MREŽE I TEKUĆE METODE POVRŠINE

Kliknite ili Dodirnite primjer krugova u nastavku da biste pozvali TINACloud i odaberite Interaktivni DC način za analizu na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili stvaranju vlastitih krugova

Drugi način pojednostavljenja cijelog skupa Kirchhoffovih jednadžbi je metoda mrežaste struje ili petlje. Ovom se metodom Kirchhoffov trenutni zakon ispunjava automatski, a jednadžbe petlje koje pišemo zadovoljavaju i Kirchhoffov zakon napona. Zadovoljavanje Kirchhoffovog trenutnog zakona postiže se dodjeljivanjem zatvorenih strujnih petlji nazvanih mrežaste ili petljeve struje svakoj neovisnoj petlji kruga i upotrebom tih struja za izražavanje svih ostalih količina kruga. Budući da su struje petlje zatvorene, struja koja teče u čvor također mora teći iz čvora; pa pisanje jednadžbi čvora ovim strujama vodi identitetu.

Prvo razmotrimo metodu mrežnih struja.

Prvo primjećujemo da je metoda mrežaste struje primjenjiva samo za „ravne“ krugove. Ravničarski krugovi nemaju ukrštene žice kad se povuku u ravnini. Često crtanjem kruga koji izgleda neplanarno, možete utvrditi da je, u stvari, ravan. Za neplanarne krugove koristite polje metoda struje petlje opisano kasnije u ovom poglavlju.

Da biste objasnili ideju mrežnih struja, zamislite grane kruga kao "ribarsku mrežu" i dodijelite mrežnu struju svakoj mrežici mreže. (Ponekad se kaže i da je zatvorena strujna petlja dodijeljena u svakom "prozoru" kruga.)

Shematski dijagram "Ribarska mreža" ili grafikon kruga

Tehnika predstavljanja kruga jednostavnim crtežem, nazvana a grafikon, prilično je moćan. Od Kirchhoffovi zakoni ne ovise o prirodi komponenata, možete zanemariti konkretne komponente i zamijeniti ih jednostavnim segmentnim linijama, nazvanim grane grafikona. Predstavljanje krugova prema grafovima omogućava nam korištenje matematičkih tehnika teorija grafova, To nam pomaže istražiti topološku prirodu kruga i odrediti neovisne petlje. Vratite se kasnije na ovu stranicu da biste pročitali više o ovoj temi.

Koraci analize struje mreže:

1. Dodijelite struju mrežice svakoj mrežici. Iako je smjer proizvoljan, uobičajeno je koristiti smjer u smjeru kazaljke na satu.
   

2. Primijenite Kirchhoffov napon (KVL) oko svake mreže u istom smjeru kao mrežaste struje. Ako otpornik kroz njega ima dvije ili više struja mreže, ukupna struja kroz otpornik izračunava se kao algebarska suma mrežnih struja. Drugim riječima, ako struja koja teče kroz otpornik ima isti smjer kao mrežna struja petlje, ima pozitivan znak, inače negativan znak u zbroju. Izvori napona uzimaju se u obzir kao i obično. Ako je njihov smjer jednak mrežnoj struji, njihov se napon u KVL jednadžbama uzima kao pozitivan, inače negativan. Obično za trenutne izvore kroz izvor teče samo jedna mrežasta struja i ta struja ima isti smjer kao struja izvora. Ako to nije slučaj, koristite općenitiju metodu struje petlje, opisanu u ovom odjeljku kasnije. Ne treba pisati KVL jednadžbe za petlje koje sadrže mrežaste struje dodijeljene izvorima struje.
   

3. Riješite nastale jednadžbe petlje za struje mreže.
   

4. Pomoću mrežnih struja odredite bilo koju traženu struju ili napon u krugu.

Ilustrirajmo metoda slijedećim primjerom:

Pronađite struju I u krugu ispod.

Vidimo da u ovom krugu postoje dvije mreže (ili lijevi i desni prozor). Dodijelimo mrežaste struje J u smjeru kazaljke na satu₁ i J₂ na mrežice. Zatim pišemo KVL jednadžbe, izražavajući napone preko otpornika po Ohmovom zakonu:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Brojčano:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Izraziti J₁ iz prve jednadžbe: J₁ = a zatim zamijenite u drugu jednadžbu: 6 - 2 * + * J 14₂ = 0

pomnoži sa 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 stoga J₂ =

i J₁ =

Konačno, potrebna struja:

Provjerimo rezultate s TINA:

Dalje, ponovo razriješimo prethodni primjer, ali s općenitijim metoda petljnih struja. Koristeći ovu metodu, nazivaju se zatvorene strujne petlje struje petlje, ne pripadaju nužno mrežama kruga, već proizvoljno neovisne petlje, Možete osigurati da petlje budu neovisne tako da imate najmanje jednu komponentu u svakoj petlji koja nije sadržana ni u jednoj drugoj petlji. Za ravninske krugove broj neovisnih petlji jednak je broju mrežica, što je lako vidjeti.

