Találjon alacsony költségű hozzáférést a TINACloudhoz a példák szerkesztéséhez vagy saját áramkörök létrehozásához
A teljes Kirchhoff-egyenlet egyszerűsítésének másik módja a háló- vagy hurokáram-módszer. E módszer alkalmazásával Kirchhoff jelenlegi törvénye automatikusan teljesül, és az általunk írt hurok egyenletek Kirchhoff feszültség törvényét is kielégítik. Kirchhoff jelenlegi törvényének kielégítését úgy érjük el, hogy a hálózat minden független hurkához hozzárendeljük a hálóhoz vagy hurokáramnak nevezett zárt áramköröket, és ezeket az áramot használjuk az áramkör összes többi mennyiségének kifejezésére. Mivel a hurokáramok zárva vannak, a csomópontba áramló áramnak szintén ki kell áramolnia a csomópontból; így a csomópont-egyenletek ezen áramokkal történő írása identitáshoz vezet.
Először nézzük meg a hálóáramok módszerét.
Először megjegyezzük, hogy a hálóáram-módszer csak a „sík” áramkörökre alkalmazható. A síkáramköröknek síkban történő húzásakor nincs keresztező huzal. Gyakran egy nem síknak látszó áramkör ábrázolásával megállapíthatja, hogy valójában sík-e. Nem sík köröknél használja a hurokáram módszer fejezetben leírtak szerint.
A hálóáramok elképzelésének magyarázata érdekében képzelje el az áramkör elágazásait „halászhálóként”, és rendeljen hozzá hálózati áramot a háló minden egyes hálójához. (Időnként azt is mondják, hogy egy zárt áramkör van hozzárendelve az áramkör minden egyes ablakához.)
A vázlatos diagram A „halászháló” vagy az áramkör grafikonja |
Az áramkör ábrázolásának egyszerű rajz, az úgynevezett a grafikon, nagyon erős. Mivel Kirchhoff törvényei nem függenek az összetevők jellegétől, figyelmen kívül hagyhatja a beton alkatrészeket, és helyettesítheti azokat egyszerű vonalszakaszokkal, az úgynevezett ágak a grafikon. Az áramkörök grafikonon ábrázolása lehetővé teszi a matematikai technikák alkalmazását grafikonelmélet. Ez segít felfedezni egy áramkör topológiai természetét és meghatározni a független hurkokat. Gyere vissza később erre a webhelyre, hogy többet tudjon meg a témáról.
A háló aktuális elemzésének lépései:
Minden hálóhoz rendeljen hozzá hálózati áramot. Bár az irány tetszőleges, szokás az óramutató járásával megegyező irányban történő használata.
Alkalmazza Kirchhoff feszültség törvényét (KVL) minden háló körül, ugyanolyan irányban, mint a háló áramai. Ha egy ellenállásnak legalább két hálóárama van, akkor az ellenálláson átadott teljes áramot a hálóáramok algebrai összegeként kell kiszámítani. Más szavakkal, ha az ellenálláson átáramló áram ugyanolyan irányú, mint a hurok hálóáram, akkor pozitív jele van, egyébként negatív jele van az összegben. A feszültségforrásokat a szokásos módon figyelembe vesszük. Ha irányuk megegyezik a hálóárammal, akkor a feszültséget pozitívnak, vagyis negatívnak kell tekinteni a KVL egyenletekben. Általában az áramforrások esetében csak egy hálóáram folyik át a forráson, és az áram azonos irányú, mint a forrás árama. Ha nem erről van szó, akkor használja az ebben a szakaszban később bemutatott általános hurokáram-módszert. Az aktuális forrásokhoz hozzárendelt hálóáramot tartalmazó hurkokhoz nem kell KVL-egyenleteket írni.
Oldja meg a kapott hurokegyenleteket a hálóáramokhoz.
A hálóáramok segítségével határozza meg az áramkörben igényelt áramot vagy feszültséget.
Mutassuk be a következő példa szerinti módszer:
Keresse meg az áramkört az alábbi körben.
Látjuk, hogy ebben az áramkörben két háló (vagy bal és jobb ablak) van. Jelöljük meg az óramutató járásával megegyező irányú hálózati áramot J1 és J2 a hálóhoz. Ezután megírjuk a KVL egyenleteket, az Ohm törvényével kifejezve az ellenállások közötti feszültségeket:
-V1 + J1* (Ri1+R1) - J2*R1 = 0
V2 - J1*R1 + J2* (R + R1) = 0
Számszerűen:
-12 + J1* 17 - J2* 2 = 0
6 - J1* 2 + J2* 14 = 0
Expressz J1 az első egyenletből: J1 =
szorzzuk meg 17-vel: 102 - 24 + 4 * J2 + 238 * J2 = 0 ennélfogva J2 =
és J1 =
Végül a szükséges áram:
{Mesh aktuális módszer}
Sys J1, J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
end;
J1 = [666.6667m]
J2 = [- 333.3333m]
I: = J1-J2;
I = [1]
import numpy mint n
#Használja a mesh áram módszerét!
