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La Théorème de Fourier indique que toute forme d'onde périodique peut être synthétisée en ajoutant des termes sinus et cosinus pondérés de différentes fréquences. Le théorème est bien couvert dans d'autres manuels, nous ne résumerons donc que les résultats et montrerons quelques exemples.

Soit notre fonction périodique f (t) = f (t ±nT) où T est le temps d'une période et n est un nombre entier.

w₀= 2p/ T la fréquence angulaire fondamentale.

Par l' Théorème de Fourier, la fonction périodique peut s'écrire comme la somme suivante:

De

A_n et B_n sont le Coefficients de Fourier et la somme est la Série de Fourier.

Une autre forme, probablement un peu plus pratique:

De

A₀ = C₀ est la valeur DC ou moyenne, A₁, B₁ et C₁ sont les composants fondamentaux, et les autres sont les termes harmoniques.

Alors que seuls quelques termes peuvent être nécessaires pour approximer certaines formes d'onde, d'autres nécessiteront de nombreux termes.

Généralement, plus il y a de termes, meilleure est l'approximation, mais pour les formes d'onde contenant des étapes, telles que des impulsions rectangulaires, Phénomène Gibbs entre en jeu. À mesure que le nombre de termes augmente, le dépassement se concentre sur une période de plus en plus courte.

An Même fonction f (t) = f (-t) (symétrie d'axe) ne nécessite que des termes cosinus.

An fonction étrange f (t) = - f (-t) (symétrie ponctuelle) ne nécessite que des termes sinus.

Une forme d'onde avec symétrie miroir ou demi-onde a seulement impair harmoniques dans sa représentation de Fourier.

Ici, nous ne traiterons pas de l'expansion de la série de Fourier, mais nous n'utiliserons qu'une somme donnée de sinus et cosinus comme excitation pour un circuit.

Dans les chapitres précédents de ce livre, nous avons traité de l'excitation sinusoïdale. Si le circuit est linéaire, le théorème de superposition est valable. Pour un réseau à excitation périodique non sinusoïdale, la superposition permet de calculer les courants et les tensions dus à chaque terme sinusoïdal de Fourier un par un. Lorsque tous sont calculés, nous résumons enfin les composantes harmoniques de la réponse.

Il est un peu compliqué de déterminer les différents termes des tensions et courants périodiques et, en fait, cela peut entraîner une surcharge d'informations. Dans la pratique, nous souhaitons simplement effectuer des mesures. On peut mesurer les différents termes harmoniques en utilisant un analyseur d'harmoniques, analyseur de spectre, analyseur d'ondes ou analyseur de Fourier. Tous ceux-ci sont compliqué et donne probablement plus de données que nécessaire. Parfois, il suffit de décrire un signal périodique uniquement par ses valeurs moyennes. Mais il existe plusieurs types de mesures moyennes.

MOYENNE VALEURS

Moyenne simple or DC terme a été vu dans la représentation de Fourier comme A₀

Cette moyenne peut être mesurée avec des instruments tels que le Deprez Instruments DC.

Valeur effective or rms (racine quadratique moyenne) a la définition suivante:

Il s'agit de la valeur moyenne la plus importante car la chaleur dissipée dans les résistances est proportionnelle à la valeur effective. De nombreux voltmètres numériques et certains analogiques peuvent mesurer la valeur efficace des tensions et des courants.

Moyenne absolue

Cette moyenne n'est plus importante; les instruments antérieurs mesuraient cette forme de moyenne.

Si nous connaissons la représentation de Fourier d'une forme d'onde de tension ou de courant, nous pouvons également calculer les valeurs moyennes comme suit:

Moyenne simple or DC terme a été vu dans la représentation de Fourier comme A₀ = C₀

Valeur effective or rms (racine quadratique moyenne) est, après intégration de la série de Fourier de la tension:

La facteur Klirr est un rapport très important des valeurs moyennes:

C'est le rapport de la valeur effective des termes harmoniques supérieurs à la valeur effective de l'harmonique fondamentale:

Il semble y avoir une contradiction ici - nous résolvons le réseau en termes de composantes harmoniques, mais nous mesurons des quantités moyennes.

Illustrons la méthode par des exemples simples:

Exemple 1

Trouver la fonction temporelle et la valeur effective (efficace) de la tension v_C(T)

Essayez d'utiliser le théorème de superposition pour résoudre le problème.

La première étape consiste à trouver la fonction de transfert en fonction de la fréquence. Pour plus de simplicité, utilisez la substitution: s = j w

Remplacez maintenant les valeurs des composants et s = jk w₀où k = 0; 1; 3 dans cet exemple et w₀= 30 krad / s. En V, A, ohm, mUnités F et Mrad / s:

Il est utile d'utiliser un tableau pour organiser les étapes de la solution numérique:

Nous pouvons résumer les étapes de la solution de superposition dans un autre tableau. Comme nous l'avons déjà vu, pour trouver la valeur de crête complexe d'une composante, il faut multiplier la valeur de crête complexe de la composante de l'excitation par la valeur de la fonction de transfert complexe:

Et enfin, nous pouvons donner la fonction de temps en connaissant les valeurs de pic complexes des composants:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

La valeur efficace (efficace) de la tension est:

Comme vous pouvez le voir, l'instrument de mesure de TINA mesure cette valeur efficace.

Exemple 2

Trouver la fonction de temps et la valeur effective (rms) du courant i (t)

Essayez de résoudre le problème en utilisant le théorème de superposition.

Remplacez maintenant les valeurs numériques et s = jk w_0,où k = 0; 1; 3 dans cet exemple.

En V, A, ohm, mUnités F et Mrad / s:

Il est utile d'utiliser un tableau lors de la résolution numérique:

Nous pouvons résumer les étapes de la superposition dans un autre tableau. Comme nous l'avons déjà vu, pour trouver la valeur crête d'une composante, il faut multiplier la valeur crête complexe de cette composante de l'excitation par la valeur de la fonction de transfert complexe. Utilisez les valeurs de pic complexes des composants de l'excitation:

Et enfin, connaissant les valeurs de pic complexes des composants, nous pouvons énoncer la fonction temporelle:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [UNE]

Til valeur efficace du courant:

Vous pouvez souvent faire une vérification de santé mentale pour une partie de la solution. Par exemple, un condensateur peut avoir une tension continue mais pas un courant continu.

Exemple 3

Obtenir la fonction temporelle de la tension V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohms, L = 25 mH, et

La première étape consiste à trouver la fonction de transfert:

Substitution de valeurs numériques en unités V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Fusion des deux tables:

k V Sk		V abk
+0 (50)XNUMX XNUMX		50
+1 (80)XNUMX XNUMX		79.3 e-j66.3
2 30 ej60		29.7 e-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

et la valeur efficace: