KOMPLEX SZÁMOK

A TINACloud meghívásához kattintson az alábbiakra vagy érintse meg az alábbi példa áramköröket, és válassza ki az Interaktív DC módot az online elemzéshez.
Találjon alacsony költségű hozzáférést a TINACloudhoz a példák szerkesztéséhez vagy saját áramkörök létrehozásához

Ebben és a következő fejezetekben nagyon fontos témát fogunk bemutatni: AC vagy váltakozó áram. A váltakozó áramú név nem túl pontos, és általában szinuszos feszültségekkel és áramokkal rendelkező áramkört foglal magában; azonban a váltakozó áram bármilyen tetszőleges áramhullámot is jelenthet. A váltakozó áramú feszültség fontossága az, hogy az ilyen feszültséget a fő villamos energiaforráshoz használják otthonokban és iparágakban az egész világon. Számos elektronikai, távközlési és ipari alkalmazás alapja.

A szinuszos hullámformák és a hozzájuk kapcsolódó áramkörök kezeléséhez egy egyszerű és elegáns módszert fogunk használni, amelyet a fázisok módszerének nevezünk. A fázisok a komplex számok tulajdonságain alapulnak, amelyek ideálisak a szinuszos mennyiségek reprezentálására. Ebben a fejezetben összefoglaljuk a komplex számokkal és azok működésével kapcsolatos főbb tényeket. Azt is megmutatjuk, hogy a TINA tolmácsja megkönnyíti a számítások elvégzését komplex számokkal.

A komplex számok két részből állnak: a valódi rész (x), ami egy valós szám, és egy úgynevezett képzeletbeli rész (y), ami egy valós szám szorozva , a képzeletbeli egység. A komplex szám zezért a következőképpen írható le:

z = x + jy

ahol .

Példák komplex számokra:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

A komplex számokat eredetileg a tizenhetedik században vezették be, hogy képviseljék a polinomok gyökereit, amelyeket nem lehet csupán a valós számokkal ábrázolni. Például az x egyenlet gyökerei2 + 2x + 2 = Az 0 csak úgy írható le, mint , vagy használja a jelölést , z1= 1 + j z2= 1- j. Az új jelöléssel a kifejezések tulajdonságainak vizsgálatára a matematikusok képesek voltak bizonyítani tételeket és megoldani azokat a problémákat, amelyeket addig is nehéz, ha nem is lehetetlen volt megoldani. Ez összetett algebrai és összetett függvények kidolgozásához vezetett, amelyeket ma már széles körben használnak a matematikában és a mérnöki munkában.

Komplex számok geometriai ábrázolása

Téglalap alakú

Mivel egy komplex szám mindig felosztható valós és komplex részeire, egy komplex számot pontokként ábrázolhatunk egy kétdimenziós síkon. A komplex szám valós része a pont kivetítése a valós tengelyre, a szám képzeletbeli része pedig a képzeletbeli tengelyre vetítés. Ha egy komplex számot a valós és a képzeletbeli részek összegével ábrázolunk, akkor azt mondjuk, hogy benne van négyszögletes or algebrai forma.


Az alábbi ábra a komplex számot mutatja z = 2 + 4j

Poláris és exponenciális forma

Amint az a fenti ábrából látható, az A pontot a nyíl hossza is ábrázolhatja, r (abszolút értéknek, nagyságnak vagy amplitúdónak is nevezik), és annak szöge (vagy fázisa), φ az óramutató járásával ellentétes irányban a pozitív vízszintes tengelyhez viszonyítva. Ez a poláris egy komplex szám alakja. R ∠ -nek jelöljük φ.

A következő lépés nagyon fontos. A poláris formában lévő komplex szám is beírható exponenciális forma:

Ez az egyszerű kifejezés megkülönböztető jellegű, mivel az exponenssel a szokásos valós szám helyett képzeletbeli számot tartalmaz. Ez az összetett exponenciális tényező nagyon eltérően viselkedik, mint az exponenciális függvény, valós érveléssel. Míg ex gyorsan növekszik nagyságrendben az x> 0 növekedésével, és csökken a függvény x <0 esetén ugyanolyan nagyságrendű (z = 1) bármelyik φ esetén. Ezenkívül komplex értékei az egységkörön helyezkednek el.

Az Euler képlete a komplex számok derékszögű, poláris és exponenciális formái között egységes összeköttetést biztosít:

z = x + jy = újra jφ = r (cos φ + j bűn φ )

ahol

φ = tan-1 (Y / x).

A fenti példánkhoz z = 2 + 4j:

φ = tan-1 (4 / 2) = 63.4 °

ebből adódóan .

Vagy fordítva:

Az alkalmazástól függően ügyesnek kell lennie mindkét űrlap használatához. Például az összeadást vagy a kivonást nyilvánvalóan könnyebb megtenni, ha a számok téglalap alakúak, míg a szorzás és az osztás könnyebb megtenni, ha a számok exponenciális formában vannak.

Komplex számokkal rendelkező műveletek

A komplex számokkal elvégezhető műveletek hasonlóak a valós számok műveleteihez. A szabályokat és néhány új meghatározást az alábbiakban foglalunk össze.

J műveletek

A műveletek j egyszerűen kövesse a képzeletbeli egység definícióját,

Ahhoz, hogy gyorsan és pontosan tudjon dolgozni, emlékezzen ezekre a szabályokra:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j = -j

Bizonyíték:

j2 = -1 egyszerűen következik a mivel

1 /j, 1 /jby j / j = 1 és kap j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Komplex konjugátum

Egy komplex szám komplex konjugátuma könnyen levezethető és nagyon fontos. Ahhoz, hogy a komplex szám komplex konjugátumát téglalap alakú formában kapjuk meg, egyszerűen változtassuk meg a képzeletbeli rész jeleit. Ehhez exponenciális formában egy számhoz változtassa meg a komplex szám szögének jeleit, miközben megtartja abszolút értékét.

Komplex szám komplex konjugátuma z gyakran jelöli z*.

A komplex számot figyelembe véve z= A + jb, a komplex konjugátuma z*= a- jb.

If z exponenciális formában van megadva, , komplex konjugátuma

A fenti definíciók segítségével könnyen láthatjuk, hogy a komplex szám szorozva a komplex konjugátummal adja meg a komplex szám abszolút értékének négyzetét:

z Z* = r2 = a2 + b2

A komplex számok és konjugátumok hozzáadásával vagy kivonásával a következő kapcsolatokat kapjuk:

z + z * = 2a

ebből adódóan

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

Hasonlóképpen:

z - z * =j2b

ebből adódóan

im (z) = b = ( z -z * ) / 2j

Bizonyíték:

vagy a valós és képzeletbeli részek szaporítása és használata j2= -1

z Z* = (A + jb) (a - jb) = a2+a jb - a jb - jbjb = a2j2 = a2 + b2

z + z* = A + jb + a - jb = 2a

z Z*= A + jb - a + jb =j2b

Számszerű példák:

Téglalap alakú:

z = 3 + j4

z* = 3- j4

z Z * = 9 + 16 = 25

Poláris formában

z = 5 = 53.13 °

z * = 5 ~ 53.13 °

Exponenciális formában:

Összeadás és kivonás

A komplex számok összeadása és kivonása egyszerű - csak a valós és a képzeletbeli részeket külön kell hozzáadnunk. Például, ha

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

akkor

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z1 - z2 = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Nyilvánvaló, hogy ezeket a műveleteket téglalap alakú formában kell használni. Ha a számokat exponenciálisan vagy poláris formában adjuk meg, akkor ezeket először téglalap alakúvá kell alakítani, az Euler fenti képletével.

