KIRCHHOFFOVI ZAKONI

Kliknite ili Dodirnite primjer krugova u nastavku da biste pozvali TINACloud i odaberite Interaktivni DC način za analizu na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili stvaranju vlastitih krugova

Mnogi sklopovi su previše složeni da bi se mogli riješiti pomoću pravila za serijske ili paralelne krugove ili tehnike pretvaranja u jednostavnije sklopove opisane u prethodnim poglavljima. Za te su sklopove potrebne općenitije metode rješenja. Najopćenitija metoda dana je Kirchhoffovim zakonima koji omogućuju izračunavanje svih napona i struja strujnih krugova rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Postoje dva Kirchhoff-ovi zakoni, naponski zakon i struje zakon. Ova dva zakona mogu se koristiti za određivanje svih napona i struja strujnih krugova.

Kirchhoffov zakon o naponu (KVL) kaže da algebrični zbroj napona raste i pad napona oko petlje mora biti jednak nuli.

Petlja u gornjoj definiciji znači zatvoreni put u krugu; to jest staza koja napušta čvor u jednom smjeru i vraća se na isti taj čvor iz drugog smjera.

U našim ćemo primjerima za petlje koristiti smjer kazaljke na satu; međutim, isti će se rezultati dobiti ako se koristi smjer suprotnom od kazaljke na satu.

Da bismo primijenili KVL bez pogreške, moramo definirati tzv. Referentni smjer. Referentni smjer nepoznatih napona pokazuje od + do - znaka pretpostavljenih napona. Zamislite da koristite voltmetar. Stavite pozitivnu sondu voltmetra (obično crvenu) na referentni terminal komponente. Ako je stvarni napon pozitivan, to je u istom smjeru kao što smo i pretpostavili, a i naše rješenje i voltmetar pokazat će pozitivnu vrijednost.

Kada izvodimo algebarski zbroj napona, moramo dodijeliti znak plus onim naponima gdje se referentni smjer podudara sa smjerom petlje, a negativni znakovi u suprotnom slučaju.

Drugi način da se kaže Kirchhoffov zakon o naponu je: primijenjeni napon serijskog kruga jednak je zbroju padova napona preko serijskih elemenata.

Sljedeći kratki primjer prikazuje uporabu Kirchhoffovog zakona o naponu.

Pronađite napon preko otpornika R_2, s obzirom da je napon izvora, V_S = 100 V i da je napon preko otpornika R₁ je V₁ = 40 V.

Donja slika može se stvoriti pomoću TINA Pro verzije 6 i novije, u kojoj su alati za crtanje dostupni u uređivaču shema.

Rješenje pomoću Kirchhoffovog zakona o naponu: -V_S + V₁ + V₂ = 0 ili V_S = V₁ + V₂

stoga: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Imajte na umu da obično ne znamo napone otpornika (osim ako ih ne izmjerimo), a za rješenje moramo koristiti oba Kirchhoffova zakona.

Kirchhoffov trenutni zakon (KCL) kaže da je algebarska suma svih struja koje ulaze i izlaze iz bilo kojeg čvora u krugu jednake nuli.

U nastavku slijedi davanje znaka + strujama koje napuštaju čvor i znak - strujama koje ulaze u čvor.

Evo osnovnog primjera koji pokazuje Kirchhoffov trenutni zakon.

Pronađite trenutnu I₂ ako je izvor struje I_S = 12 A, i ja₁ = 8 A.

Korištenje Kirchhoffova trenutnog zakona na kružnom čvoru: -I_S + I₁ + I₂ = 0, dakle: I₂= I_S - Ja₁ = 12 - 8 = 4 A, kao što možete provjeriti koristeći TINA (sljedeća slika).

U sljedećem ćemo primjeru upotrijebiti oba Kirchhoffova zakona plus Ohmov zakon za izračunavanje struje i napona preko otpornika.

Na donjoj slici primijetit ćete Napon strelica iznad otpornika. Ovo je nova komponenta dostupna u Verzija 6 TINA-e i djeluje poput voltmetra. Ako ga povežete preko neke komponente, strelica određuje referentni smjer (za usporedbu s voltmetrom, zamislite postavljanje crvene sonde na rep strelice, a crnu sondu na vrh). Kada pokrenete DC analizu, stvarni napon na komponenti bit će prikazan na strelici.

Prema Kirchhoffovom zakonu o naponu: V_S = V₁+V₂+V₃

Sada koristimo Ohmov zakon: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

A odatle struja kruga:

I = V_S / (R₁+R₂+R₃= 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Konačno naponi otpornika:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Isti će se rezultati vidjeti na strelicama napona jednostavnim provođenjem TINA-ove interaktivne istosmjerne analize.

Ukupni broj neovisnih primjena Kirchhoffovih zakona u jednom krugu je broj grana krugova, dok je ukupni broj nepoznanica (struja i napon svake grane) dvostruko veći. Međutim, upotrebom Ohmovog zakona na svakom otporniku i jednostavnim jednadžbama koje definiraju primijenjene napone i struje, dobivamo sustav jednadžbi u kojem je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi.

Pronađite struje grana I1, I2, I3 u krugu ispod.

Nodalna jednadžba za kružni čvor:

- I₁ - I₂ - Ja₃ = 0

ili množenjem s -1

I₁ + I₂ + I₃ = 0

Jednadžbe petlje (u smjeru kazaljke na satu) za petlju L1, koja sadrži V₁, R₁ i R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

i za petlju L2, koja sadrži V₂, R₂ i R₃

I₃*R₃ - Ja₂*R₂ +V₂ = 0

Zamjena vrijednosti komponente:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * Ja₃ -20 * Ja₂ + 16 = 0

Express I₁ koristeći čvornu jednadžbu: I₁ = -I₂ - Ja₃

zatim ga zamijenite drugom jednadžbom:

-V₁ - (ja₂ + I₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or - 8- (I₂ + I₃) * 40 - Ja₃* 40 = 0

Express I₂ i zamijenite ga u treću jednadžbu iz koje već možete izračunati I₃:

I₂ = - (V.₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

I: I₃ = - (V.₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Dakle I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A i I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Ili: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Sada ćemo riješiti iste jednadžbe s TINA-ovim tumačem:

Konačno ćemo provjeriti rezultati pomoću TINA:

Zatim analiziramo slijedeći još složeniji krug i utvrdimo njegove grane struje i napona.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

-I_L + I_R1 - Ja_s = 0 (za N1)

- Ja_R1 + I_R2 + I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1 - V_R3 + V_Is + V_L = 0 (za L1)

-V_Is + V_s2 +V_R2 +V_R1 = 0 (za L2)

-V_R2 - V_s2 + V_s3 = 0 (za L3)

Primjena Ohmovog zakona:

V_L = I_L*R_L

V_R1 =I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Ja_L*R₃

Ovo je 9 nepoznanica i 9 jednadžbi. Najlakši način da se to riješi je korištenje TINA-e

tumač. Međutim, ako smo pritisnuti da koristimo ručne proračune, primijetit ćemo da se ovaj skup jednadžbi može lako reducirati na sustav od 5 nepoznanica zamjenom posljednje 4 jednadžbe u jednadžbe petlje L1, L2, L3. Također, dodavanjem jednadžbi (L1) i (L2), možemo eliminirati V_Is , smanjujući problem na sustav 4 jednadžbi za 4 nepoznanice (I_L, I_R1 I_R2, I_s3). Kad smo pronašli ove struje, lako možemo odrediti V_L, V_R1, V_R2, i V_R3 korištenjem posljednje četiri jednadžbe (Ohmov zakon).

Zamjena V_L ,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L + I_R1 - Ja_s = 0 (za N1)

- Ja_R1 + I_R2 + I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1 + I_L*R₃ + V_Is + I_L*R_L = 0 (za L1)

-V_Is + V_s2 + I_R2*R₂ + I_R1*R₁ = 0 (Za L2)

- Ja_R2*R₂ - V_s2 + V_s3 = 0 (za L3)

Dodavanjem (L1) i (L2) dobivamo

-I_L + I_R1 - Ja_s = 0 (za N1)

- Ja_R1 + I_R2 + I_s3 = 0 (za N2)

-V_s1 + I_L*R₃ + I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂ + I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Ja_R2*R₂ - V_s2 + V_s3 = 0 (za L3)

Nakon zamjene vrijednosti komponenata, rješenje tih jednadžbi dolazi lako.

-I_L+I_R1 - 2 = 0 (za N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (za N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (za L₃)

od L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

iz N₂ I_S3 - Ja_R1 = - 5.25 (II)

od L₁+L₂ 110 sam_L + 30 I_R1 = -150 (III)

i za N₁ I_R1 - Ja_L = 2 (IV)

Pomnožite (IV) s –30 i dodajte u (III) 140 sam_L = -210 stoga I_L = - 1.5 A

Zamjena I_L u (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

i ja_R1 u (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

I naponi: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Ja_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

Rješavanje smanjenog skupa jednadžbi pomoću tumača:

Također možemo unijeti izraze za napone i navesti ih TINA-ov tumač: