NAČELA ALTERNATIVNE TEKUĆINE

Kliknite ili Dodirnite primjer krugova u nastavku da biste pozvali TINACloud i odaberite Interaktivni DC način za analizu na mreži.
Nabavite jeftin pristup TINACloud uređivanju primjera ili stvaranju vlastitih krugova

KOMPLEKSNI BROJEVI

PASIVNE KOMPONENTE U AC KRUGOVIMA

Sinusoidalni napon može se opisati jednadžbom:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) ili v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

gdje	v (t)	Trenutna vrijednost napona u voltima (V).
	V_M	Maksimalna ili vršna vrijednost napona, u voltima (V)
	T	Period: Vrijeme potrebno za jedan ciklus, u sekundama
	f	Frekvencija - broj razdoblja u 1 sekundi, u Hz (Hertz) ili 1 / s. f = 1 / T
	ω	Ugaona frekvencija izražena u radijanima / s ω = 2 * π * f ili ω = 2 * π / T.
	Φ	Početna faza navedena u radijanima ili stupnjevima. Ta količina određuje vrijednost sinusnog ili kosinusnog vala att = 0.
		Napomena: Amplituda sinusnog napona ponekad se izražava kao V_eff, efektivna ili RMS vrijednost. To se odnosi na V_M prema odnosu V_M= √2V_eff,ili približno V_eff= 0.707 V_M

Evo nekoliko primjera za ilustraciju gore navedenih pojmova.

Svojstva napona 220 V AC u kućnim električnim utičnicama u Europi:

Efektivna vrijednost: V_eff= 220 V
Vršna vrijednost: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvencija: f = 50 1 / s = 50 Hz
Ugaona frekvencija: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Razdoblje: T = 1 / f = 20 ms
Funkcija vremena: v (t) = 311 sin (314 t)

Pogledajmo funkciju vremena koristeći TINA-ovu naredbu Analysis / AC Analysis / Time Function.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

Možete provjeriti da je razdoblje T = 20m i da je V_M= 311 V.

Svojstva napona 120 V AC u kućnoj električnoj utičnici u SAD-u:

Efektivna vrijednost: V_eff= 120 V
Vršna vrijednost: V_M= UM2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvencija: f = 60 1 / s = 60 Hz
Kutna frekvencija: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Razdoblje: T = 1 / f = 16.7 ms
Funkcija vremena: v (t) = 170 sin (377 t)

Napominjemo da se u ovom slučaju funkcija vremena može dati ili kao v (t) = 311 sin (314 t + Φ) ili v (t) = 311 cos (314 t + Φ), jer u slučaju izlaznog napona ne poznaju početnu fazu.

Početna faza ima važnu ulogu kada je istovremeno prisutno više napona. Dobar praktični primjer je trofazni sustav, gdje su prisutna tri napona iste vršne vrijednosti, oblika i frekvencije, od kojih svaki ima 120 ° fazni pomak u odnosu na ostale. U 60 Hz mreži, vremenske funkcije su:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 grijeha (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

Sljedeća slika s TINA-om prikazuje krug s tim vremenskim funkcijama kao TINA-ine generatore napona.

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

Razlika napona v_AB= v_A(t) - v_B(t) je prikazana kao riješena TINA-inom naredbom Analysis / AC Analysis / Time Function.

Napominjemo da je vrhunac v_AB (t) je približno 294 V, veći od 170 V vrha v_A(t) ili v_B(t) naponi, ali i ne samo zbroj njihovih vršnih napona. To je zbog fazne razlike. Raspravit ćemo kako izračunati rezultirajući napon (koji je Ö3 170 * @ 294 u ovom slučaju) kasnije u ovom poglavlju i također u odvojenom Trofazni sustavi poglavlje.

Karakteristične vrijednosti sinusoidnih signala

Iako se AC signal stalno mijenja tijekom razdoblja, lako je definirati nekoliko karakterističnih vrijednosti za uspoređivanje jednog vala s drugim: To su vrijednosti vrha, prosjeka i srednjeg kvadrata (rms).

Već smo postigli najveću vrijednost V_M , koja je jednostavno maksimalna vrijednost vremenske funkcije, amplituda sinusoidnog vala.

Ponekad se koristi vrijednost od vrha do vrha (pp). Za sinusoidne napone i struje, vrijednost od vrha do vrha je dvostruka vršna vrijednost.

Korištenje električnih romobila ističe Prosječna vrijednost sinusnog vala je aritmetička sredina vrijednosti pozitivnog polu-ciklusa. Također se zove apsolutni prosjek budući da je isti kao i prosjek apsolutne vrijednosti valnog oblika. U praksi se ovaj valovski oblik susrećemo ispravljanje sinusni val s sklopom koji se zove ispravljač punog vala.

Može se pokazati da je apsolutni prosjek sinusoidnog vala:

V_AV= 2 / π V_M 0.637 V_M

Imajte na umu da je prosjek cijelog ciklusa nula.
Rms ili efektivna vrijednost sinusnog napona ili struje odgovara ekvivalentnoj DC vrijednosti koja proizvodi istu snagu grijanja. Na primjer, napon s efektivnom vrijednošću 120 V proizvodi istu snagu grijanja i rasvjete u žarulji kao i 120 V iz izvora istosmjernog napona. Može se pokazati da je efektivna ili efektivna vrijednost sinusnog vala:

V_RMS = V_M/ UM2 N 0.707 V_M

Ove vrijednosti mogu se izračunati na isti način za napone i struje.

RMS vrijednost je vrlo važna u praksi. Osim ako nije drugačije naznačeno, napon AC napona (npr. 110V ili 220V) su dani u rms vrijednostima. Većina mjerača izmjenične struje kalibrirana je u rms i pokazuje rms razinu.

Primjer 1 Pronađite vršnu vrijednost sinusnog napona u električnoj mreži s 220 V rms vrijednosti.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Primjer 2 Pronađite vršnu vrijednost sinusnog napona u električnoj mreži s 110 V rms vrijednosti.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Primjer 3 Nađite (apsolutno) prosjek sinusnog napona ako je njegova efektivna vrijednost 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Primjer 4 Pronađite apsolutni prosjek sinusnog napona ako je njegova efektivna vrijednost 110 V.

Vrhunac napona iz primjera 2 je 155.58 V i stoga:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Primjer 5 Pronađite odnos između apsolutnog prosjeka (V_a) i vrijednosti rms (V) za sinusoidni valni oblik.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Imajte na umu da prosječne vrijednosti ne možete dodavati u strujni krug izmjenične struje jer to dovodi do neispravnih rezultata.

PHASORS

Kao što smo već vidjeli u prethodnom odjeljku, često je potrebno u AC krugovima dodati sinusoidne napone i struje iste frekvencije. Iako je moguće dodavati signale numerički koristeći TINA, ili primjenom trigonometrijskih odnosa, prikladnije je koristiti tzv. vektor način, Fazor je kompleksan broj koji predstavlja amplitudu i fazu sinusoidnog signala. Važno je napomenuti da phasor ne predstavlja frekvenciju, koja mora biti ista za sve faze.

Fazor se može obraditi kao kompleksan broj ili grafički prikazati kao planarna strelica u složenoj ravnini. Grafički prikaz se naziva fazorski dijagram. Pomoću dijagrama fazora možete dodavati ili oduzimati fazore u složenoj ravnini pomoću pravila trokuta ili paralelograma.

Postoje dva oblika složenih brojeva: pravokutan i Polarni.

Pravokutni prikaz je u formi + jb, gdje j = Ö-1 je imaginarna jedinica.

Polarna reprezentacija je u obliku Ae^j ^j , gdje je A apsolutna vrijednost (amplituda) i f je kut fazora od pozitivne stvarne osi, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Koristit ćemo igla slova za složene količine.

