KIRCHHOFF törvényei az AC CIRCUITS-ban

A TINACloud meghívásához kattintson az alábbiakra vagy érintse meg az alábbi példa áramköröket, és válassza ki az Interaktív DC módot az online elemzéshez.
Találjon alacsony költségű hozzáférést a TINACloudhoz a példák szerkesztéséhez vagy saját áramkörök létrehozásához

THÉVENIN ÉS NORTON EQUIVALENT CIRCUITS

NODE POTENCIÁLIS ÉS MESH CURRENT MÓDSZER AC ACIRCUITS-ban

Mint már láttuk, a szinuszos gerjesztésű áramkörök segítségével oldhatók meg komplex impedanciák az elemek és komplex csúcs or bonyolult rms értékek az áramokhoz és a feszültségekhez. A Kirchhoff-törvények komplex értékváltozatának felhasználásával a csomópont és a háló elemzési technikák alkalmazhatók a váltakozó áramú áramkörök DC-áramkörökhöz hasonló megoldására. Ebben a fejezetben ezt Kirchhoff törvényeinek példáin keresztül mutatjuk be.

Példa 1

Keresse meg az i áram amplitúdóját és fázisszöget_vs(T) if
v_S(t) = V_SM cos 2pft; i (t) = I_SM cos 2pft; V_SM = 10 V; én_SM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohm; L = 0.2 mH; C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Összességében 10 ismeretlen feszültség és áram van, nevezetesen: i, i_C1, A_R, A_L, A_C2-ban_C1-ban_R-ban_L-ban_C2 és v_IS. (Ha a feszültségekre és az áramokra komplex csúcs vagy rms értékeket használunk, akkor összesen 20 valós egyenlet van!)

Az egyenletek:

Hurok vagy hálós egyenletek: a M₁- V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ - V_RM + V_LM = 0

M₃ - V_LM + V_C2M = 0

M₄ - V_C2M + V_ISM = 0

Ohm törvényei V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

N Nodális egyenlet₁ - I_C1M - I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

sorozatelemekhez I = I_C1M

Az egyenletrendszer megoldásával megtalálhatja az ismeretlen áramot:

i_vs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

Egy ilyen nagy összetett egyenletrendszer megoldása nagyon bonyolult, ezért nem mutattuk be részletesen. Minden komplex egyenlet két valós egyenlethez vezet, így a megoldást csak a TINA tolmácsával kiszámított értékek alapján mutatjuk be.

A TINA tolmácsát használó megoldás:

{TINA tolmácsának megoldása}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Van: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, Vc2, Vis, Ivs
Vs = Vc1 + Vr {M1}
Vr = VL {M2}
Vr = Vc2 {M3}
Vc2 = Vis {M4}
Ivs = Ir + IL + Ic2-Is {N1}
{Ohm szabályai}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
IVS = Ic1
end;
Ivs = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (IVS) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * ív (IVS) / pi
fiIvs = [79.9613]

A megoldás a TINA használatával:

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

A probléma kézzel történő megoldásához dolgozzon az összetett impedanciákkal. Például R, L és C₂ párhuzamosan vannak csatlakoztatva, így egyszerűsítheti az áramkört a párhuzamos egyenérték kiszámításával. || az impedanciák párhuzamos egyenértékét jelenti:

Számszerűen:

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Az impedanciát használó egyszerűsített áramkör:

Az egyenletek rendezett formában: I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

Négy ismeretlen van I; I_Z; V_C1; V_Z - és négy egyenletünk van, így megoldás lehetséges.

expressz I a többi ismeretlen helyett az egyenletekből:

Számszerűen

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

A TINA tolmácsának eredménye szerint.

{Megoldás a Z impedancia felhasználásával}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
Van: = 1;
Z: = replus (R, replus (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys I
I = J * om * C1 * (Vs-Z * (I + jelentése))
end;
I = [3.1531E1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * ív (I) / pi = [79.9613]

Az áram időfüggvénye tehát a következő:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A

A fázisdiagramok segítségével ellenőrizheti Kirchhoff jelenlegi szabályát. Az alábbi képet a csomópontegyenlet ellenőrzésével dolgoztuk ki az i_Z = i + i_G1forma. Az első ábra a párhuzamos görbével beillesztett páárokat mutatja, a második ábra a phasor hozzáadás háromszögszabályát mutatja be.

