METHODE DE POTENTIEL DE NOEUD

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L'ensemble complet des équations de Kirchhoff peut être considérablement simplifié par la méthode du potentiel de nœud décrite dans ce chapitre. En utilisant cette méthode, la loi de tension de Kirchhoff est satisfaite automatiquement, et nous n'avons besoin que d'écrire des équations de nœuds pour satisfaire également la loi actuelle de Kirchhoff. La satisfaction de la loi de tension de Kirchhoff est obtenue en utilisant des potentiels de noeud (également appelés noeuds ou tensions nodales) par rapport à un noeud particulier appelé référence nœud. En d'autres termes, toutes les tensions dans le circuit sont relatives à la noeud de référence, qui est normalement considéré comme ayant un potentiel de 0. Il est facile de voir qu'avec ces définitions de tension, la loi de tension de Kirchhoff est satisfaite automatiquement, car l'écriture d'équations de boucle avec ces potentiels conduit à l'identité. Notez que pour un circuit ayant N nœuds, vous ne devez écrire que N - 1 équations. Normalement, l'équation de nœud pour le nœud de référence est omise.

La somme de tous les courants dans le circuit est nulle, car chaque courant entre et sort d'un nœud. Par conséquent, l'équation du Nième nœud n'est pas indépendante des équations N-1 précédentes. Si nous incluions toutes les N équations, nous aurions un système d'équations insolubles.

La méthode du potentiel de nœud (également appelée analyse nodale) est la méthode la mieux adaptée aux applications informatiques. La plupart des programmes d'analyse de circuits, y compris TINA, sont basés sur cette méthode.

Les étapes de l'analyse nodale:

1. Choisissez un nœud de référence avec un potentiel de nœud 0 et étiquetez chaque nœud restant avec V1, V2 or j1, j2etc.

2. Appliquez la loi actuelle de Kirchhoff à chaque nœud à l'exception du nœud de référence. Utilisez la loi d'Ohm pour exprimer des courants inconnus à partir des potentiels de nœuds et des tensions de source de tension si nécessaire. Pour tous les courants inconnus, supposez la même direction de référence (par exemple en pointant vers le nœud) pour chaque application de la loi actuelle de Kirchhoff.

3. Résolvez les équations de nœud résultantes pour les tensions de nœud.

4. Déterminez tout courant ou tension requis dans le circuit à l'aide des tensions de noeud.

Illustrons l'étape 2 en écrivant l'équation du nœud pour le nœud V1 du fragment de circuit suivant:

Tout d'abord, trouvez le courant du nœud V1 au nœud V2. Nous utiliserons la loi d'Ohm à R1. La tension aux bornes de R1 est V1 - V2 - VS1

Et le courant passant par R1 (et du noeud V1 au noeud V2) est

Notez que ce courant a une direction de référence pointant vers le V1 nœud. En utilisant la convention pour les courants pointant vers un nœud, il doit être pris en compte dans l'équation du nœud avec un signe positif.

L'expression actuelle de la branche entre V1 Et V3 sera similaire, mais puisque VS2 est dans la direction opposée à VS1 (ce qui signifie le potentiel du nœud entre VS2 Et R2 est V3-VS2), le courant est

Enfin, en raison de la direction de référence indiquée, jeS2 devrait avoir un signe positif et jeS1 un signe négatif dans l'équation du noeud.

L'équation du noeud:

Voyons maintenant un exemple complet pour démontrer l'utilisation de la méthode du potentiel de nœud.

Trouvez la tension V et les courants à travers les résistances dans le circuit ci-dessous


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Comme nous n'avons que deux nœuds dans ce circuit, nous pouvons réduire la solution à la détermination d'une quantité inconnue. le nœud inférieur comme nœud de référence, la tension du nœud inconnu est la tension pour laquelle nous résolvons, V.

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L'équation nodale pour le noeud supérieur:

Numériquement:

Multipliez par 30: 7.5 + 3 V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Par conséquent: V = 10 V

{Solution par l'interprète de TINA}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fin;
V = [10]
#Solution par Python !
importer numpy en tant que n, sympy en tant que s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Écrivez la matrice des coefficients :
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Écrivez la matrice des constantes :
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])

V= n.linalg.solve(A,b)[0]
imprimer(«%.3f»%V)
#Solution symbolique avec résolution sympy
V= s.symboles('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
imprimer(sol)

Déterminons maintenant les courants à travers les résistances. C'est facile, car les mêmes courants sont utilisés dans l'équation nodale ci-dessus.

{Solution par l'interprète de TINA}
{Utiliser la méthode du potentiel de nœud!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fin;
V = [10]
{Les courants des résistances}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]

Nous pouvons vérifier le résultat avec TINA en activant simplement le mode interactif DC de TINA ou en utilisant la commande Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.