#Van egy lineáris egyenletrendszerünk, amit meg akarunk oldani
#I1,I2 esetén:
#I1*(Ri1+R1)+I2*Ri1-V1=0
#-V1+I1*Ri1+I2*(Ri1+R)+V2=0
#Írja fel az együtthatók mátrixát:
A=n.array([[Ri1+R1,Ri1],[Ri1,Ri1+R]])
#Írja fel az állandók mátrixát:
b=n.array([V1,V1-V2])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1=x[0]
I2=x[1]
print(“I1= %.3f”%I1)
print(“I2= %.3f”%I2)
I=I1
print("I= %.3f"%I)
Nézzük meg az eredményeket TINA-val:
Ezután oldjuk meg újra az előző példát, de általánosabban hurokáram módszer. Ezzel a módszerrel a zárt áramkörök hívhatók hurokáramok, nem feltétlenül az áramköri hálóhoz vannak hozzárendelve, hanem tetszőlegesen független hurkok. Biztosíthatja a hurkok függetlenségét azáltal, hogy minden hurokban legalább egy olyan elem van, amelyet egyetlen másik hurok sem tartalmaz. Síkú áramköröknél a független hurkok száma megegyezik a hálószem számával, ami könnyen belátható.
A független hurkok számának pontosabb meghatározásának módja a következő.
Adott egy áramkör a b ágak és N csomópontokat. A független hurkok száma l a következő:
l = b - N + 1
Ez abból a tényből következik, hogy a független Kirchhoff egyenletek számának meg kell egyeznie az áramkörben levő elágazásokkal, és már tudjuk, hogy csak vannak N-1 független csomópont-egyenletek. Ezért a Kirchhoff-egyenletek száma összesen
b = N-1 + l és így l = b - N + 1
Ez az egyenlet a gráfelmélet alapvető tételéből is következik, amelyet később ismertetünk ezen a helyen.
Most oldjuk meg újra az előző példát, de egyszerűbben, a hurokáram módszerrel. Ezzel a módszerrel szabadon használhatunk hurkokat hálóban vagy bármilyen más hurokban, de tartsuk a hurkot J-val1 az áramkör bal oldali hálójában. A második hurokhoz azonban a J hurkot választjuk2, amint az az alábbi ábrán látható. Ennek a választásnak az az előnye, hogy J1 egyenlő lesz a kért I árammal, mivel ez az egyetlen hurokáram, amely áthalad az R1-en. Ez azt jelenti, hogy nem kell kiszámítanunk a J2-t egyáltalán. Vegye figyelembe, hogy a „valódi” áramokkal ellentétben a hurokáramok fizikai jelentése attól függ, hogyan rendeljük őket az áramkörhöz.
A KVL egyenletek:
J1 * (R1+Ri1) + J2 * R i1 - V1 = 0
-V1+ J1 * Ri1+ J2 * (R + Ri) + V2 = 0
és a szükséges áram: I = J1
Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0
-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0
J2 kifejezése a második egyenletből:
Helyettesítse az első egyenletet:
Ennélfogva: J1 = I = 1 A
További példák.
Példa 1
Keresse meg az áramkört az alábbi körben.
Ebben az áramkörben a hurokáramok módszerét használjuk. Az áramkör bal oldali ablakában veszünk egy hurokáramot, amelyet megjelölünk I mivel megegyezik a kért árammal. A másik hurokáram megegyezik az Is1 forrásárammal, tehát közvetlenül úgy jelöljük IS1.
Vegye figyelembe, hogy ennek a huroknak az iránya nem óramutató járásával megegyezően, mivel irányát az áramforrás határozza meg. Mivel azonban ez a hurokáram már ismert, a hurok KVL-egyenletét nem kell írni IS1 Elrabolva.
