PRINCIPES DU COURANT ALTERNATIF

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Une tension sinusoïdale peut être décrite par l'équation:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) ou v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Voici quelques exemples pour illustrer les termes ci-dessus.

Les propriétés de la tension 220 V AC dans les prises de courant domestiques en Europe:

Valeur effective: V_Eff = 220 V
Valeur crête: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Fréquence: f = 50 1 / s = 50 Hz
Fréquence angulaire: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Période: T = 1 / f = 20 ms
Fonction temporelle: v (t) = 311 sin (314 t)

Voyons la fonction time à l'aide de la commande Analysis / AC Analysis / Time Function de TINA.

Les propriétés de la tension 120 V AC dans la prise de courant domestique aux États-Unis:

Valeur effective: V_Eff = 120 V
Valeur crête: V_M= √2 120 V = 169.68 V 170 V
Fréquence: f = 60 1 / s = 60 Hz
Fréquence angulaire: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Période: T = 1 / f = 16.7 ms
Fonction temporelle: v (t) = 170 sin (377 t)

Notez que dans ce cas, la fonction de temps pourrait être donnée soit comme v (t) = 311 sin (314 t + Φ) ou v (t) = 311 cos (314 t + Φ), puisque dans le cas de la tension de sortie ne connais pas la phase initiale.

La phase initiale joue un rôle important lorsque plusieurs tensions sont présentes simultanément. Un bon exemple pratique est le système triphasé, où trois tensions de même valeur crête, forme et fréquence sont présentes, chacune ayant un déphasage 120 ° par rapport aux autres. Dans un réseau 60 Hz, les fonctions de temps sont les suivantes:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

La figure suivante réalisée avec TINA montre le circuit avec ces fonctions de temps comme générateurs de tension de TINA.

La différence de tension v_AB= v_A(la télé_B(t) est indiqué comme résolu par la commande Analysis / AC Analysis / Time Function de TINA.

Notez que le pic de v_AB (t) est approximativement 294 V, plus grand que les sommets 170 V du v_A(t) ou v_B(t) tensions, mais pas simplement la somme de leurs pics de tension. Ceci est dû à la différence de phase. Nous discuterons de la façon de calculer la tension résultante (qui est Ö3 * 170 @ 294 dans ce cas) plus loin dans ce chapitre et également dans les instructions séparées. Systèmes triphasés chapitre.

Valeurs caractéristiques des signaux sinusoïdaux

Même si un signal alternatif varie continuellement au cours de sa période, il est facile de définir quelques valeurs caractéristiques permettant de comparer une onde à une autre: il s’agit des valeurs crête, moyenne et moyenne quadratique.

Nous avons déjà atteint la valeur maximale V_M , qui est simplement la valeur maximale de la fonction temporelle, l’amplitude de l’onde sinusoïdale.

Parfois, la valeur crête à crête (pp) est utilisée. Pour les tensions et courants sinusoïdaux, la valeur crête à crête est le double de la valeur crête.

La valeur moyenne de l'onde sinusoïdale est la moyenne arithmétique des valeurs pour le demi-cycle positif. On l'appelle aussi moyenne absolue puisque c'est la même chose que la moyenne de la valeur absolue de la forme d'onde. En pratique, nous rencontrons cette forme d'onde par rectifiant l’onde sinusoïdale avec un circuit appelé redresseur double alternance.

On peut montrer que la moyenne absolue d'une onde sinusoïdale est:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Notez que la moyenne d'un cycle entier est zéro.
La valeur efficace ou efficace d'une tension ou d'un courant sinusoïdal correspond à la valeur CC équivalente produisant la même puissance de chauffage. Par exemple, une tension avec une valeur effective de 120 V produit la même puissance de chauffage et d’éclairage dans une ampoule que le 120 V à partir d’une source de tension continue. On peut montrer que la valeur efficace ou efficace d’une onde sinusoïdale est:

V_rms = V_M / √2 ≅ 0.707 V_M

Ces valeurs peuvent être calculées de la même manière pour les tensions et les courants.

La valeur efficace est très importante dans la pratique. Sauf indication contraire, les tensions alternatives du secteur (par exemple, 110V ou 220V) sont exprimées en valeurs efficaces. La plupart des compteurs AC sont calibrés en valeur efficace et indiquent le niveau d'effet.

Exemple 1 Recherchez la valeur crête de la tension sinusoïdale dans un réseau électrique avec la valeur efficace 220 V.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Exemple 2 Recherchez la valeur crête de la tension sinusoïdale dans un réseau électrique avec la valeur efficace 110 V.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Exemple 3 Trouvez la moyenne (absolue) de la tension sinusoïdale si sa valeur efficace est 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Exemple 4 Trouvez la moyenne absolue de la tension sinusoïdale si sa valeur efficace est 110 V.