Szorzás

Két módszer létezik a komplex számok szorzására -

A téglalap alakú komplex számok szorzata

A művelet végrehajtásához egyszerűen szorozzuk meg az egyik szám valós és képzeletbeli részeit a másik szám valós és képzeletbeli részeivel, és használjuk az azonosítót j2 = -1.

z1z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2) = a1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - b1b2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

Ha a komplex számokat számszerűen adjuk meg, a fenti képlet nem szükséges. Például hagyja

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

Az összetevők közvetlen szorzásával:

z1z2 = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

vagy a következő képlet használatával: z1z2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ B2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Úgy gondoljuk, hogy nagyobb valószínűséggel hibázik, ha a képletet használja, mint ha közvetlenül az összetevőket szaporítja.

{TINA tolmácsának megoldása}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

A poláris vagy exponenciális formában megadott komplex számok szorzata

Ennek a műveletnek a végrehajtásához megszorozzuk az abszolút értékeket, és adjuk hozzá a két komplex szám szögeit. Legyen:

Ezután használja az exponenciális függvények szorzásának szabályát:

vagy poláris formában

z1 z2 = r1 r2 ∠ φ1 + φ2

Megjegyzés: Ezt a szabályt már használtuk, amikor kiszámítottuk z Z *felett. Mivel a konjugátum szöge az eredeti szög ellentétes jellel rendelkezik, a saját konjugátumával megszorozott komplex szám mindig valós szám; nevezetesen abszolút értékének négyzete: z Z * = r2

Például:

z1 = 5x30 ° és z2 = 4 -60 °

akkor

z1z2 = 20 -30 °

vagy exponenciális formában

A szorzás nyilvánvalóan egyszerűbb, ha a számok poláris vagy exponenciális formában vannak.

Ha azonban a komplex számokat téglalap alakban adják meg, akkor a fentiek szerint meg kell fontolnia a szorzás közvetlen végrehajtását, mivel vannak további lépések, ha a számokat poláris alakba konvertáljuk, mielőtt megszorozzuk őket. Egy másik szempont, amelyet mérlegelni kell, hogy a válaszokat téglalap alakú vagy poláris / exponenciális formában szeretné-e adni. Például, ha a két szám téglalap alakú, de szeretné, hogy azok terméke poláris alakban legyen, akkor érdemes azokat azonnal konvertálni, majd szorozni.

osztály

A komplex számok felosztására két módszer létezik -

A téglalap alakú komplex számok megosztása

A művelet elvégzéséhez szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a nevező konjugátumával. Az nevező valós számgá válik, és az osztást két komplex szám szorozására és valós számmal való osztásra redukálják, a nevező abszolút értékének négyzetére.


Például:

z1 = 3 - 4j z2 = 2 + 3j

Nézzük meg ezt az eredményt TINA tolmácsával:

{TINA tolmácsának megoldása}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

A poláris vagy exponenciális formában megadott komplex számok megosztása

A művelet végrehajtásához osszuk fel az abszolút értékeket (nagyságokat), és vonjuk le a nevező szögét a számláló szögéből. Legyen:

majd az exponenciális függvények megosztásának szabályát használjuk

vagy poláris formában

z 1 / z2 = r1 / r2 φ 1- φ 2

Például:

z 1 = 5 ∠ 30 ° és z 2 = 2 ∠ -60 °

akkor

z 1 / z2 = 2.5 = 90 °

vagy exponenciális és téglalap alakú formában

Nézzük meg ezt az eredményt TINA tolmácsával:

{TINA tolmácsának megoldása}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

Az osztás nyilvánvalóan egyszerűbb, ha a számok poláris vagy exponenciális formában vannak.

Ha azonban a komplex számokat téglalap alakban adjuk meg, akkor érdemes megfontolnia az osztást közvetlenül a fenti ábra szerinti komplex konjugátum módszerrel, mivel vannak további lépések, ha a számokat poláris formába konvertáljuk, mielőtt elosztjuk őket. Egy másik szempont, amelyet mérlegelni kell, hogy a válaszokat téglalap alakú vagy poláris / exponenciális formában szeretné-e adni. Például, ha a két szám téglalap alakú, de szeretné, ha hányadosuk lenne poláris alakban, akkor érdemes azokat azonnal konvertálni, majd elosztani.