Sada ćemo vidjeti kako izvesti odgovarajuću fazor iz vremenske funkcije.

Prvo pretpostavimo da su svi naponi u krugu izraženi u obliku kosinusnih funkcija. (Svi naponi mogu se pretvoriti u taj oblik.) Zatim vektor koji odgovara naponu od v (t) = V_M cos ( w t+f) je: V_M= V_Me ^jf, koji se također naziva kompleksna vršna vrijednost.

Na primjer, razmotrite napon: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Odgovarajući phasor je: V

Na isti način možemo izračunati vremensku funkciju od fazora. Prvo napišemo phasor u polarnom obliku, npr V_M= V_Me ^j^ri tada je odgovarajuća vremenska funkcija

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Na primjer, razmotrite phasor V_M= 10 - j20 V

Dovođenje u polarni oblik:

Stoga je vremenska funkcija: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

Za određivanje složene efektivne ili efektivne vrijednosti napona i struja u izmjeničnim krugovima često se koriste fazori. S obzirom na v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Brojčano:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Kompleksna efektivna (rms) vrijednost: V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

I obratno: ako je kompleksna efektivna vrijednost napona:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

tada kompleksna vršna vrijednost:

i funkcija vremena: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Kratko opravdanje gore navedenih tehnika je kako slijedi. S obzirom na vremensku funkciju
V_M (cos ( w t+r), definiramo složena funkcija vremena kao:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (cos (r) + j grijeh(r)) E ^j^wt

gdje V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (cos (r) + j grijeh(r)) samo je gore spomenuti phasor.

Na primjer, složena vremenska funkcija v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j sin (30)) = e ^j^wt (+ 8.66j5)

Uvođenjem složene vremenske funkcije, imamo predstavu s realnim dijelom i imaginarnim dijelom. Uvijek možemo obnoviti izvornu stvarnu funkciju vremena uzimajući stvarni dio našeg rezultata: v (t) = Re {v(T)}

Međutim, kompleksna funkcija vremena ima veliku prednost da, budući da sve složene funkcije vremena u izmjeničnim krugovima izmjenične struje imaju isti e^j^w^tmultiplikator, možemo to faktorizirati i samo raditi s fazorima. Štoviše, u praksi ne koristimo e^j^w^tdio uopće - samo transformacije iz vremenskih funkcija u fazore i natrag.

Da bismo pokazali prednost korištenja faza, pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 6 Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = 100 cos (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Najprije napišite fazore oba napona:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Stoga:

V_dodati = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_ispod = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67}^°

i zatim vremenske funkcije:

v_dodati(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_ispod(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Kao što pokazuje ovaj jednostavan primjer, metoda phasors.je iznimno moćan alat za rješavanje AC problema.

Riješimo problem pomoću alata u TINA-inom tumaču.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
{izračun v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-piperidm- / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (luk (v1add)) = [- 14.6388]

{Izračun v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (luk (v1sub)) = [28.6751]

#Python rješenje!
#izračun v1+v2
uvezi matematiku kao m
import cmath kao c
v1=100
v2=50*c.exp(kompleks(0,-c.pi/4))
ispis(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
ispis(“vadd=”,vadd)
ispis(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stupnjevi(luk(vadd))=”,m.stupnjevi(c.faza(vadd)))
#izračun v1-v2
vsub=v1-v2
ispis(“vsub=”,vsub)
ispis(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stupnjevi(luk(vsub))=”,m.stupnjevi(c.faza(vsub)))

Rezultati amplitude i faze potvrđuju ručne izračune.

Sada ćemo provjeriti rezultat pomoću TINA-ine AC analize.

Prije izvođenja analize, pobrinimo se da Osnovna funkcija za izmjeničnu struju Postaviti na kosinus u Mogućnosti uređivača iz izbornika Prikaz / Opcije. Objasnit ćemo ulogu ovog parametra na Primjer 8.

