MESH और LOOP CURRENT METHODS

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किरचॉफ के समीकरणों के पूर्ण सेट को सरल बनाने का एक अन्य तरीका मेष या लूप वर्तमान विधि है। इस विधि का उपयोग करते हुए, किरचॉफ का वर्तमान कानून स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाता है, और हम जो लूप समीकरण लिखते हैं वह किर्चॉफ के वोल्टेज कानून को भी संतुष्ट करता है। किरचॉफ के वर्तमान कानून को संतुष्ट करने से सर्किट के प्रत्येक स्वतंत्र लूप में मेष या लूप धाराओं नामक बंद वर्तमान छोरों को निर्दिष्ट करने और सर्किट की अन्य सभी मात्राओं को व्यक्त करने के लिए इन धाराओं का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। चूंकि लूप धाराएं बंद हो जाती हैं, इसलिए एक नोड में प्रवाहित धारा को भी नोड से बाहर निकलना चाहिए; इसलिए इन धाराओं के साथ नोड समीकरण लिखना पहचान की ओर जाता है।

आइए पहले मेष धाराओं की विधि पर विचार करें।

हम पहले ध्यान दें कि मेष वर्तमान विधि केवल "प्लानर" सर्किट के लिए लागू है। प्लेन पर खींचे जाने पर प्लेनर सर्किट में क्रॉसिंग वायर नहीं होते हैं। अक्सर, एक सर्किट को फिर से विभाजित करके जो गैर-प्लानर प्रतीत होता है, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह वास्तव में, प्लानर है। गैर-प्लानर सर्किट के लिए, का उपयोग करें पाश वर्तमान विधि बाद में इस अध्याय में वर्णित है।

मेष धाराओं के विचार की व्याख्या करने के लिए, सर्किट की शाखाओं की कल्पना "मछली पकड़ने के जाल" के रूप में करें और जाल के प्रत्येक जाल को एक मेष वर्तमान प्रदान करें। (कभी-कभी यह भी कहा जाता है कि सर्किट के प्रत्येक "विंडो" में एक बंद वर्तमान लूप सौंपा गया है।)

योजनाबद्ध आरेख "मछली पकड़ने का जाल" या सर्किट का ग्राफ

एक साधारण ड्राइंग द्वारा सर्किट का प्रतिनिधित्व करने की तकनीक, जिसे बुलाया जाता है ग्राफ, काफी शक्तिशाली है। जबसे किरचॉफ के नियम घटकों की प्रकृति पर निर्भर नहीं करते हैं, आप ठोस घटकों की उपेक्षा कर सकते हैं और उनके लिए सरल लाइन सेगमेंट का विकल्प चुन सकते हैं, जिन्हें कहा जाता है शाखाएं ग्राफ का। ग्राफ द्वारा सर्किट का प्रतिनिधित्व करना हमें गणितीय तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है ग्राफ सिद्धांत। यह हमें एक सर्किट के टोपोलॉजिकल प्रकृति का पता लगाने और स्वतंत्र छोरों को निर्धारित करने में मदद करता है। इस विषय पर और अधिक पढ़ने के लिए इस साइट पर बाद में आएं।

मेष वर्तमान विश्लेषण के चरण:

1. प्रत्येक मेष को एक मेष वर्तमान असाइन करें। हालांकि दिशा मनमाना है, यह घड़ी की दिशा का उपयोग करने के लिए प्रथागत है।
   

2. प्रत्येक तार के चारों ओर किर्चॉफ के वोल्टेज कानून (KVL) को उसी दिशा में लागू करें, जिस दिशा में मेष धाराएं हैं। यदि किसी अवरोधक के माध्यम से दो या दो से अधिक मेष धाराएँ होती हैं, तो रोकनेवाला के माध्यम से कुल धारा की गणना मेष धाराओं के बीजगणितीय योग के रूप में की जाती है। दूसरे शब्दों में, यदि अवरोधक के माध्यम से बहने वाली एक धारा में लूप के मेष वर्तमान की दिशा समान है, तो इसका एक सकारात्मक संकेत है, अन्यथा योग में एक नकारात्मक संकेत है। वोल्टेज स्रोतों को हमेशा की तरह ध्यान में रखा जाता है, यदि उनकी दिशा मेष वर्तमान के समान है, तो उनके वोल्टेज को केवीएल समीकरणों में सकारात्मक, अन्यथा नकारात्मक, लिया जाता है। आमतौर पर, वर्तमान स्रोतों के लिए, स्रोत के माध्यम से केवल एक मेष धारा प्रवाहित होती है, और उस धारा के स्रोत के वर्तमान के समान दिशा होती है। यदि यह मामला नहीं है, तो इस पैराग्राफ में बाद में वर्णित अधिक सामान्य लूप वर्तमान विधि का उपयोग करें। वर्तमान स्रोतों को सौंपे गए मेष धाराओं वाले छोरों के लिए केवीएल समीकरण लिखने की आवश्यकता नहीं है।
   