Most szemléltetjük a komplex számok számszerűbb használatát. Mint mindig, a TINA tolmács segítségével ellenőrizzük megoldásainkat. A tolmács radiánokkal dolgozik, de standard funkciókkal rendelkezik a radiánok fokozatokra való átalakítására vagy fordítva.

Példa 1 Keresse meg a poláris ábrázolást:

z = 12 - j 48

vagy 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA tolmácsának megoldása}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
ARC (Z) = [- 1.3258]
radtodeg (ív (Z)) = [- 75.9638]

Példa 2 Keresse meg a téglalap alakú ábrázolást:

z = 25 e j 125 °

{TINA tolmácsának megoldása}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
Z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (Z) = [- 14.3394]
Im (Z) = [20.4788]

Példa 3 Keresse meg a következő komplex számok poláris ábrázolását:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

Mind a négy szám abszolút értéke azonos, mivel az abszolút érték független a jelektől. Csak a szögek különböznek egymástól.

{TINA tolmácsának megoldása}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
ARC (z1) = [1.3258]
radtodeg (ív (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
ARC (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (ív (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
ARC (z3) = [1.8158]
radtodeg (ív (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
ARC (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (ív (z4)) = [- 104.0362]

A TINA ív () funkciója meghatározza bármely komplex szám szögét, automatikusan helyesen helyezve azt a négy negyed egyikébe.

Legyen óvatos, azonban használja a barnát-1 funkció a szög megtalálásához, mivel csak a visszatérő szögekre korlátozódik az első és a negyedik negyedben (–90 °φ<90 °).

Óta z1 a koordinátarendszer első negyedében található, a számítás:

α 1 = tan-1(48 / 12) = tan-1(4) = 75.96 °

Óta z4 a koordinátarendszer harmadik negyedében található, tan-1nem adja vissza a szöget helyesen. A szögszámítás:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° vagy -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, ami megegyezik a TINA által számított értékkel.

z2 a koordinátarendszer negyedik negyedében található A szögszámítás:

α 2 = tan-1(-48 / 12) = tan-1(-4) = -75.96 °

z3, azonban a koordinátarendszer 2nd negyedében van, így tan-1 nem tér vissza megfelelően. A szögszámítás:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Példa 4 Két összetett számunk van: z1= 4 - j 6 és z2 = 5 ej45 ° .

Találj z3 = z1 + z2; z4 = z1 - z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

Először a problémát TINA tolmács segítségével oldjuk meg

{TINA tolmácsának megoldása}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Figyeljük meg, hogy a TINA könnyedén kezeli a különböző összetett számokat.

Tolmács nélkül a megoldás bonyolultabb. Annak érdekében, hogy összehasonlítsuk a szorzás és az osztás különféle módszereit, először meghatározzuk a z1 és a téglalap alakú z2 .

Ezután megkeressük a négy megoldást, először a legegyszerűbb formák felhasználásával: téglalap alakú összeadáshoz és kivonáshoz, és exponenciális szorzáshoz és osztáshoz:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1 - z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(-56.31 ° + 45 °) = 36.05 e -j11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +)j* sin (-11.31 °))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 e - j 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +)j* sin (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

amelyek egyetértenek a TINA tolmáccsal kapott eredményekkel.

A téglalap alakú szorzás:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Végül a téglalap alakú részleg:

amelyek az előző eredményekkel egyetértenek.

    X
    Üdvözöljük a Cégünk a DesignSoft Kft.
    Lehetővé teszi a csevegést, ha segítségre van szüksége a megfelelő termék megtalálásához vagy támogatásra.
    a wpchatıco