Ezért az egyetlen megoldható egyenlet:
-V1 + I * R2 + R1 * (Én - énS1) = 0
ennélfogva
I = (V1 + R1 *IS1) / (R1 + R2)
Számszerűen
I=(10+20*4)/(20+10)=3 A
Ezt az eredményt létrehozhatja a TINA szimbolikus elemzésének meghívására az Elemzés / Szimbolikus elemzés / DC eredmény menüből:
Vagy a KVL egyenletét a tolmács oldhatja meg:
{A TINA tolmácsának megoldása} {Használjon hálózati módszert} Sys I -V1 + I * R2 + R1 * (I - IS1) = 0 end; I = [3] |
A következő példa három áramforrással rendelkezik, és ezt nagyon egyszerűen lehet megoldani a hurokáramok módszerével.
Példa 2
Keresse meg az V. feszültséget
Ebben a példában három hurokáramot választhatunk úgy, hogy mindegyik csak egy áramforráson halad át. Ezért mind a három hurokáram ismert, és csak az ismeretlen V feszültséget kell kifejezni velük.
Az áramok algebrai összege az R-n keresztül3:
V = (IS3 - ÉnS2) * R3= (10-5) * 30 = 150 V. Ezt ellenőrizheti a TINA segítségével :.
Ezután újból foglalkozzunk azzal a problémával, amelyet már megoldottunk a Kirchhoff törvényei és a Csomópont-potenciál módszer fejezetek.
Példa 3
Keresse meg az R ellenállás V feszültségét4.
R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm.
Ennek a problémanak legalább 4 egyenletre volt szüksége az előző fejezetekben szereplő megoldáshoz.
Ezt a problémát a hurokáramok módszerével oldjuk meg, négy független hurokkal rendelkezünk, de a hurokáramok helyes megválasztásával az egyik hurokáram megegyezik az Is forrásárammal.
A fenti ábrán látható hurokáramok alapján a hurok egyenletek a következők:
VS1+I4* (R5+R6+R7) - IS*R6 -ÉN3* (R5 + R6) = 0
VS2 - Én3* (R1+R2) - IS*R2 + I2* (R1 + R2) = 0
-VS1 + I3* (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + IS* (R2 +R4 + R6) - I4* (R5 + R6) - Én2* (R1 + R2) = 0
Az ismeretlen feszültség V a hurokáramokkal fejezhető ki:
V = R4 * (I2 + I3)
Számszerűen:
100 + I4* 135-2 * 40-én3* 60 = 0
150 + I2* 150-2 * 50-én3* 150 = 0
-100 + I3* 360 + 2 * 140-I4* 60-én2* 150 = 0
V = 50 * (2 + I3)
Használhatjuk Cramer szabályát az egyenletrendszer megoldásához:
I4 = D3/D
ahol D a rendszer meghatározója. D4, az I meghatározó4, úgy van kialakítva, hogy a rendszer jobb oldalát az I. oszlop helyébe helyezik4együtthatói.
Az egyenletek rendezett formában:
- 60 * I3 + 135 * I4= -20
150 * I2-150 * I3 = - 50
-150 * I2+ 360 * I3 - 60 * I4= - 180
Így a döntő D:
Az egyenletrendszer megoldása:
V = R4* (2 + I3) = 34.8485 V
A választ megerősítheti a TINA által kiszámított eredmény alapján.
Sys I2, I3, I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
end;
I2 = [- 1.6364]
I3 = [- 1.303]
I4 = [- 727.2727m]
V: = R4 * (IS + I3);
V = [34.8485]
import numpy mint n
#Van egy lineáris egyenletrendszerünk, amit meg akarunk oldani
#I1,I2,I3,I4 esetén:
#I1=Van
#Vs2+I2*(R1+R2)-R2*I1-I3*(R1+R2)=0
#-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+I1*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
#Vs1+I4*(R5+R6+R7)-I1*R6-I3*(R5+R6)=0
#Írja fel az együtthatók mátrixát:
A=n.array([[1,0,0,0],[-R2,R1+R2,-(R1+R2),0],[R2+R4+R6,-(R1+R2),R1+R2+R3+R4+R5+R6,-(R5+R6)],[-R6,0,-(R5+R6),R5+R6+R7]])
#Írja fel az állandók mátrixát:
b=n.array([Is,-Vs2,Vs1,-Vs1])
x=n.linalg.solve(A,b)
I1,I2,I3,I4=x[0],x[1],x[2],x[3]
print(“I1= %.5f”%I1) #x[0]=I1
print(“I2= %.5f”%I2) #x[1]=I2
print(“I3= %.5f”%I3) #x[2]=I1
print(“I4= %.5f”%I4) #x[3]=I2
V=R4*(I1+I3)
print("V= %.5f"%V)
Ebben a példában minden ismeretlen hurokáram egy elágazóáram (I1, I3 és I4); így könnyű ellenőrizni az eredményt a TINA DC elemzési eredményeivel összehasonlítva.