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Nous avons déjà montré comment les méthodes élémentaires d'analyse des circuits CC peuvent être étendues et utilisées dans les circuits CA pour résoudre les pics complexes ou les valeurs efficaces de tension et de courant et d'impédance ou d'admittance complexe. Dans ce chapitre, nous allons résoudre quelques exemples de division de tension et de courant dans les circuits AC.
Exemple 1
Trouver les tensions v1(t) et v2(t), étant donné que vs(T)= 110cos (2p50t).
Obtenons d'abord ce résultat par un calcul manuel en utilisant la formule de division de tension.
Le problème peut être considéré comme deux impédances complexes en série: l'impédance de la résistance R1, Z1=R1 ohms (qui est un nombre réel), et l'impédance équivalente de R2 et moi2 en série, Z2 = R2 + j w L2.
En substituant les impédances équivalentes, le circuit peut être redessiné en TINA comme suit:
Notez que nous avons utilisé un nouveau composant, une impédance complexe, désormais disponible dans TINA v6. Vous pouvez définir la dépendance en fréquence de Z au moyen d'un tableau que vous pouvez atteindre en double-cliquant sur la composante d'impédance. Dans la première ligne du tableau, vous pouvez définir soit l'impédance DC, soit une impédance complexe indépendante de la fréquence (nous avons fait cette dernière ici, pour l'inductance et la résistance en série, à la fréquence donnée).
En utilisant la formule de division de tension:
V1 = Vs*Z1 / (Z1 + Z2)
V2 = Vs*Z2 / (Z1 + Z2)
Numériquement:
Z1 = R1 = 10 ohms
Z2 = R2 + j w L = 15 + j 2*p* 50 * 0.04 = 15 + j 12.56 ohm
V1= 110 * 10 / (25+j12.56) = 35.13-j17.65 V = 39.31 e -j26.7 ° V
V2= 110 * (15+j12.56) / (25 +j12.56) = 74.86 +j17.65 V = 76.92 e j 13.3° V
La fonction temporelle des tensions:
v1(t) = 39.31 cos (wt - 26.7°) V
v2(t) = 76.9 cos (wt + 13.3°) V
Vérifions le résultat avec TINA en utilisant Analyse / Analyse AC / Calculer nodal tensionsV1
V2
Vérifions ensuite ces résultats avec l'interpréteur de TINA:
f: = 50;
om: = 2 * pi * f;
VS: = 110;
v1:=VS*R1/(R1+R2+j*om*L2);
v2:=VS*(R2+j*om*L2)/(R1+R2+j*om*L2);
v1 = [35.1252-17.6559 * j]
v2 = [74.8748 + 17.6559 * j]
abs (v2) = [76.9283]
radtodeg (arc (v2)) = [13.2683]
abs (v1) = [39.313]
radtodeg (arc (v1)) = [- 26.6866]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
f = 50
om=2*c.pi*f
VS=110
v1=VS*R1/complex(R1+R2,om*L2)
v2=VS*complex(R2,om*L2)/complex(R1+R2,om*L2)
imprimer("v1=",cp(v1))
imprimer("v2=",cp(v2))
print("abs(v1)= %.4f"%abs(v1))
print("degrés(arc(v1))= %.4f"%m.degrés(c.phase(v1)))
print("abs(v2)= %.4f"%abs(v2))
print(“arc(v2)*180/pi= %.4f”%(c.phase(v2)*180/c.pi))
Notez que lors de l'utilisation de l'interpréteur, nous n'avons pas eu à déclarer les valeurs des composants passifs. C'est parce que nous utilisons l'interpréteur dans une session de travail avec TINA dans laquelle le schéma est dans l'éditeur de schéma. L'interpréteur de TINA cherche dans ce schéma la définition des symboles des composants passifs entrés dans le programme Interpreter.
Enfin, utilisons le diagramme de phase de TINA pour démontrer ce résultat. Connexion d'un voltmètre au générateur de tension, en sélectionnant le Analyse / Analyse AC / Diagramme Phaseur , en définissant les axes et en ajoutant les étiquettes, vous obtiendrez le diagramme suivant. Notez que Style d'étiquette vue / vecteur a été mis à Amplitude pour ce diagramme.
Le diagramme montre que Vs est la somme des phaseurs V1 et V2, Vs = V1 + V2.