Le pic de la tension de l'exemple 2 est 155.58 V et donc:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Exemple 5 Trouver le rapport entre la moyenne absolue (V_a) et les valeurs efficaces (V) de la forme d'onde sinusoïdale.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Notez que vous ne pouvez pas ajouter de valeurs moyennes dans un circuit alternatif car cela pourrait conduire à des résultats incorrects.

PHASORS

Comme nous l’avons déjà vu dans la section précédente, il est souvent nécessaire dans les circuits alternatifs d’ajouter des tensions et des courants sinusoïdaux de même fréquence. Bien qu’il soit possible d’ajouter les signaux numériquement à l’aide de TINA ou en utilisant des relations trigonométriques, il est plus pratique d’utiliser le système phaseur méthode. Un phaseur est un nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'un signal sinusoïdal. Il est important de noter que le phaseur ne représente pas la fréquence, qui doit être la même pour tous les phaseurs.

Un phaseur peut être traité comme un nombre complexe ou représenté graphiquement comme une flèche plane dans le plan complexe. La représentation graphique s'appelle un diagramme de phaseur. À l'aide des diagrammes de phaseur, vous pouvez ajouter ou soustraire des phaseurs dans un plan complexe à l'aide de la règle du triangle ou du parallélogramme.

Il existe deux formes de nombres complexes: rectangulaire et polaire.

La représentation rectangulaire est sous la forme + jb, où j = Ö-1 est l'unité imaginaire.

La représentation polaire est sous la forme Ae^{j j} , où A est la valeur absolue (amplitude) et f est l'angle du phaseur par rapport à l'axe réel positif, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Nous utiliserons goupille lettres pour les quantités complexes.

Voyons maintenant comment dériver le phaseur correspondant d’une fonction de temps.

Tout d'abord, supposons que toutes les tensions dans le circuit soient exprimées sous la forme de fonctions cosinus. (Toutes les tensions peuvent être converties sous cette forme.) Ensuite, le phaseur correspondant à la tension de v (t) = V_M cos ( w t+f) est: V_M = V_Me ^jf , qui s'appelle également la valeur maximale complexe.

Par exemple, considérons la tension: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Le phaseur correspondant est: V

Nous pouvons calculer la fonction de temps à partir d'un phaseur de la même manière. Nous écrivons d’abord le phaseur sous forme polaire, par exemple V_M = V_Me ^jr puis la fonction de temps correspondante est

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Par exemple, considérons le phaseur V_M = 10 - j20 V

En le mettant sous forme polaire:

Et donc la fonction de temps est: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Les phaseurs servent souvent à définir la valeur efficace ou efficace complexe des tensions et des courants dans les circuits alternatifs. Étant donné v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numériquement:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

La valeur efficace complexe (valeur efficace): V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = 7.07 e^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

Vice versa: si la valeur efficace complexe d'une tension est:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

alors la valeur maximale complexe:

et la fonction de temps: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Une courte justification des techniques ci-dessus est la suivante. Étant donné une fonction de temps
V_M (cos ( w t+r), définissons le fonction temps complexe comme:

v (t) = V_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt = V_M (cos (r) + j péché(r)) e ^jwt

De V_M =V_M e ^{j r t} = V_M (cos (r) + j péché(r)) est simplement le phaseur présenté ci-dessus.

Par exemple, la fonction de temps complexe de v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = 10 e ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j sin (30)) = e ^jwt (8.66 +j5)

En introduisant la fonction temps complexe, nous obtenons une représentation comportant à la fois une partie réelle et une partie imaginaire. Nous pouvons toujours récupérer la fonction réelle originale du temps en prenant la partie réelle de notre résultat: v (t) = Re {v(t)}

Cependant, la fonction de temps complexe présente le grand avantage que toutes les fonctions de temps complexes des circuits alternatifs considérés ont le même^jwt multiplicateur, nous pouvons factoriser cela et simplement travailler avec les phaseurs. De plus, dans la pratique, nous n'utilisons pas l'e^jwt partie du tout - juste les transformations des fonctions temporelles aux phaseurs et inversement.

Pour démontrer l'avantage d'utiliser des phaseurs, voyons l'exemple suivant.

