs = 0 (pour N1)

- JER1 + IR2 + Is3 = 0 (pour N2)

-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (pour L1)

-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (pour L2)

-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (pour L3)

Appliquer la loi d'Ohm:

VL = IL*RL

VR1 =IR1*R1

VR2 = IR2*R2

VR3 = - jeL*R3

Il s'agit de 9 inconnues et 9 équations. La façon la plus simple de résoudre ce problème est d'utiliser les TINA

interprète. Cependant, si nous sommes pressés d'utiliser des calculs manuels, nous notons que cet ensemble d'équations peut être facilement réduit à un système de 5 inconnues en substituant les 4 dernières équations aux équations de boucle L1, L2, L3. De plus, en ajoutant des équations (L1) et (L2), nous pouvons éliminer VIs , réduisant le problème à un système d’équations 4 pour les inconnues 4 (IL, IR1 IR2, Is3). Lorsque nous avons trouvé ces courants, nous pouvons facilement déterminer VL, VR1, VR2, Et VR3 en utilisant les quatre dernières équations (loi d'Ohm).

Substitution de VL ,VR1,VR2 ,VR3 :

-IL + IR1 - JEs = 0 (pour N1)

- JER1 + IR2 + Is3 = 0 (pour N2)

-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (pour L1)

-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (Pour L2)

- JER2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (pour L3)

En ajoutant (L1) et (L2) nous obtenons

-IL + IR1 - JEs = 0 (pour N1)

- JER1 + IR2 + Is3 = 0 (pour N2)

-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)

- JER2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (pour L3)

Après avoir substitué les valeurs des composants, la solution à ces équations vient facilement.

-IL+IR1 - 2 = 0 (pour N1)

-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (pour N2)

-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (L2)

-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (pour L3)

de L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

de N2 IS3 - JER1 = - 5.25 (II)

de L1+L2 110 IL + 30 IR1 = -150 (III)

et pour N1 IR1 - JEL = 2 (IV)

Multiplier (IV) par -30 et ajouter à (III) 140 IL = -210 d'où IL = - 1.5 A

Substitut IL en (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

et moiR1 dans (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A

Et les tensions: VR1 = IR1*R1 = 15 V; VR2 = IR2*R2 = 210 V;

VR3 = - jeL*R3= 135 V; VL = IL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V

{Solution des équations originales par l'interpréteur de TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
fin;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

Solution de l'ensemble réduit d'équations à l'aide de l'interpréteur:

{Solution de l'ensemble réduit d'équations par l'interpréteur de TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
fin;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Nous pouvons également saisir des expressions pour les tensions et demander à l'interprète de TINA de les calculer:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Nous pouvons vérifier le résultat avec TINA en activant simplement le mode interactif DC de TINA ou en utilisant Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages
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