En déplaçant les phaseurs, nous pouvons également démontrer que V2 est la différence entre Vs et V1, V2 = Vs - V1.
Cette figure montre également la soustraction de vecteurs. Le vecteur résultant doit commencer à la pointe du deuxième vecteur, V1.
De la même manière, nous pouvons démontrer que V1 = Vs - V2. De nouveau, le vecteur résultant devrait partir de la pointe du second vecteur, V1.
Bien sûr, les deux diagrammes de phaseurs peuvent être considérés comme un simple diagramme de règles triangulaires pour Vs = V1 + V2 .
Les diagrammes de phaseur ci-dessus démontrent également la loi de tension de Kirchhoff (KVL).
Comme nous l'avons appris dans notre étude des circuits CC, la tension appliquée d'un circuit série est égale à la somme des chutes de tension aux bornes des éléments série. Les diagrammes de phaseurs démontrent que KVL est également vrai pour les circuits alternatifs, mais seulement si nous utilisons des phaseurs complexes!
Exemple 2
Dans ce circuit, R1 représente la résistance DC de la bobine L; ensemble, ils modélisent un inducteur du monde réel avec sa composante de perte. Trouvez la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes de la bobine du monde réel.
L = 1.32 h, R1 = 2 kohms, R2 = 4 kohms, C = 0.1 mF, VS(t) = 20 cos (wt) V, f = 300Hz.
V2
Résolution manuelle à l'aide de la division de tension:
= 13.91 e j 44.1° V
et
v1(t) = 13.9 cos (w ×t + 44°) V
= 13.93 e -j 44.1° V
et
v2(t) = 13.9 cos (w ×t - 44.1°) V
Notez qu'à cette fréquence, avec ces valeurs de composantes, les amplitudes des deux tensions sont presque les mêmes, mais les phases sont de signe opposé.
Encore une fois, laissons TINA faire le travail fastidieux en résolvant pour V1 et V2 avec l'interprète:
om: = 600 * pi;
V: = 20;
v1:=V*(R1+j*om*L)/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v1) = [13.9301]
Arc 180 * (v1) / pi = [44.1229]
v2:=V*(replus(R2,1/j/om/C))/(R1+j*om*L+replus(R2,(1/j/om/C)));
abs (v2) = [13.9305]
Arc 180 * (v2) / pi = [- 44.1211]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
#Définissez replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=600*c.pi
V = 20
v1=V*complex(R1,om*L)/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print("abs(v1)= %.4f"%abs(v1))
print(“180*arc(v1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v1)/c.pi))
v2=V*complex(Replus(R2,1/1j/om/C))/complex(R1+1j*om*L+Replus(R2,1/1j/om/C))
print("abs(v2)= %.4f"%abs(v2))
print(“180*arc(v2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(v2)/c.pi))
Et enfin, jetez un œil à ce résultat en utilisant le diagramme de phaseur de TINA. Connecter un voltmètre au générateur de tension, en invoquant le Analyse / Analyse AC / Diagramme Phaseur , définir les axes et ajouter les étiquettes produira le diagramme suivant (notez que nous avons défini Style d'étiquette vue / vecteur à Real + j * Imag pour ce diagramme):
Exemple 3
La source actuelle iS(t) = 5 cos (wt) A, la résistance R = 250 mohm, l'inductance L = 53 uH et la fréquence f = 1 kHz. Trouver le courant dans l'inducteur et le courant dans la résistance.
En utilisant la formule pour la division actuelle:
iR(t) = 4 cos (w ×t + 37.2°) A
De même:
iL(t) = 3 cos (w ×t - 53.1°)
Et en utilisant l'interpréteur dans TINA:
om: = 2 * pi * 1000;
est: = 5;
iL: = est * R / (R + j * om * L);
iL = [1.8022-2.4007 * j]
iR: = est * j * om * L / (R + j * om * L);
iR = [3.1978 + 2.4007 * j]
abs (iL) = [3.0019]
radtodeg (arc (iL)) = [- 53.1033]
abs (iR) = [3.9986]
radtodeg (arc (iR)) = [36.8967]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
om=2*c.pi*1000
in = 5
iL=i*R/complexe(R+1j*om*L)
print("iL=",cp(iL))
iR=complexe(i*1j*om*L/(R+1j*om*L))
print("iR=",cp(iR))
print("abs(iL)= %.4f"%abs(iL))
print("degrés(arc(iL))= %.4f"%m.degrees(c.phase(iL)))
print("abs(iR)= %.4f"%abs(iR))
print("degrés(arc(iR))= %.4f"%m.degrés(c.phase(iR)))
Nous pouvons également démontrer cette solution avec un diagramme de phaseur:
Le diagramme de phaseur montre que le courant du générateur IS est le vecteur résultant des courants complexes IL et IR. Il démontre également la loi actuelle de Kirchhoff (KCL), montrant que le courant IS entrant dans le nœud supérieur du circuit est égal à la somme de IL et IR, les courants complexes quittant le nœud.