Exemple 6 Trouvez la somme et la différence des tensions:

v₁ = 100 cos (314 * t) et v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Commencez par écrire les phaseurs des deux tensions:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Par conséquent:

V_ajouter = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63°}

V_dessous = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67°}

et ensuite le temps fonctionne:

v_ajouter(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_dessous(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Comme le montre cet exemple simple, la méthode des phaseurs.est un outil extrêmement puissant pour résoudre les problèmes liés au secteur.

Résouvons le problème en utilisant les outils de l'interprète de TINA.

Les résultats d'amplitude et de phase confirment les calculs de la main.

Vérifions maintenant le résultat en utilisant l'analyse AC de TINA.

Avant d’effectuer l’analyse, assurons-nous que le Fonction de base pour AC je suis prêt à cosinus dans l' Options de l'éditeur boîte de dialogue dans le menu Affichage / Options. Nous expliquerons le rôle de ce paramètre à Exemple 8.

Les circuits et les résultats:

Exemple 7 Trouvez la somme et la différence des tensions:

v₁ = 100 sin (314 * t) et v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Cet exemple soulève une nouvelle question. Jusqu'ici, nous avons demandé que toutes les fonctions temporelles soient définies en tant que fonctions cosinus. Que ferons-nous avec une fonction temporelle donnée comme sinus? La solution consiste à transformer la fonction sinus en une fonction cosinus. En utilisant la relation trigonométrique sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), notre exemple peut être reformulé comme suit:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) et v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Maintenant les phaseurs des tensions sont:

V_1M = 100 e ^{- j 90°} = -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Par conséquent:

V _ajouter = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _dessous = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

et ensuite le temps fonctionne:

v_ajouter(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_dessous(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Résouvons le problème en utilisant les outils de l'interprète de TINA.

Vérifions le résultat avec l'analyse AC de TINA

Exemple 8

v₁ = 100 sin (314 * t) et v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Cet exemple soulève un autre problème. Et si toutes les tensions sont données en onde sinusoïdale et que nous souhaitons également voir le résultat sous forme d’onde sinusoïdale?. Nous pourrions bien sûr convertir les deux tensions en fonctions cosinus, calculer la réponse et reconvertir le résultat en fonction sinus - mais ce n'est pas nécessaire. Nous pouvons créer des phaseurs à partir des ondes sinusoïdales de la même manière que nous l'avons fait à partir des ondes cosinus, puis utiliser simplement leur amplitude et leurs phases comme amplitude et phase des ondes sinusoïdales dans le résultat.

Cela donnera évidemment le même résultat que de transformer les ondes sinusoïdales en ondes cosinus. Comme nous avons pu le constater dans l'exemple précédent, cela revient à multiplier par -j puis en utilisant le cos (x) = sin (x-90°) relation pour le transformer en une onde sinusoïdale. Ceci équivaut à multiplier par j. En d'autres termes, depuis -j × j = 1, nous pourrions utiliser les phaseurs dérivés directement des amplitudes et des phases des ondes sinusoïdales pour représenter la fonction, puis leur revenir directement. De plus, en raisonnant de la même manière sur les fonctions temporelles complexes, nous pourrions considérer les ondes sinusoïdales comme des parties imaginaires des fonctions temporelles complexes et les compléter avec la fonction cosinus pour créer la fonction temporelle complexe complète.

Voyons la solution de cet exemple en utilisant les fonctions sinus comme base des phaseurs (transformant sin ( w t) à l'unité réelle phasor (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Par conséquent:

V _ajouter = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _dessous = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Notez que les phaseurs sont exactement les mêmes que dans l'exemple 6, mais pas les fonctions de temps:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Comme vous pouvez le voir, il est très facile d'obtenir le résultat en utilisant des fonctions sinusoïdales, surtout lorsque nos données initiales sont des ondes sinusoïdales. De nombreux manuels préfèrent utiliser l'onde sinusoïdale comme fonction de base des phaseurs. En pratique, vous pouvez utiliser l'une ou l'autre méthode, mais ne les confondez pas.

Lorsque vous créez les phaseurs, il est très important que toutes les fonctions temporelles soient d'abord converties en sinus ou en cosinus. Si vous avez commencé par les fonctions sinus, vos solutions doivent être représentées par des fonctions sinus lors du retour des phaseurs aux fonctions temporelles. La même chose est vraie si vous commencez avec des fonctions de cosinus.

Résouvons le même problème en utilisant le mode interactif de TINA. Puisque nous voulons utiliser les fonctions sinus comme base pour créer les phaseurs, assurez-vous que le Fonction de base pour AC est fixé à leur dans l' Options de l'éditeur boîte de dialogue dans le menu Affichage / Options.

et les fonctions de temps:

 

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