3. मेष धाराओं के लिए परिणामी लूप समीकरणों को हल करें।
   

4. मेष धाराओं का उपयोग करके सर्किट में किसी भी अनुरोधित धारा या वोल्टेज का निर्धारण करें।

हमें उदाहरण दें निम्नलिखित उदाहरण द्वारा विधि:

नीचे दिए गए सर्किट में वर्तमान I का पता लगाएं।

हम देखते हैं कि इस सर्किट में दो मेष (या एक बाएं और दाएं खिड़की) हैं। चलो दक्षिणावर्त जाल धाराओं को असाइन करें J₁ और जे₂ जालों को। तब हम केवीएल समीकरण लिखते हैं, ओम के नियम द्वारा प्रतिरोधों में वोल्टेज को व्यक्त करते हैं:

-V₁ + जे₁* (आर_i1+R₁) - जे₂*R₁ = 0

V₂ - जे₁*R₁ + जे₂* (आर + आर₁) = 0

संख्यानुसार:

-12 + J₁* 17 - जे₂* 2 = 0

6 - जे₁* 2 + J₂* 14 = 0

एक्सप्रेस जे₁ पहले समीकरण से: J₁ = और फिर दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें: 6 - 2 * + 14 * जम्मू₂ = 0

17 से गुणा करें: 102 - 24 + 4 * जे₂ + 238 * जे₂ = 0 इसलिये J₂ =

और जे₁ =

अंत में, आवश्यक वर्तमान:

आइए टीना के साथ परिणाम देखें:

अगला, चलो पिछले उदाहरण को फिर से हल करें, लेकिन अधिक सामान्य के साथ लूप धाराओं की विधि। इस पद्धति का उपयोग करते हुए, बंद वर्तमान लूप, कहा जाता है पाश धाराओं, आवश्यक रूप से सर्किट के मेषों को नहीं सौंपा गया है, लेकिन मनमाने ढंग से स्वतंत्र छोरों। आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि प्रत्येक लूप में कम से कम एक घटक होने से लूप स्वतंत्र हैं जो किसी अन्य लूप में निहित नहीं है। प्लानर सर्किट के लिए, स्वतंत्र लूप की संख्या मेषों की संख्या के समान होती है, जिसे देखना आसान है।

स्वतंत्र छोरों की संख्या निर्धारित करने का एक अधिक सटीक तरीका इस प्रकार है।

के साथ एक सर्किट दिया b शाखाओं और N नोड्स। स्वतंत्र छोरों की संख्या l है:

एल = बी - एन + 1

यह इस तथ्य से है कि स्वतंत्र किर्चोफ के समीकरणों की संख्या सर्किट में शाखाओं के बराबर होनी चाहिए, और हम पहले से ही जानते हैं कि केवल हैं N-1 स्वतंत्र नोड समीकरण। इसलिए किर्चॉफ के समीकरणों की कुल संख्या है

b = N-1 + l और इसलिए एल = बी - एन + 1

यह समीकरण ग्राफ सिद्धांत के मूल सिद्धांत से भी आता है जिसे बाद में इस साइट पर वर्णित किया जाएगा।

अब चलो पिछले उदाहरण को फिर से हल करते हैं, लेकिन अधिक बस, लूप वर्तमान विधि का उपयोग करके। इस पद्धति के साथ हम जाल या किसी अन्य छोरों में छोरों का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं, लेकिन चलो लूप को जे के साथ रखें₁ सर्किट के बाएं जाल में। हालांकि, दूसरे लूप के लिए हम J के साथ लूप चुनते हैं_2, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। इस पसंद का लाभ यह है कि जे₁ अनुरोध किए गए वर्तमान I के बराबर होगा, क्योंकि यह R1 से गुजरने वाला एकमात्र लूप करंट है। इसका मतलब है कि हमें J2 की गणना करने की आवश्यकता नहीं है बिल्कुल नहीं. ध्यान दें, "वास्तविक" धाराओं के विपरीत, लूप धाराओं का भौतिक अर्थ इस बात पर निर्भर है कि हम उन्हें सर्किट में कैसे असाइन करते हैं।

KVL समीकरण:

J1 * (आर₁+R_i1) + जेएक्सएनयूएमएक्स * आर _i1 - वी₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R)_i) + वी₂ = 0

और आवश्यक वर्तमान: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

दूसरे समीकरण से J2 व्यक्त करें:

पहले समीकरण में स्थानापन्न:

इसलिये: J1 = I = 1 A

आगे के उदाहरण।

उदाहरण 1

नीचे दिए गए सर्किट में वर्तमान I का पता लगाएं।

ध्यान दें कि इस लूप करंट की दिशा क्या है नहीं दक्षिणावर्त चूंकि इसकी दिशा वर्तमान स्रोत द्वारा निर्धारित की जाती है। हालांकि, चूंकि यह लूप करंट पहले से ही जाना जाता है, इसलिए लूप के लिए केवीएल समीकरण लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है I_S1 लिया जाता है।

इसलिए हल करने के लिए एकमात्र समीकरण है:

