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Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, l'impédance et l'admittance peuvent être manipulées en utilisant les mêmes règles que celles utilisées pour les circuits CC. Dans ce chapitre, nous allons démontrer ces règles en calculant l'impédance totale ou équivalente pour les circuits alternatifs série, parallèle et série-parallèle.
Exemple 1
Trouvez l'impédance équivalente du circuit suivant:
R = 12 ohms, L = 10 mH, f = 159 Hz
Les éléments sont en série, nous réalisons donc que leurs impédances complexes doivent être ajoutées:
Zeq = ZR + ZL = R + j w L = 12 + j* 2 *p* 159 * 0.01 = (12 + j 9.99) ohm = 15.6 ej39.8° ohm.
Yeq = 1 /Zeq = 0.064 e- j 39.8° S = 0.0492 - j 0.0409 S
Nous pouvons illustrer ce résultat en utilisant des impédancemètres et le diagramme de Phasor dans
TINA v6. Étant donné que le compteur d'impédance de TINA est un appareil actif et que nous allons en utiliser deux, nous devons organiser le circuit de sorte que les compteurs ne s'influencent pas mutuellement.
Nous avons créé un autre circuit juste pour la mesure des impédances des pièces. Dans ce circuit, les deux compteurs ne «voient» pas l'impédance de l'autre.
La Analyse / Analyse AC / Diagramme Phaseur La commande dessinera les trois phaseurs sur un diagramme. Nous avons utilisé le Label Auto pour ajouter les valeurs et les Gamme de l'éditeur de diagrammes pour ajouter les lignes auxiliaires en pointillés pour la règle de parallélogramme.
Le circuit de mesure des impédances des pièces
Diagramme de phaseur montrant la construction de Zeq avec la règle du parallélogramme
Comme le montre le diagramme, l'impédance totale, Zeq, peut être considéré comme un vecteur résultant complexe dérivé de la règle de parallélogramme des impédances complexes ZR et ZL.
Exemple 2
Trouvez l'impédance et l'admittance équivalentes de ce circuit parallèle:
R = 20 ohm, C = 5 mF, f = 20 kHz
L'admission:
L'impédance utilisant le Ztot= Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) formule pour impédances parallèles:
TINA peut également résoudre ce problème avec son interpréteur:
om: = 2 * pi * 20000;
Z: = Replus (R, (1 / j / om / C))
Z = [125.8545m-1.5815 * j]
Y: = 1 / R + j * om * C;
Y = [50m + 628.3185m * j]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Définissez d'abord replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
om=2*c.pi*20000
Z=Replus(R,1/complexe(0,1/om/C))
imprimer("Z=",cp(Z))
Y=complexe(1/R,om*C)
print("Y=",cp(Y))
Exemple 3
Trouvez l'impédance équivalente de ce circuit parallèle. Il utilise les mêmes éléments que dans l'exemple 1:
R = 12 ohm et L = 10 mH, à f = fréquence 159 Hz.
Pour les circuits parallèles, il est souvent plus facile de calculer d'abord l'admittance:
Yeq = YR + YL = 1 / R + 1 / (j*2*p*f * L) = 1 / 12 - j / 10 = 0.0833 - j 0.1 = 0.13 e-j 50° S
Zeq = 1 / Yeq = 7.68 e j 50° ohm.
TINA peut également résoudre ce problème avec son interpréteur:
f: = 159;
om: = 2 * pi * f;
Zeq: = replus (R, j * om * L);
Zeq = [4.9124 + 5.9006 * j]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Définissez d'abord replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
f = 159
om=2*c.pi*f
Zeq=Replus(R,complexe(1j*om*L))
print("Zeq=",cp(Zeq))
Exemple 4
Trouver l'impédance d'un circuit série avec R = 10 ohms, C = 4 mF et L = 0.3 mH, à une fréquence angulaire w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.957 kHz).
Z = R + j w L - j / wC = 10 + j 5*104 * 3 * 10-4 - j / (5 * 104 * 4 * 10-6 ) = 10 + j 15 - j 5
Z = (10 + j 10) ohms = 14.14 ej 45° ohms.
Le circuit de mesure des impédances des pièces
Le diagramme de phaseur généré par TINA
En commençant par le diagramme de phaseur ci-dessus, utilisons le triangle ou la règle de construction géométrique pour trouver l'impédance équivalente. On commence par bouger la queue de ZR à la pointe de ZL. Puis on bouge la queue de ZC à la pointe de ZR. Maintenant, la résultante Zeq fermera exactement le polygone à partir de la queue du premier ZR phasor et se terminant à la pointe de ZC.
Le diagramme de phaseur montrant la construction géométrique de Zeq
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = ZR + j * ZL-j * ZC;
Z = [10 + 10 * j]
abs (Z) = [14.1421]
radtodeg (arc (Z)) = [45]
{autre manière}
Zeq: = R + j * om * L + 1 / j / om / C;
Zeq = [10 + 10 * j]
Abs (Zeq) = [14.1421]
fi: = arc (Z) * 180 / pi;
fi = [45]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=ZR+1j*ZL-1j*ZC
imprimer("Z=",cp(Z))
print("abs(Z)= %.4f"%abs(Z))
print("degrés(arc(Z))= %.4f"%m.degrés(c.phase(Z)))
#autre manière
Zeq=R+1j*om*L+1/1j/om/C
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
fi=c.phase(Z)*180/c.pi
print("fi=",cp(fi))
Vérifiez vos calculs à l'aide de TINA Menu d'analyse Calculer les tensions nodales. Lorsque vous cliquez sur le compteur d'impédance, TINA présente à la fois l'impédance et l'admittance, et donne les résultats sous des formes algébriques et exponentielles.