Exemple 4
Déterminer i0(t), i1(t) et i2(t). Les valeurs des composants et la tension, la fréquence et la phase de la source sont données sur le schéma ci-dessous.
i0
i1
i2
Dans notre solution, nous utiliserons le principe de la division actuelle. On trouve d'abord l'expression du courant total i0:
I0M = 0.315 e j 83.2° A et i0(t) = 0.315 cos (w ×t + 83.2°) A
Ensuite, en utilisant la division de courant, on trouve le courant dans le condensateur C:
I1M = 0.524 e j 91.4° A et i1(t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) A
Et le courant dans l'inducteur:
I2M = 0.216 e-j 76.6° A et i2(t) = 0.216 cos (w ×t - 76.6°) A
Avec anticipation, nous cherchons à confirmer nos calculs manuels à l'aide de l'interpréteur de TINA.
V: = 10;
om: = 2 * pi * 1000;
I0: = V / ((1 / j / om / C1) + remplacement ((1 / j / om / C), (R + j * om * L)));
I0 = [37.4671m + 313.3141m * j]
abs (I0) = [315.5463m]
Arc 180 * (I0) / pi = [83.1808]
I1: = I0 * (R + j * om * L) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I1 = [- 12.489m + 523.8805m * j]
abs (I1) = [524.0294m]
Arc 180 * (I1) / pi = [91.3656]
I2: = I0 * (1 / j / om / C) / (R + j * om * L + 1 / j / om / C);
I2 = [49.9561m-210.5665m * j]
abs (I2) = [216.4113m]
Arc 180 * (I2) / pi = [- 76.6535]
{Contrôle: I1 + I2 = I0}
abs (I1 + I2) = [315.5463m]
importer les mathématiques en tant que m
importer cmath en tant que c
#Simplifions l'impression de documents complexes
Des #chiffres pour plus de transparence :
cp= lambda Z : « {:.4f} ».format(Z)
#Définissez d'abord replus en utilisant lambda :
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
V = 10
om=2*c.pi*1000
I0=V/complex((1/1j/om/C1)+Replus(1/1j/om/C,R+1j*om*L))
imprimer("I0=",cp(I0))
print("abs(I0)= %.4f"%abs(I0))
print(“180*arc(I0)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I0)/c.pi))
I1=I0*complex(R,om*L)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
imprimer("I1=",cp(I1))
print("abs(I1)= %.4f"%abs(I1))
print(“180*arc(I1)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I1)/c.pi))
I2=I0*complex(1/1j/om/C)/complex(R+1j*om*L+1/1j/om/C)
imprimer("I2=",cp(I2))
print("abs(I2)= %.4f"%abs(I2))
print(“180*arc(I2)/pi= %.4f”%(180*c.phase(I2)/c.pi))
#Contrôle : I1+I2=I0
print(“abs(I1+I2)= %.4f”%abs(I1+I2))
Une autre façon de résoudre ce problème serait de trouver d'abord la tension aux bornes de l'impédance complexe parallèle de ZLR Et ZC. Connaissant cette tension, nous avons pu trouver les courants i1 et moi2 en divisant ensuite cette tension d'abord par ZLR et ensuite par ZC. Nous montrerons ensuite la solution de la tension aux bornes de l'impédance complexe parallèle de ZLR Et ZC. Nous devrons utiliser le principe de division de tension en cours de route:
VRLCM = 8.34 e j 1.42° V
et
IC = I1= VRLCM*jwC = 0.524 e j 91.42° A
et donc
iC (t) = 0.524 cos (w ×t + 91.4°) UNE.
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