Krugovi i rezultati:

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

Rezultat je opet isti. Evo grafova vremenske funkcije:

Primjer 7 Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = 100 sin (314 * t) i v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Ovaj primjer otvara novo pitanje. Do sada smo zahtijevali da sve funkcije vremena budu dane kao kosinusne funkcije. Što ćemo učiniti s vremenskom funkcijom koja je dana kao sinus? Rješenje je pretvoriti sinusnu funkciju u kosinusnu funkciju. Koristeći trigonometrijski odnos sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), naš se primjer može preformulirati na sljedeći način:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) i v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Sada su fazori napona:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Stoga:

V _dodati = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _ispod = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

i zatim vremenske funkcije:

v_dodati(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_ispod(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Riješimo problem pomoću alata u TINA-inom tumaču.

{Rješenje TINA-ovog tumača}
{izračun v1 + v2}
v1: = - * j 100
v2: = 50 * exp (-piperidm- / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (luk (v1add)) = [- 75.3612]

{Izračun v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (luk (v1sub)) = [- 118.6751]

Provjerimo rezultat s TINA-inom AC analizom

Kliknite / dodirnite gornji krug kako biste analizirali on-line ili kliknite ovu vezu da biste spremili u sustavu Windows

Primjer 8

Pronađite sumu i razliku napona:

v₁ = Sinus 100 (314 * t) i v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Ovaj primjer ukazuje na još jedan problem. Što ako su svi naponi dani kao sinusni valovi, a mi također želimo vidjeti rezultat kao sinusni val ?. Mogli bismo naravno pretvoriti oba napona u kosinusne funkcije, izračunati odgovor i rezultat pretvoriti natrag u sinusnu funkciju - ali to nije potrebno. Možemo stvoriti fazore od sinusnih valova na isti način kao što smo to učinili od kosinusnih valova, a zatim jednostavno koristiti njihovu amplitudu i faze kao amplitudu i fazu sinusnih valova u rezultatu.

To će očito dati isti rezultat kao i transformiranje sinusnih valova u kosinusne valove. Kao što smo mogli vidjeti u prethodnom primjeru, to je jednako množenju s -j i zatim pomoću cos (x) = sin (x-90°) odnos za transformaciju natrag u sinusni val. To je jednako množenju s j, Drugim riječima, jer -j × j = 1, mogli bismo koristiti faze izvedene izravno iz amplitude i faze sinusnih valova za predstavljanje funkcije i zatim se izravno vratiti na njih. Također, razmišljajući na isti način o složenim vremenskim funkcijama, možemo uzeti u obzir sinusne valove kao imaginarne dijelove složenih vremenskih funkcija i dopuniti ih kosinusnom funkcijom kako bismo stvorili punu kompleksnu funkciju vremena.

Pogledajmo rješenje za ovaj primjer koristeći sinusne funkcije kao bazu fazora (transformiranje grijeha ( w t) na stvarnu jedinicu (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Stoga:

V _dodati = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _ispod = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Imajte na umu da su phasori potpuno isti kao u primjeru 6, ali ne i vremenskim funkcijama:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Kao što vidite, vrlo je lako dobiti rezultat pomoću sinusnih funkcija, posebno kada su naši početni podaci sinusni valovi. Mnogi udžbenici radije koriste sinusni val kao osnovnu funkciju fazora. U praksi možete koristiti bilo koju metodu, ali nemojte ih miješati.

Kada stvarate phasore, vrlo je važno da se sve funkcije vremena prvo pretvore u sinus ili kosinus. Ako ste započeli s sinusnim funkcijama, vaša rješenja trebaju biti predstavljena sine funkcijama kada se vraćaju s phasora na funkcije vremena. Isto vrijedi i ako počnete s kosinusnim funkcijama.

Riješit ćemo isti problem koristeći TINA-in interaktivni način rada. Budući da želimo koristiti sinusne funkcije kao bazu za kreiranje faza, pazite da Osnovna funkcija za izmjeničnu struju postavljena je na sinus u Mogućnosti uređivača dijaloški okvir iz izbornika Pogled / Opcije.