Most pedig mutassuk be a KVR-t a TINA fázisdiagramjának használatával. Mivel a forrásfeszültség negatív az egyenletben, a feszültségmérőt “hátrafelé” csatlakoztattuk. A fázisdiagram bemutatja a Kirchhoff-féle feszültségszabály eredeti formáját.

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Az első fázisdiagram a paralelogram szabályt használja, míg a második a háromszög szabályt használja.

A KVR szemléltetése az V. formában_C1 + V_Z - V_S = 0, újra csatlakoztattuk a voltmérőt a feszültségforráshoz hátra. Láthatja, hogy a fázis-háromszög zárva van.

Ne feledje, hogy a TINA lehetővé teszi szinusz vagy koszinusz funkció használatát alapfunkcióként. A választott funkciótól függően a fázisdiagramokban látható komplex amplitúdók 90 ° -kal eltérhetnek. Az alapfunkciót a 'Nézet' 'Beállítások' 'Az AC alapfunkciója' alatt állíthatja be. Példáinkban mindig a koszinusz funkciót használtuk alapul.

Példa 2

Keresse meg az összes alkatrész feszültségét és áramát, ha:

v_S(t) = 10 cos wtévé, i_S(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C₁ = 100 nF, C₂ = 50 nF, R₁ = R₂ = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Legyen az ismeretlen a „passzív” elemek feszültségének és áramának, valamint a feszültségforrás áramának (i_VS) és az áramforrás feszültsége (v_IS). Összességében tizenkét komplex ismeretlen létezik. Három független csomópontunk van, négy független hurok (M jelöléssel)_I), és öt passzív elem, amelyek öt „Ohm törvényével” jellemezhetők - összesen 3 + 4 + 5 = 12 egyenlet létezik:

Nodális egyenletek N esetében₁ I_VSM = I_R1M + I_C2M

N esetében₂ I_R1M = I_LM + I_C1M

N esetében₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = I_R2M

Hurokegyenletek M esetén₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

M esetén₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

M esetén₃ V_LM = V_C1M

M esetén₄ V_R2M = V_ISM

Ohm törvényei V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

Ne felejtsük el, hogy bármely komplex egyenlet két valós egyenlethez vezethet, ezért Kirchhoff módszere sok számítást igényel. Sokkal egyszerűbb megoldani a feszültségek és áramok időfüggvényeit differenciálegyenlet-rendszer segítségével (itt nem tárgyaltuk). Először bemutatjuk a TINA tolmács által kiszámított eredményeket:

{TINA tolmácsának megoldása}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
IVS = ir1 + ic2 1 {}
ir1 = iL + ic1 2 {}
ic2 + iL + ic1 + Is = ir2 3 {}
Vs = vc2 + vr2 4 {}
Vs = vr1 + vr2 + vc1 5 {}
vc1 = vL 6 {}
vr2 = vis 7 {}
vr1 = ir1 * R1 8 {}
vr2 = ir2 * R2 9 {}
ic1 = j * om * C1 * vc1 10 {}
ic2 = j * om * C2 * vc2 11 {}
a Vl = j * om * L * iL 12 {}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (VL) = [39.0965m]
abs (IVS) = [3.0697m]
180 + radtodeg (ARC (IVS)) = [58.2734]
abs (VIS) = [10.8726]
radtodeg (ív (VIS)) = [- 2.3393]
radtodeg (ív (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (ív (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (ív (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (ív (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (ív (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (ív (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (ív (IL)) = [- 24.8908]
radtodeg (ív (VL)) = [65.1092]

Most próbálja meg egyszerűsíteni az egyenleteket kézzel helyettesítés segítségével. Első helyettesítő ekv.9. az 5. egyenértékbe.

V_S = V_C2 + R₂ I_R2a.)

majd eq.8 és eq.9. eq 5-ba.

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b.)

ezután ekvivalens 12., ekv. 10. és én_Leq. 2 az eq.6-ba.

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL (I_R1 - Én_C1) = jwLI_R1 - jwL jwC₁ V_C1