MÉTHODES ET MÉTHODES DE COURANT DE BOUCLE

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Une autre façon de simplifier l'ensemble complet des équations de Kirchhoff est la méthode du courant de maille ou de boucle. En utilisant cette méthode, la loi actuelle de Kirchhoff est satisfaite automatiquement, et les équations de boucle que nous écrivons satisfont également la loi de tension de Kirchhoff. La satisfaction de la loi actuelle de Kirchhoff est obtenue en affectant des boucles de courant fermées appelées courants de maille ou de boucle à chaque boucle indépendante du circuit et en utilisant ces courants pour exprimer toutes les autres quantités du circuit. Puisque les courants de boucle sont fermés, le courant qui circule dans un nœud doit également sortir du nœud; écrire des équations de nœuds avec ces courants mène à l'identité.

Considérons d'abord la méthode des courants de maillage.

On note tout d'abord que la méthode du courant maillé n'est applicable que pour les circuits «planaires». Les circuits plans n'ont pas de fils croisés lorsqu'ils sont tracés dans un avion. Souvent, en redessinant un circuit qui semble non plan, vous pouvez déterminer qu'il est en fait plan. Pour les circuits non plans, utilisez le méthode du courant de boucle décrit plus loin dans ce chapitre.

Pour expliquer l'idée des courants de maille, imaginez les branches du circuit comme «filet de pêche» et attribuez un courant de maille à chaque maille du filet. (Parfois, il est également dit qu'une boucle de courant fermée est affectée dans chaque «fenêtre» du circuit.)

Le schéma

Le "filet de pêche" ou le graphe du circuit

La technique de représentation du circuit par un dessin simple, appelé graphique, est assez puissant. Depuis Les lois de Kirchhoff ne dépendent pas de la nature des composants, vous pouvez ignorer les composants en béton et leur substituer des segments de ligne simples, appelés branches du graphique. La représentation des circuits par des graphes nous permet d'utiliser les techniques de mathématiques la théorie des graphes. Cela nous aide à explorer la nature topologique d'un circuit et à déterminer les boucles indépendantes. Revenez plus tard sur ce site pour en savoir plus sur ce sujet.

Les étapes de l'analyse du courant de maillage:

  1. Attribuez un courant de maillage à chaque maillage. Bien que la direction soit arbitraire, il est habituel d'utiliser la direction horaire.

  2. Appliquez la loi de tension de Kirchhoff (KVL) autour de chaque maille, dans le même sens que les courants de maille. Si une résistance a deux courants de maille ou plus à travers elle, le courant total à travers la résistance est calculé comme la somme algébrique des courants de maille. En d'autres termes, si un courant traversant la résistance a la même direction que le courant de maille de la boucle, il a un signe positif, sinon un signe négatif dans la somme. Les sources de tension sont prises en compte comme d'habitude, si leur direction est la même que le courant de maille, leur tension est considérée comme positive, sinon négative, dans les équations KVL. Habituellement, pour les sources de courant, un seul courant de maillage traverse la source, et ce courant a la même direction que le courant de la source. Si ce n'est pas le cas, utilisez la méthode plus générale du courant de boucle, décrite plus loin dans ce paragraphe. Il n'est pas nécessaire d'écrire des équations KVL pour les boucles contenant des courants de maille affectés aux sources de courant.

  3. Résoudre les équations de boucle résultantes pour les courants de maillage.

  4. Déterminez tout courant ou tension requis dans le circuit à l'aide des courants de maille.

Laissez-nous illustrer la méthode par l'exemple suivant:

Trouvez le courant I dans le circuit ci-dessous.


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On voit qu'il y a deux mailles (ou une fenêtre gauche et droite) dans ce circuit. Attribuons les courants de maillage dans le sens horaire J1 et J2 aux mailles. Ensuite, nous écrivons les équations KVL, exprimant les tensions aux bornes des résistances par la loi d'Ohm:

-V1 + J1* (Ri1+R1) - J2*R1 = 0

V2 - J1*R1 + J2* (R + R1) = 0

Numériquement:

-12 + J1* 17 - J2* 2 = 0

6 - J1* 2 + J2* 14 = 0

Exprimer J1 à partir de la première équation: J1 = puis remplacer dans la deuxième équation: 6 - 2 * + 14 * J2 = 0

multiplier par 17: 102 - 24 + 4 * J2 + 238 * J2 = 0 d'où J2 =

et J1 =

Enfin, le courant requis:

{Solution utilisant l'interpréteur de TINA}
{Méthode de maillage en cours}
Sys J1, J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
fin;
J1 = [666.6667m]
J2 = [- 333.3333m]
I: = J1-J2;
I = [1]
#Solution par Python !
importer numpy en tant que n
#Utilisez la méthode actuelle du maillage !
#Nous avons un système linéaire d'équations que nous voulons résoudre
#pour I1,I2 :
#I1*(Ri1+R1)+I2*Ri1-V1=0
#-V1+I1*Ri1+I2*(Ri1+R)+V2=0
#Écrivez la matrice des coefficients :
A=n.array([[Ri1+R1,Ri1],[Ri1,Ri1+R]])
#Écrivez la matrice des constantes :
b=n.array([V1,V1-V2])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1=x[0]
I2=x[1]
imprimer("I1= %.3f"%I1)
imprimer("I2= %.3f"%I2)
je=je1
imprimer("I= %.3f"%I)

Vérifions les résultats avec TINA:


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Ensuite, résolvons à nouveau l'exemple précédent, mais avec le plus général méthode des courants de boucle. En utilisant cette méthode, les boucles de courant fermées, appelées courants de boucle, sont attribués pas nécessairement aux mailles du circuit, mais à des arbitraires boucles indépendantes. Vous pouvez vous assurer que les boucles sont indépendantes en ayant au moins un composant dans chaque boucle qui n'est contenu dans aucune autre boucle. Pour les circuits plans, le nombre de boucles indépendantes est le même que le nombre de mailles, ce qui est facile à voir.

Une manière plus précise de déterminer le nombre de boucles indépendantes est la suivante.

Étant donné un circuit avec b branches et N nœuds. Le nombre de boucles indépendantes l est:

l = b - N + 1

Cela découle du fait que le nombre d'équations de Kirchhoff indépendantes doit être égal aux branches du circuit, et nous savons déjà qu'il n'y a que N-1 équations de nœuds indépendantes. Par conséquent, le nombre total des équations de Kirchhoff est

b = N-1 + l et donc l = b - N + 1

Cette équation découle également du théorème fondamental de la théorie des graphes qui sera décrit plus loin sur ce site.

Résolvons maintenant l'exemple précédent, mais plus simplement, en utilisant la méthode du courant de boucle. Avec cette méthode, nous sommes libres d'utiliser des boucles dans des maillages ou toute autre boucle, mais gardons la boucle avec J1 dans le maillage gauche du circuit. Cependant, pour la deuxième boucle, nous choisissons la boucle avec J2, comme le montre la figure ci-dessous. L'avantage de ce choix est que J1 sera égal au courant I demandé, car il s'agit du seul courant de boucle passant par R1. Cela signifie que nous n'avons pas besoin de calculer J2 du tout. Notez que, contrairement aux courants «réels», la signification physique des courants de boucle dépend de la façon dont nous les affectons au circuit.


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Les équations de KVL:

J1 * (R1+Ri1) + J2 * R i1 - V1 = 0

-V1+ J1 * Ri1+ J2 * (R + Ri) + V2 = 0

et le courant requis: I = J1

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Exprimez J2 à partir de la deuxième équation:

Substituez dans la première équation:

Par conséquent: J1 = I = 1 A

Autres exemples

Exemple 1

Trouvez le courant I dans le circuit ci-dessous.


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Dans ce circuit, nous utilisons la méthode des courants de boucle. Dans la fenêtre gauche du circuit, nous prenons un courant de boucle que nous désignons par I car il est égal au courant demandé. L'autre courant de boucle est égal au courant de source Is1, nous le désignons donc directement comme
IS1.

Notez que la direction de ce courant de boucle est ne sauraient dans le sens horaire puisque sa direction est déterminée par la source de courant. Cependant, comme ce courant de boucle est déjà connu, il n'est pas nécessaire d'écrire l'équation KVL pour la boucle où IS1 est pris.

Par conséquent, la seule équation à résoudre est:

-V1 + I * R2 + R1 * (Je - jeS1) = 0

d'où

I = (V1 + R1 *IS1) / (R1 + R2)

Numériquement

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Vous pouvez également générer ce résultat en appelant l'analyse symbolique de TINA à partir du menu Analyse / Analyse symbolique / Résultat DC:


Ou vous pouvez résoudre l'équation KVL par l'interpréteur:

{Solution par l'interprète de TINA}
{Utiliser la méthode actuelle du maillage}
Sys I
-V1 + I * R2 + R1 * (I - IS1) = 0
fin;
I = [3]

L'exemple suivant a 3 sources de courant et est très facile à résoudre par la méthode des courants de boucle.