Ensuite, résolvons le problème qui était déjà utilisé comme dernier exemple de la Lois de Kirchhoff chapitre



Trouvez les tensions et les courants de chaque élément du circuit.

En choisissant le nœud inférieur comme nœud de référence de potentiel 0, la tension nodale de N2 sera égal à VS3,: j2 = nous n'avons donc qu'une seule tension nodale inconnue. Vous vous souvenez peut-être qu'avant, en utilisant l'ensemble complet des équations de Kirchhoff, même après quelques simplifications, nous avions un système linéaire d'équations de 4 inconnues.

Ecriture des équations de noeud pour le noeud N1, notons la tension nodale de N1 by j1

L'équation simple à résoudre est la suivante:

Numériquement:

Multipliez par 330, nous obtenons:

3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V

Après calcul j1, il est facile de calculer les autres quantités dans le circuit.

Les courants:

IS3 = IR1 - JER2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A


Et les tensions:

VIs = j1 = 285 V

VR1= (
j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V

VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V

VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Vous pouvez noter qu'avec la méthode du potentiel de nœud, vous avez encore besoin de calculs supplémentaires pour déterminer les courants et les tensions du circuit. Cependant, ces calculs sont très simples, beaucoup plus simples que la résolution de systèmes d'équations linéaires pour toutes les quantités de circuits simultanément.

Nous pouvons vérifier le résultat avec TINA en activant simplement le mode interactif DC de TINA ou en utilisant la commande Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.


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Voyons d'autres exemples.

Exemple 1

Trouver le I. actuel


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Dans ce circuit, il y a quatre nœuds, mais comme nous avons une source de tension idéale qui détermine la tension du nœud à son pôle positif, nous devons choisir son pôle négatif comme nœud de référence. Par conséquent, nous n'avons vraiment que deux potentiels de nœuds inconnus: j1 et j2 .


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Les équations pour les nœuds de potentiels j1 et j2:

Numériquement:



donc le système d'équations linéaires est:


Pour résoudre ce problème, multipliez la première équation par 3 et la seconde par 2, puis ajoutez les deux équations:

11j1 = 220

et donc j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V

Enfin le courant inconnu:

La solution d'un système d'équations linéaires peut également être calculée en utilisant Règle de Cramer.

Illustrons l'utilisation de la règle de Cramer en résolvant à nouveau le système ci-dessus.

1. Remplissez la matrice des coefficients d'inconnues:

2. Calculer la valeur de la déterminant de la matrice D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Placez les valeurs du côté droit dans la colonne des coefficients de la variable inconnue, puis calculez la valeur du déterminant:

4.Dividez les déterminants nouvellement trouvés par le déterminant d'origine pour trouver les ratios suivants:

Par conséquent j1 = 20 V et j2 = 25 V

Pour vérifier le résultat avec TINA, activez simplement le mode interactif DC de TINA ou utilisez la commande Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages. Notez que l'utilisation du Broche de tension composant de TINA, vous pouvez directement montrer les potentiels de nœud en supposant que le Sol le composant est connecté au noeud de référence.


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{Solution par l'interprète de TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
fin;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
#Solution par Python !
importer numpy en tant que n
#Nous avons un système de
#équations linéaires qui
#nous voulons résoudre fi1, fi2 :
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Écrivez la matrice des coefficients :
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Écrivez la matrice des constantes :
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
imprimer("fi1= %.3f"%fi1)
imprimer("fi2= %.3f"%fi2)
je=(fi2-VS1)/R1
imprimer("I= %.3f"%I)

Exemple 2.

Trouver la tension de la résistance R4.

R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm




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Dans ce cas, il est pratique de choisir le pôle négatif de la source de tension VS2 comme noeud de référence car le pôle positif du VS2 source de tension aura VS2 = Potentiel de 150 nœuds. En raison de ce choix, cependant, la tension V requise est opposée à la tension du nœud du nœud N4; donc V4 = - V.

Les équations:


Nous ne présentons pas ici les calculs manuels, car les équations peuvent être facilement résolues par l'interprète de TINA.

{Solution par l'interprète de TINA}
{Utiliser la méthode du potentiel de nœud!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
fin;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
#Solution par Python !
importer numpy en tant que n
#Utilisez la méthode du potentiel de nœud !
#Nous avons un système d'équations linéaires que nous voulons résoudre
#pour V,V1,V2,V3 :
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Écrivez la matrice des coefficients :
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Écrivez la matrice des constantes :
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
imprimer("V= %.4f"%V)

Pour vérifier le résultat, TINA active simplement le mode interactif DC de TINA ou utilise la commande Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages. Notez que nous devons placer quelques broches de tension sur les nœuds pour afficher les tensions des nœuds.


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