-V₁ + आई * आर₂ + आर₁ * (मैं - मैं_S1) = 0

इसलिये

मैं = (V₁ + आर₁ *I_S1) / (आर₁ + आर₂)

संख्यानुसार

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

आप इस परिणाम को विश्लेषण / प्रतीकात्मक विश्लेषण / डीसी परिणाम मेनू से टीना के प्रतीकात्मक विश्लेषण को भी उत्पन्न कर सकते हैं:

या आप दुभाषिया द्वारा KVL समीकरण हल कर सकते हैं:

निम्न उदाहरण में 3 वर्तमान स्रोत हैं और लूप धाराओं की विधि द्वारा हल करना बहुत आसान है।

उदाहरण 2

वोल्टेज वी का पता लगाएं।

इस उदाहरण में, हम तीन लूप धाराओं का चयन कर सकते हैं ताकि प्रत्येक केवल एक वर्तमान स्रोत से होकर गुजरे। इसलिए, सभी तीन लूप धाराओं को जाना जाता है, और हमें केवल अज्ञात वोल्टेज, वी का उपयोग करके उन्हें व्यक्त करने की आवश्यकता है।

आर के माध्यम से धाराओं का बीजगणितीय योग बनाना₃:

V = (I)_S3 - मैं_S2) * आर₃= (10-5) * 30 = 150 वी। आप टीना के साथ इसे सत्यापित कर सकते हैं:।

ऑन-लाइन का विश्लेषण करने के लिए ऊपर दिए गए सर्किट पर क्लिक करें / टैप करें या विंडोज के तहत सहेजें के लिए इस लिंक पर क्लिक करें

अगला, आइए एक समस्या से फिर से निपटें जिसे हमने पहले ही हल कर लिया है किरचॉफ के नियम और नोड संभावित विधि अध्याय।

उदाहरण 3

रोकनेवाला आर के वोल्टेज वी का पता लगाएं₄.

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R₁ = आर₃ = एक्सएनएनएक्स ओम, आर₂ = आर₄ = एक्सएनएनएक्स ओम, आर₅ = एक्सएनयूएमएक्स ओम, आर₆ = एक्सएनएनएक्स ओम, आर₇ = एक्सएनयूएमएक्स ओम।

इस समस्या को पिछले अध्यायों में हल करने के लिए कम से कम 4 समीकरणों की आवश्यकता थी।

लूप धाराओं की विधि के साथ इस समस्या को हल करते हुए, हमारे पास चार स्वतंत्र लूप हैं, लेकिन लूप धाराओं की उचित पसंद के साथ, लूप धाराओं में से एक स्रोत वर्तमान के बराबर होगा।

ऊपर की आकृति में दिखाए गए लूप धाराओं के आधार पर, लूप समीकरण हैं:

V_S1+I₄* (आर₅+R₆+R₇) - मैं_S*R₆ -मैं₃* (आर₅ + आर₆) = 0

V_S2 - मैं₃* (आर₁+R₂) - मैं_S*R₂ + मैं₂* (आर₁ + आर₂) = एक्सएनयूएमएक्स

-V_S1 + मैं₃* (आर₁ + आर₂ + आर₃ + आर₄ + आर₅ + आर₆) + मैं_S* (आर₂ +R₄ + आर₆) - मैं₄* (आर₅ + आर₆) - मैं₂* (आर₁ + आर₂) = 0

अज्ञात वोल्टेज V लूप धाराओं द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

वी = आर₄ * (मैं₂ + मैं₃)

संख्यानुसार:

100 + मैं₄* 135-2 * 40-मैं₃* 60 = 0

150 + मैं₂* 150-2 * 50-मैं₃* 150 = 0

-100 + मैं₃* 360 + 2 * 140-मैं₄* 60-मैं₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I)₃)

हम समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए Cramer के नियम का उपयोग कर सकते हैं:

I₄ = डी₃/D

जहाँ D सिस्टम का निर्धारक है। D_4, I के लिए निर्धारक_4, सिस्टम के दाहिने हाथ को प्रतिस्थापित करके बनाया गया है जिसे I के कॉलम के लिए रखा गया है₄गुणांक है।

क्रमबद्ध रूप में समीकरणों की प्रणाली:

- 60 * मैं₃ + 135 * मैं₄= -20

150 * मैं₂-150 * मैं₃ = - 50 से

-150 * मैं₂+ 360 * मैं₃ - 60 * I₄= - 180 से

ऐसा सिद्ध D:

समीकरणों की इस प्रणाली का हल है:

वी = आर₄* (2 + मैं₃) = एक्सएनयूएमएक्स वी

आप टीना द्वारा गणना किए गए परिणाम के माध्यम से उत्तर की पुष्टि कर सकते हैं।

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इस उदाहरण में, प्रत्येक अज्ञात लूप करंट एक ब्रांच करंट (I1, I3 और I4) है; इसलिए टीना के डीसी विश्लेषण परिणामों के साथ तुलना करके परिणाम की जांच करना आसान है।