Exemple 2

Trouver la tension V.

Dans cet exemple, nous pouvons choisir trois courants de boucle de sorte que chacun ne traverse qu'une seule source de courant. Par conséquent, les trois courants de boucle sont connus, et nous n'avons qu'à exprimer la tension inconnue, V, en les utilisant.

Faire la somme algébrique des courants passant par R3:

V = (IS3 - JES2) * R3= (10-5) * 30 = 150 V. Vous pouvez le vérifier avec TINA :.


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Ensuite, abordons à nouveau un problème que nous avons déjà résolu dans le Lois de Kirchhoff et Méthode du potentiel de nœud chapitres.

Exemple 3

Trouver la tension V de la résistance R4.


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R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm.

Ce problème nécessitait au moins 4 équations à résoudre dans les chapitres précédents.

Pour résoudre ce problème avec la méthode des courants de boucle, nous avons quatre boucles indépendantes, mais avec le bon choix de courants de boucle, l'un des courants de boucle sera égal au courant de source Is.

Sur la base des courants de boucle illustrés dans la figure ci-dessus, les équations de boucle sont:

VS1+I4* (R5+R6+R7) - JES*R6 -JE3* (R5 + R6) = 0

VS2 - JE3* (R1+R2) - JES*R2 + I2* (R1 + R2) = 0

-VS1 + I3* (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + IS* (R2 +R4 + R6) - JE4* (R5 + R6) - JE2* (R1 + R2) = 0

La tension inconnue V peut s'exprimer par les courants de boucle:

V = R4 * (JE2 + I3)

Numériquement:

100 + I4* 135-2 * 40-I3* 60 = 0

150 + I2* 150-2 * 50-I3* 150 = 0

–100 + I3* 360 + 2 * 140-I4* 60-I2* 150 = 0

V = 50 * (2 + I3)

Nous pouvons utiliser la règle de Cramer pour résoudre ce système d'équations:

I4 = D3/D

où D est le déterminant du système. D4, le déterminant pour moi4, est formé en substituant le côté droit du système est placé pour la colonne de I4coefficients.

Le système d'équations sous forme ordonnée:

- 60 * I3 + 135 * I4= -20

150 * I2-150 * I3 = - 50

-150 * I2+ 360 * I3 - 60 * I4= - 180

Alors le déterminant D:

La solution de ce système d'équations est la suivante:

V = R4* (2 + I3) = 34.8485 V

Vous pouvez confirmer la réponse via le résultat calculé par TINA.


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{Solution utilisant l'interpréteur de TINA}
Sys I2, I3, I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
fin;
I2 = [- 1.6364]
I3 = [- 1.303]
I4 = [- 727.2727m]
V: = R4 * (Is + I3);
V = [34.8485]
#Solution par Python !
importer numpy en tant que n
#Nous avons un système linéaire d'équations que nous voulons résoudre
#pour I1,I2,I3,I4 :
#I1=Est
#Vs2+I2*(R1+R2)-R2*I1-I3*(R1+R2)=0
#-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+I1*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
#Vs1+I4*(R5+R6+R7)-I1*R6-I3*(R5+R6)=0
#Écrivez la matrice des coefficients :
A=n.array([[1,0,0,0],[-R2,R1+R2,-(R1+R2),0],[R2+R4+R6,-(R1+R2),R1+R2+R3+R4+R5+R6,-(R5+R6)],[-R6,0,-(R5+R6),R5+R6+R7]])
#Écrivez la matrice des constantes :
b=n.array([Is,-Vs2,Vs1,-Vs1])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1,I2,I3,I4=x[0],x[1],x[2],x[3]
print(“I1= %.5f”%I1) #x[0]=I1
print(“I2= %.5f”%I2) #x[1]=I2
print(“I3= %.5f”%I3) #x[2]=I1
print(“I4= %.5f”%I4) #x[3]=I2
V=R4*(I1+I3)
imprimer("V= %.5f"%V)

Dans cet exemple, chaque courant de boucle inconnu est un courant de branche (I1, I3 et I4); il est donc facile de vérifier le résultat par comparaison avec les résultats d'analyse DC de TINA.