Étant donné que l'impédance du circuit a une phase positive comme une inductance, nous pouvons l'appeler un circuit inductif–Au moins à cette fréquence!
Exemple 5
Trouvez un réseau série plus simple qui pourrait remplacer le circuit série de l'exemple 4 (à la fréquence donnée).
Nous avons noté dans l'exemple 4 que le réseau est inductif, nous pouvons donc le remplacer par une résistance de 4 ohms et une réactance inductive de 10 ohms en série:
XL = 10 = w* L = 50 * 103 L
® L = 0.2 mH
N'oubliez pas que la réactance inductive dépendant de la fréquence, cette équivalence n'est valable que pour UN fréquences.
Exemple 6
Trouvez l'impédance de trois composants connectés en parallèle: R = 4 ohms, C = 4 mF et L = 0.3 mH, à une fréquence angulaire w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.947 kHz).
Notant qu'il s'agit d'un circuit parallèle, nous résolvons d'abord l'admission:
1/Z = 1 / R + 1 / j w L + jwC = 0.25 - j / 15 +j0.2 = 0.25 +j 0.1333
Z = 1 / (0.25 + j 0.133) = (0.25 - j 0.133) /0.0802 = 3.11 - j 1.65 = 3.5238 e-j 28.1° ohms.
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = 1 / (1 / R + 1 / j / ZL-1 / j / ZC);
Z = [3.1142-1.6609 * j]
abs (Z) = [3.5294]
fi: = radtodeg (arc (Z));
fi = [- 28.0725]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
#Définissez replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=1/(1/R+1/1j/ZL-1/1j/ZC)
imprimer("Z=",cp(Z))
print("abs(Z)= %.4f"%abs(Z))
fi=m.degrés(c.phase(Z))
imprimer("fi= %.4f"%fi)
#autrement
Zeq=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C))
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
print("degrés(arc(Zeq))= %.4f"%m.degrés(c.phase(Zeq)))
L'interpréteur calcule la phase en radians. Si vous voulez une phase en degrés, vous pouvez convertir des radians en degrés en multipliant par 180 et en divisant par p. Dans ce dernier exemple, vous voyez une manière plus simple: utilisez la fonction intégrée de l'interpréteur, radtodeg. Il y a aussi une fonction inverse, degtorad. Notez que l'impédance de ce réseau a une phase négative comme un condensateur, donc nous disons que - à cette fréquence - c'est un circuit capacitif.
Dans l'exemple 4, nous avons placé trois composants passifs en série, tandis que dans cet exemple, nous avons placé les trois mêmes éléments en parallèle. La comparaison des impédances équivalentes calculées à la même fréquence, révèle qu'elles sont totalement différentes, même leur caractère inductif ou capacitif.
Exemple 7
Trouvez un réseau série simple qui pourrait remplacer le circuit parallèle de l'exemple 6 (à la fréquence donnée).
Ce réseau est capacitif en raison de la phase négative, nous essayons donc de le remplacer par une connexion en série d'une résistance et d'un condensateur:
Zeq = (3.11 - j 1.66) ohm = Re -j / wCe
Re = 3.11 ohm w* C = 1 / 1.66 = 0.6024
d'où
Re = 3.11 ohm
C = 12.048 mF
Vous pouvez, bien sûr, remplacer le circuit parallèle par un circuit parallèle plus simple dans les deux exemples
Exemple 8
Trouvez l'impédance équivalente du circuit plus compliqué suivant à la fréquence f = 50 Hz:
om: = 2 * pi * 50;
Z1: = R3 + j * om * L3;
Z2: = replus (R2,1 / j / om / C);
Zeq: = R1 + Replus (Z1, Z2);
Zeq = [55.469-34.4532 * j]
abs (Zeq) = [65.2981]
radtodeg (arc (Zeq)) = [- 31.8455]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
#Définissez replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=2*c.pi*50
Z1=R3+1j*om*L3
Z2=Replus(R2,1/1j/om/C)
Zeq=R1+Replus(Z1,Z2)
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
print("degrés(arc(Zeq))= %.4f"%m.degrés(c.phase(Zeq)))
Nous avons besoin d'une stratégie avant de commencer. Nous allons d'abord réduire C et R2 à une impédance équivalente, ZRC. Puis, voyant que ZRC est en parallèle avec les L3 et R3 connectés en série, nous calculerons l'impédance équivalente de leur connexion parallèle, Z2. Enfin, on calcule Zeq comme la somme de Z1 Et Z2.
Voici le calcul de ZRC:
Voici le calcul de Z2:
Et enfin:
Zeq = Z1 + Z2 = (55.47 - j 34.45) ohm = 65.3 e-j31.8° ohm
selon le résultat de TINA.
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