Precizniji način određivanja broja nezavisnih petlji je kako slijedi.

S obzirom na krug sa b grane i N čvorovi. Broj neovisnih petlji l je:

l = b - N + 1

To proizlazi iz činjenice da broj neovisnih Kirchhoffovih jednadžbi mora biti jednak granama u krugu, i već znamo da postoje samo N-1 jednadžbe neovisnih čvorova Stoga je ukupan broj Kirchhoff-ovih jednadžbi

b = N-1 + l i zbog toga l = b - N + 1

Ova jednadžba također slijedi iz temeljne teoreme teorije grafova koja će biti opisana kasnije na ovom mjestu.

Sada ponovo riješimo prethodni primjer, ali jednostavnije, primjenom metode struje petlje. Ovom metodom slobodno koristimo petlje u mrežama ili bilo kojoj drugoj petlji, ali zadržimo petlju s J₁ u lijevoj mrežici kruga. Međutim, za drugu petlju odabiremo petlju s J_2, kao što je prikazano na slici ispod. Prednost ovog izbora je u tome što je J₁ bit će jednaka traženoj struji I, jer je to jedina struja petlje koja prolazi kroz R1. To znači da ne trebamo izračunati J2 uopće. Imajte na umu da, za razliku od "stvarnih" struja, fizičko značenje struje petlje ovisi o tome kako ih dodijelimo krugu.

KVL jednadžbe:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ * R J1_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

i potrebna struja: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Izrazite J2 iz druge jednadžbe:

Zamijenite u prvu jednadžbu:

Stoga: J1 = I = 1 A

Daljnji primjeri.

Primjer 1

Pronađite struju I u krugu ispod.

Imajte na umu da je smjer ove struje petlje ne u smjeru kazaljke na satu, jer je njegov smjer određen trenutnim izvorom. No, kako je ta struja petlje već poznata, nema potrebe za pisanjem KVL jednadžbe za petlju gdje I_S1 zauzeto je.

Stoga je jedina jednačina koju treba riješiti:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Ja - Ja_S1) = 0

stoga

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Brojčano

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Ovaj rezultat možete također generirati pozivanjem TINA-ove simboličke analize iz izbornika Analiza / Simbolička analiza / DC rezultat:

Ili možete riješiti KVL jednadžbu pomoću tumača:

Sljedeći primjer ima 3 izvora struje i vrlo je lako riješiti metodom petlji struje.

Primjer 2

Pronađite napon V.

U ovom primjeru možemo odabrati tri struje petlje tako da svaka prolazi kroz samo jedan izvor struje. Stoga su poznate sve tri struje petlje, a trebamo samo izraziti nepoznati napon, V, koristeći ih.

Izrada algebarske sume struja kroz R₃:

V = (I_S3 - Ja_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. To možete potvrditi TINA-om:.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

Zatim ponovno pokušajmo riješiti problem koji smo već riješili Kirchhoffovi zakoni i Metoda potencijalnih čvorova poglavlja.

Primjer 3

Pronađite napon V otpornika R₄.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Za rješavanje ovog problema u prethodnim poglavljima bila su potrebna najmanje 4 jednadžbe.

Rješavajući ovaj problem metodom struje petlje, imamo četiri neovisne petlje, ali s pravilnim odabirom struje petlje, jedna od struja petlje bit će jednaka izvornoj struji.

Na temelju struja petlje prikazanih na slici gore, jednadžbe petlje su:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - Ja_S*R₆ -I₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Ja₃* (R₁+R₂) - Ja_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - Ja₄* (R₅ + R₆) - Ja₂* (R₁ + R₂) = 0

Nepoznati napon V mogu se izraziti strujama petlje:

V = R₄ * (I₂ + I₃)

Brojčano:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I)₃)

Možemo koristiti Cramerovo pravilo da riješimo ovaj sustav jednadžbi:

I₄ = D₃/D

gdje je D determinanta sustava. D_4, odrednica za ja_4, nastaje zamjenom desne strane sustava postavlja se za stupac I₄koeficijenti.

Sustav jednadžbi u uređenom obliku:

- 60 * I₃ + * I 135₄= -20

150 * Ja₂-150 * Ja₃ = - 50

-150 * Ja₂+ * I 360₃ - 60 * I₄= - 180

Tako je determinanta D:

Rješenje ovog sustava jednadžbi je:

V = R₄* (I + 2₃) = 34.8485 V

Odgovor možete potvrditi putem rezultata izračunatog od strane TINA.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

U ovom primjeru, svaka nepoznata struja petlje je grana struje (I1, I3 i I4); pa je lako provjeriti rezultat usporedbom s rezultatima DC analize TINA.